【人教版】九上数学：《一元二次方程》全章教案

1、第二十一章一元二次方程21. 1一元二次方程教字目标1 .通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(aw0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2 .了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.重点通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(aw0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题.难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.教宇设计活动1复习旧知1 .什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2 .以下哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式.(1)

2、2x1(2)mx+n=0(3)1+1=.(4)x2=1x3 .以下哪个实数是方程2x1=3的解？并给出方程的解的概念.1. 0B.1C.2D.3活动2探究新知根据题意列方程.1 .教材第2页问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？此题应该设哪个量为未知数？(2)此题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比拟简单的形式吗？请说出整理之后的方程.2 .教材第2页问题2.提出问题：(1)此题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛,每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛,那么究竟

3、比赛多少场？(3)如果有x个队参赛,一共比赛多少场呢？3 .一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数.提出问题：此题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数,那么方程应该怎么列？4 .一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念.2. 一元二次方程：只含有个未知数,并且未知数的最高次数是,这样的方程,叫做一元二次方程.3. 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aw0),其中ax2是二次项,a是二次项系数

4、；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项.提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制aw0,b,c可以为0吗？(3)2x2x+1=0的一次项系数是1吗？为什么？4. 一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).活动4例题与练习例1在以下方程中,属于一元二次方程的是.(1)4x2=81;(2)2x21=3y;(3)工+1=2;xx(4)2x22x(x+7)=0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含

5、有二次项,但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.例2教材第3页例题.例3以一2为根的一元二次方程是()A.x2+2x-1=0B.x2-x-2=022Cx+x+2=0D.x+x2=0总结：判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等.练习：1,假设(a1)x2+3ax1=0是关于x的一元二次方程,那么a的取值范围是.2 .将以下一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=81;(2)(3x-2)(x+1)=8x-3.3 .教材第4页练习第2题.4,假设一4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个

6、根,那么k的值为.答案：1.aw1;2.略；3.略；4.k=4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第17题.21.2解一元二次方程21 .2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法教学目标理解一元二次方程“降次一一转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.:«<重点运用开平方法解形如(x+m)2=n(n&g

7、t;0)的方程,领会降次一一转化的数学思想.难点通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n>0)的方程.教学费计一、复习引入学生活动：请同学们完成以下各题.问题1:填空(1)x2-8x+=(x-)2；(2)9x2+12x+=(3x+)2;(3)x2+px+=(x+)2.解：根据完全平方公式可得：(1)164;(2)42;(3)(p)2问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接

8、开平方得x=七,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：答复是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=i3即2t+1=3,2t+1=3方程的两根为t1=1,t2=2例1解方程：(1)x2+4x+4=1(2)x2+6x+9=2分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.(2)由,得：(x+3)2=2直接开平方,得：x+3=S佟即x+3="hJ2,x+3=/2所以,方程的两根x1=3+<2,x2=3解：略.例2市政府方案2年内将人均住房面积由现在的10m2提升到14.4m2,求

9、每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解：设每年人均住房面积增长率为x,那么：10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方,得1+x=±.2即1+x=1.2,1+x=1.2所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=2.2由于每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=2.2应舍去.所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“

10、降次,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想.三、稳固练习教材第6页练习.四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p>0)的方程,那么x=也转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p>0)的方程,那么mx+n=iJ吊,到达降次转化之目的.假设p<0那么方程无解.五、作业布置教材第16页复习稳固1.第2课时配方法的根本形式教字目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的重

11、点元二次方程的解题步骤.讲清直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为的转化方法与技巧.教学费计4、复习引入(学生活动)请同学们解以下方程：3x21=5(2)4(x1)29=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p>0)的形式,那么可得x=Wp或mx+n=iVp(p>0).如：4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=7化成(2x+4)2=9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并答复：(1)列出的经化简为一般形式的方

12、程与刚刚解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.(2)不能.既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化：x2+6x16=0移项一x2+6x=16两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式一x2+6x+32=16+9左边写成平方形式一(x+3)2=25降次一x+3=5即x+3=5或x+3=5解一次方程一x1=2

13、,x2=8可以验证：x=2,x2=8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2m,长为8m.像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1用配方法解以下关于x的方程：(1)X28x+1=0(2)x22x2=0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上.解：略.三、稳固练习教材第9页练习1,2.(1)(2).四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方

14、程的方程.五、作业布置教材第17页复习稳固2,3.(1)(2).第3课时配方法的灵活运用了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.重点讲清配方法的解题步骤.难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,通常把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程,要先化二次项系数为1,再用配方法求解.一、复习引入(学生活动)解以下方程：(1)x24x+7=0(2)2x28x+1=0老师点评：我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及

15、不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解：略.(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q>0,方程的根是x=p地；如果q<0,方程无实根.例1解以下方程：(1)2x2+1=3x(2)3x26x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析：我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平

16、方式.解：略.三、稳固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6).四、课堂小结本节课应掌握：1 .配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.2 .配方法是解一元二次方程的通法,它的重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方,利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常用到.五、作业布置教材第17页复习稳固3.(3)(4).补充：(1)x2+y2+z22x+4y6z+14=0,求x+y+z的值.(2)求证：无论x,y取任何实数,多项式x2+y22x4y+16的值总是正数.21.2.2公式法教字目标理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解

17、公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(aw0)的求根公式的推导,并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用.难点一元二次方程求根公式的推导.教学设计一、复习引入1 .前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法,比方,方程(1)x2=4(2)(x-2)2=7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数的特殊二次方程有效,不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性,怎么办？(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方的形式.)(学生

18、活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)先将方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q>0,方程的根是x=p班；如果q<0,方程无实根.二、探索新知用配方法解方程：(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(aw0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题：ax2+bx+c=0(aw0)

19、,试推导它的两个根x1=2a4ac,x2=一b-/b2-42aac一(这个方程一定有解吗？什么情况下有解?分析：由于前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项,得：ax2+bx=-c二次项系数化为1,得x2+a配方,得：x2+bx+(当2a'2a,口hb2b4ac即(x+2a)=F-4a2>0,当b24ac>0时,b2-4ac-7T,04a直接开平方,得：x+b=Rb24ac2a2abb24acxi=2ab:b4acbb24ac由上可知,解2a2a二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根由方程的系数a,二

20、次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,b,c而定,因此:当b24ac>0时,将a,b,c代入式子x=一b±b4ac,一,、一一2a:就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解以下方程：(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-V2x+:0(4)4x2-3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.补：(5)(x2)(3x5)=0三、稳固练习教材第12页练习1.(1)

21、(3)(5)或(2)(6).四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号尽量让a>0;2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号；3)计算b2-4ac,假设结果为负数,方程无解；4)假设结果为非负数,代人求根公式,算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的情况.五、作业布置教材第17页习题4,5.21.2.3因式分解法教字目标掌握用因式分解法解一元二次方程.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法一一因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决

22、一些具体问题.重点用因式分解法解一元二次方程.难点让学生通过比拟解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.教宇费计一、复习引入(学生活动)解以下方程：(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)111老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后,x前面的系数应为彳,彳的一半应为:因此,应加上(：)2,同时减去(；)2(2)直接用公式求解.二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题.(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解.因此,上面两个方程都可以写成：

23、(1)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0由于两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,1所以x1=0,x2=2.(2)3x=0或x+2=0,所以x=0,x2=2.(以上解法是如何实现降次的？)因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.例1解方程：2一一一一2-12-3一一一2(1)10x-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)5x22x%=x22x+4(4)(x1)2=(32x)2思考：使用因式分

24、解法解一元二次方程的条件是什么？解：略(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积.)练习：下面一元二次方程解法中,正确的选项是()A. (x-3)(x-5)=10X2,.x-3=10,x5=2,.»1=13,x2=7B. (25x)+(5x2)2=0,(5x-2)(5x-3)=0,x1=|,x2=355C. (x+2)2+4x=0,x1=2,x2=-2D. x2=x,两边同除以x,得x=1三、稳固练习教材第14页练习1,2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法,即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0

25、,再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页习题6,8,10,11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教字目临1.掌握二次方程的根与系数的关系并会初步应用.2 .培养学生分析、观察、归纳的水平和推理论证的水平.3 .渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的熟悉事物的规律.4 .培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.重鬲难后：«<重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系.两根的积与系数的关系.二次方程根与系数的关系是指,二次方程两根的和、数导设计:«<2.由上题可知也反映了根与系数的关系x2=3.由求根公式可知,bb4ac2a二次方程ax

26、2+bx+c=0(aw0)的两根为x1=bb24ac2a.观察两式右边,分母相同,分子是b+b24ac与-b-'Jb2-4ac两根一、复习引入1,方程x2ax3a=0的一个根是6,那么求a及另一个根的值.次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式,这种关系比拟复杂,是否有更简洁的关系？之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?二、探索新知解以下方程,并填写表格：方程x1x2x1+x2x1,x2x2-2x=0x2+3x4=0x25x+6=0观察上面的表格,你能得到什么结论？(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p24q>0)的两根x1,X2与系数p,q之间有

27、什么关系？(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(aw0)的两根xb地与系数a,b,c之间又有何关系呢？你能证实你的猜测吗？解以下方程,并填写表格：方程x1x2刈十*2x1,x22一,一2x7x4=03x2+2x-5=02.一5x17x+6=0小结：根与系数关系：(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p24q>0)的两根x1,x2与系数p,q的关系是：xi+x2=p,xi-x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)(2)形如ax2+bx+c=0(aw0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论.即：对于方程ax2+bx+c=0(aw0)

28、aw0,x2+-x+c=0aa,bcx1+x2=,x1,x2=aa(可以利用求根公式给出证实)例1不解方程,写出以下方程的两根和与两根积：(1)x2-3x-1=0(2)2x2+3x-5=0(3)1x22x=0(4h/2x2+mx=53(5)x2-1=0(6)x2-2x+1=0例2不解方程,检验以下方程的解是否正确？(1)x2-2馈x+1=0仅1=小+1,x2=1)(2-3x8=0仅产x2=f例3一元二次方程的两个根是一1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法？)例4方程2x2+kx9=0的一个根是一3,求另一根及k的值.变式一：方程x22kx9=0的两根互为相反数,求k;变式二：方程

29、2x25x+k=0的两根互为倒数,求k.三、课堂小结1 .根与系数的关系.2 .根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零.四、作业布置1.不解方程,写出以下方程的两根和与两根积.x25x3=0(2)9x+2=x2(3)6x2-3x+2=0(4)3x2+x+1=02,方程x23x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.3,方程x2+bx+6=0的一个根为一2,求另一根及b的值.21.3实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时解决代数问题教字目临1 .经历用一元二次方程解决实际问题的过程,总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2 .通过学生自主探究,会根据传播问题

30、、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解,熟悉解题的具体步骤.3 .通过实际问题的解答,让学生熟悉到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程,找到传播问题和百分率问题中的数量关系.数学设计一、引入新课1 .列方程解应用题的根本步骤有哪些？应注意什么？2 .科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个,经过3次分裂后共有多少个细胞？(2) 一个细胞一次可分裂成x个,经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个,分裂后

31、原有细胞仍然存在并能再次分裂,试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1:自学教材第19页探究1,思考教师所提问题.有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人,第一轮传染后共有人患流感.第二轮传染后共有人患流感.(2)此题中有哪些数量关系？(3)如何利用的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么依题意第一轮传染后有(x+1)人患了流感,第二轮有x(1+x)人被传染上了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10,x2=1

32、2(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.变式练习：如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?活动2:自学教材第19页第20页探究2,思考老师所提问题.两年前生产1吨甲种药品的本钱是5000元,生产1吨乙种药品的本钱是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的本钱是3000元,生产1吨乙种药品的本钱是3600元,哪种药品本钱的年平均下降率较大？1如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？2假设设甲种药品年平均下降率为x,那么一年后,甲种药品的本钱下降了元,此时本钱为元；两年后,甲种药品下降了元,此时本钱为元.3增长率下降率公式的归纳：设基准数为a,增长率为x,那么一月或一年后产量为a1土x；二月或二年后产量为a1女2;n月或n年后产量为a1Xn；如果n月n年后总产量为M,那么有下面等式：M=a1女n.4对甲种药品而言根据等量关系列方程为：.三、课堂小结与作业布置课堂小结1 .列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、歹h解、答.最后要检验根是否符合实际.2 .传播问题解决的关键是传播源确实定和等量关系的建立.3 .假设平均增长降低率为x,增长或降低前的基准数是a,增长或降低