MATLAB与线性代数

1、MATLA的线性代数（一）1简介MATLA配一套功能十分强大的工程计算机及数据分析软件，它的应用范围覆盖了当今所有的工业、电力、电子、医疗、建筑等各领域。1980年前后，MATLAB勺首创者CleveMoler博士在NewMexico大学讲授线性代数课程时，看到了用高级语言编程解决工程计算问题的诸多不便，因而构思开发了MATLA歆件（MATrixLABoratory,矩阵实验室），该软件利用了Moler博士在此前开发的LINPACK战性代数软件包）和EOSPAC喉于特征值计算的软件包）中可靠的子程序，用Fortran语言编写而成，集命令翻译、工程计算功能于一身。与Fortran和C等高级语言比

2、较，MATLAB勺语法规则更简单，更重要的是其贴近人思维方式的编程特点,使得用MATLA蝙写程序犹如在便笺上列公式和求解。80年代初期，CleveMoler和JohnLittle采用C语言改写了MATLAB勺内核。不久，他们成立了Mathworks软件开发公司并将MATLABE式推向市场。现在的MATLA新版本早已不只停留在工程计算的功能上了，它由主包、Simulink以及功能各异的工具箱组成，以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个简单易用的交互式工作环境中。在这里可以实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘图、应用程序设计（包括图

3、形用户界面设计）等等功能。正式凭借MATLAB勺这些突出的优势，它现在已成为世界上应用最广泛的工程计算软件。在美国等发达国家的大学里MATLAB1一种必须掌握的基本工具，而在国外的研究设计单位和工业部门，更是研究和解决工程计算问题的一种标准软件。在国内也有越来越多的科学技术工作者参加到学习和倡导这门语言的行列中来。在大家的共同努力下，MATLA即在成为计算机应用软件中的一个热点。2矩阵的形成值运算是MATLAB基本、最重要的功能，MATLABg够成为世界上最优秀的数学软件之一，和它出色的数值运算能力是分不开的。MATLA以负数矩阵作为基本的运算单元,向量和标量都作为特殊的矩阵来处理：向量看作只

4、有一行或一列的矩阵；标量通常看作只有一个元素的矩阵，在一些特殊的情况下有一定的变化。1.简单的矩阵的生成在MATLABK可以采用多种不同的方式生成矩阵。(1)直接输入矩阵元素对于较小的简单的矩阵，从键盘上直接输入矩阵是最常用、最方便和最好的数值矩阵创建方法。直接从键盘输入一系列元素生成矩阵，只要遵循下面几个基本原则：1、矩阵每一行的元素必须用空格或逗号分开；2、在矩阵中，采用分号或回车表明每一行的结束；3、整个输入矩阵必须包含在方括号“口”中。注意：创建矩阵在方括号的末尾，可以用回车或分号结束。用回车结束，显示所输入的矩阵；用分号结束，所输入的矩阵不显示。输入：A=4,5,7,8;6,1,2,

5、5;3,5,4,6;4,2,4,835464248(2)生成大矩阵在MATLAB,可以将小矩阵连接起来生成一个较大的矩阵。事实上，前面直接输入法生成矩阵就是将单个元素连接起来生成矩阵。方括号“口”就是连接算子。输入：B=A,A+1;A+2,A+3显示：B=4578568961257236354646574248535967910781011834794585768687964610757112.常用矩阵的生成下面介绍一些常用矩阵的生成命令：zeros,ones,eye,rand和randn。(1)zeros生成全0阵调用格式为：B=zeros(n):生成nn的全0矩阵；如果n不是标量将给出出错

6、信息B=zeros(m,n):生成mn的全0矩阵。B=zeros(size(A):生成与矩阵A大小相同的全0阵。注意：在MATLA呻不需要预先定义矩阵的维数，MATLAB!动为矩阵分配存储空间。尽管如此，如果采用全零阵为矩阵生成的全部元素或某一行、某一列的元素保留存储空间，则大多数MATLAB?序将运行得更快。ones生成全1阵调用格式为：Y=ones(n):生成nw的全1矩阵；如果n不是标量将给出出错信息。Y=ones(m,n):生成mn的全1阵。Y=ones(size(A):生成与矩阵A大小相同的全1阵。(3)eye生成单位阵调用格式为：Y=eye(n):生成nn的单位阵。Y=eye(m,

7、n)：生成mn的矩阵，其对角线元素为1,其它元素为0。Y=eye(size(A):生成一个与矩阵A大小相同的单位阵。注意：在MATLABK单位阵的定义比线性代数中的定义更广泛。例如：输入：eye(3,2)显示：ans=100100(4)rand生成均匀分布的随机阵调用格式为：Y=rand(n)：生成一个nn的随机阵：如果n不是标量将给出出错信息。Y=rand(m,n):生成一个mn随机阵。Y=rand(size(A):生成一个与矩阵A大小相同的随机阵。说明：rand函数产生0,1之间均匀分布的随机数。(5)randn正态分布随机阵命令的形式为：Y=randn(n)：生成一个nn的随机阵：如果n

8、不是标量将给出出错信息。Y=randn(m,n):生成一个mn随机阵。Y=rand(size(A):生成一个与矩阵A大小相同的随机阵。3矩阵的基本运算一、矩阵运算在MATLA酷言中，矩阵的运算既可以使用运算符，也可以使用等效的运算函数。(1)加法和减法运算对于矩阵运算可以由下面的命令执行加减法：C=A+B1EC=plus(A,B)C=A-B或C=minus(A,B)这里要求A和B的大小必须相同，因为加减运算是把A和B的对应元素相加减。如果A和B的大小不同，MATLABI自动给出错误信息。特殊情况是A和B中有一个是标量，MATLABfc许标量和任意大小的矩阵相加减，结果是把矩阵中的每个元素和这个

9、标量相加减。在MATLAB,算术运算符“+”和“-”可以作为一元运算符使用。+A就是取A,而-A则是对A中的每个元素取负。输入：A=123;456;B=789;468;C=A+B显示：C=8101281114输入：C=C-2显示：C=68106912输入：C=-C显示：C=-6-8-10-6-9-12(2)乘法运算矩阵乘的运算命令为：A*B或mtimes(A,B)矩阵乘A*B是矩阵A和B的线性代数乘。就是说，对于非标量A和B,矩P$A的列数必须等于矩阵B的行数。标量可以和任意大小的矩阵相乘，就是线性代数中的数与矩阵的乘法。输入：A=123;456;B=ones(3)111111输入：C=A*B

10、显示：C=666151515(3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为：B=inv(A)该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLA昨不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=AB来求解。因为MATLABS计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。因此，MATLA睢荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。(4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义

11、，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB中，定义了矩阵的除法运算。矩阵除法的运算在MATLA昨是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。矩阵左除：C=AB或C=mldivide(A,B)矩阵右除；C=A/B或C=mrdivide(A,B)通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，AB等效于A的逆阵左乘矩阵Bo也就是inv(A)*B。如果A是一个Mn矩阵，B是一个n维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则AB就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。如果A接近奇异的，MATLA潞会给出警告信息。如果A是一个mn矩阵，其中m不等于n,B是一个m维列向量，或是由若干这样的列

12、的矩阵，则X=AB是不定或超定方程组AX=B勺最小二乘解。通过QR分解确定矩阵A的秩k,方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。如果k0为主对角线以上，k0位于主对角线以上，k0位于主对角线以上，kn：超定方程组，寻求最小二乘解；3 mn方阵，n个上值满足关系式：AvNv则K为A的特征值，v为A的特征向量。特征值问题时值方程Ax=Kx的非平凡解问题。其中A是个nn矩阵，x是一个长度为n的列向量，上是个标量。满足方程的n个值是特征值，对应的x值是特征向量。在MATLA冲,eig函数求解特征值，给出特征向量。由A的特征值构成的对角矩阵，以及由对应的特征向量构成矩阵V的各列，满足：AV=VD如果V是

13、非奇异的，则这就是矩阵A的特征值分解。特征值分解的函数eig调用格式为：1D=eig(A):返回矩阵A的特征值2V,D=eig(A):生成特征值矩阵D和特征向量构成的矩阵V,使得A*V=V*以矩阵D由A的特征值在主对角线构成的对角矩阵。V是由A的特征向量按列构成的矩阵。3V,D=eig(A,nobalance):计算矩阵的特征值和特征向量，而不采用预先平衡。通常，预先平衡增加了特征值和特征向量的计算精度。然而，如果一个矩阵包含由于舍入误差引入的小元素，平衡过程有可能将它们放大，使得它们和原始矩阵中的其它元素大致相当，从而导致错误的特征值。在这种情况下，使用“nobalance”选项。2 .特征多项式在MATLAB,是采用行向量表示多项式，将多项式的系数按降幕次序存放在行向量中。多项式P(x)=a0Xn+a1Xn-1+,+an-1x+an的系数行向量为：a0,a1,an-1,an给定矩阵A,建立多项式的函数是：ploy(A)。当A为n矩阵时