一次不定方程及方程的整数解问题-1(优选.)

1、一次不定方程组及方程的整数解问题【写在前面】不定方程组是数论中的一个重要课题,不仅是数学竞赛,甚至在中测试卷中也常常出现.对于不定方程组,我们往往只求整数解,甚至是只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程组常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程组的整数解【知识梳理】不定方程组是指未知数的个数多于方程的个数的方程组,其特点是往往有无穷多个解,不能唯一确定.重要定理：设a、b、c、d为整数,那么不定方程axbyc有：定理1假设a,bd,且d不能整除c,那么不定方程axbyc

2、没有整数解；定理2假设x0,y0是不定方程axbyc且的一组整数解称为特解,那么xXobt,t为整数是方yyoat程的全部整数解称为通解.其中a,bd,且d能整除c.定理3假设x0,y0是不定方程axby1,a,b1的特解,那么cx0,cy0是方程axbyc的一个特解.其中a,bd,且d能整除c.求整系数不定方程axbyc的正整数解,通常有以下步骤：（1） 判断有无整数解；（2） 求出一个特解；（3） 写出通解；（4） 有整数t同时要满足的条件不等式组,代入命题2中的表达式,写出不定方程的正整数解.解不定方程组,需要依据方程组的特点,并灵活运用以下知识和方法：1别离整系数法；2穷举法；3因式分

3、解法；4配方法；5整数的整除性;6奇偶分析;8乘法公式7不等式分析；【学法指导】【例1】求以下不定方程的整数解12x6y8；25x10y13.【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解x11【解答】1原方程变形为：x3y4,观察得到x!,是x3y4的一组整数解特解,y1根据定理2,x13t,t是整数是原方程的所有整数解.y1t（2） .5,10=5,但5不能整除13,根据定理1,原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解,多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的【实践】求以下不定方程的整数解17x14y211

4、；25x14y11.答案：1无整数解；2x514t,y15tt是整数【例2】求方程7x19y213的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大,不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式别离出整系数局部,然后对分数系数局部进行讨论,赋予y不同的整数,寻找一个使分数系数局部成为正整数的yo,然后再求xo,写出通解,再解不等式组确定方程的正整数解【解答】一7,19=1,根据定理2,原方程有整数解由原方程可得x21319y21014y35y302y山,777由此可观察出一组特解为x0=25,y0=2.x2519t方程的通解为5,t是整数.y27t其中2519t0,t27t0t25192

5、725191,0代入通解可得原方程的正整数解为x6,x25,或y9.y2.【点评】根据定理2解这类方程,假设未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时,可用一个未知数去表示.这样就容易另一个未知数,再利用整数的知识,这是解二元一次不定方程根本的方法,称为别离整系数法找出一组整数解来【实践】求方程3147y265的正整数解.答案：x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人,小客车能容纳36人,现有378人要乘车,问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.54x36y378,即3x2y21.【分析】此题是不定方程的应用,根据题意列出方程并求出非负整数解即可【解答】设需要大客车x辆,

6、小客车y辆,根据题意可列方程x12t通解为x',t是整数y99t',一,一、一一、一一一,人一,x1一*,-又3,2=1,根据定理2,原方程有整数解.易知x是一个特解,y9由题意可知12t0,99t0解得tQ1,2,3.相应地x1,x3,x5,x7,y9.y6.y3.y0.答：需要大客1车辆,小客车9辆；或需要大客车3辆,小客车6辆；或需要大客车5辆,小客车特解：x5通解：x512t(t是整数)y16y1631t1x121512t121y3111631t31解得t0x5是符合题意解.y1612y34731x121(34731x)34731x(mod12)117x(mod12)x

7、12t5(t是整数)1x12112t512t0x5把x5代入原方程得：y163辆；也可以只要大客车7辆,不要小客车【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解【实践】某次测试共需做20道小题,对1道得8分,错一道扣5分,不做不得分.某生共得13分,他没做的题目有几道？答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31,生日的日期数乘以12,相加后得347,求此人的生日【分析】此题的隐含条件是：月份的取值1,12,日期的取值1,31.【解答】设此人生日的月份数为x,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.方法二方法一答：此人的生日为5月16日.其中方法二是利用了同余的知识【点评】求出通解

8、后,要利用隐含条件求出符合题意的解word.1,【实践】有一个三位数,如果它本身增加3,那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的-,求一切3这样三位数的和.答案：432【例5】新加坡数学竞赛题设正整数m,n满足8m9nmn6,那么m的最大值为.【分析】把m用含有n的代数式表示,用别离整系数法,再结合整除的知识,求出m的最大值.【解答】8m9nmn6,8mmn69n,(8n)m69n由题意可得,m4“9n72669星8nn8n8n8：m,n为正整数,当n=9时,m有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题,利用别离整系数法是一种典型的常用方法【实践】北京市数学竞赛题有8个连续的正整数,其和可以表

9、示成7个连续的正整数的和,但不能3个连续的正整数的和,那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著?算经?中的“百钱买百鸡问题：鸡翁一,值钱五；鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁,鸡母,鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁,鸡母,鸡雏的只数,那么可列方程组：C15x3yz1003xyz100如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程【解答】解：设鸡翁,鸡母,鸡雏的只数分别为x,y,z.xyz100(1)1(2)X3(1)得：14x+8y=200,即7x+4y=100.5x3y1z100(2)3方法一特解：x4,通解：x44tt是

10、整数y18.y187txy040184t07t0t解得t1187t0,1,2.相应地,原方程有三组解：xyz4x8x1218y78z11y81z484方法二)7x4y1,其特解为x3y5xy300曰是7x5004y10向牛!解.通解：x300y5004t7tt为整数.卜面的方法同方法)方法三4y1007x3411007x,1007xmod4,即：03xmod4,一.x44tx44tt是整数.把x44t代入3得：y187tt是整数.y187t下面方法同一【点评】充分挖掘题目的隐含条件,进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡,2只兔可换3只鸭,5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共3

11、0只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：2,21,7、4,12,14、6,3,21【例7】求方程2x3y7z23的整数解.【分析】对于三元一次不定方程,可以另外引进一个未知数,将其转化为方程组,然后分别解方程组中的各个方程,从而得到原方程的解.【解答】设2x3yt,那么原方程可看作2x3yt,对于方程1x=-t,y=t是一个特解,t7z23.2从而1的整数解是xt-3u,33是整数yt2u.4又t=2,z=3是方程2的一个特解,于是2的整数解是z3v,5“是整数t27v.6x27v3u,将6代入3、4消去t得到原方程的所有整数解为：y27V2u,u、v是整数z3v.【点评】一次不定方程在无约

12、束条件的情况下,通常有无数组整数解,由于求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的,将解中的参数作适当代换,就可以化为同一形式【实践】求方程39x24y9z78的整数解.x8v3u2,答案：yv3,u、v是整数z13u32v8.31c,【例8】海峡两岸友谊赛试题甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,丙组同学没人有个核桃,三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a人,乙组同学b人,丙组同学c人,由题意得28a30b31c365.要求ab可以运用放缩法从确定abc的取值范围入手【解答】设甲组同学a人,乙组同学b人,

13、丙组同学c人,那么28a30b31c365.128(abc)28a30b31c36531(abc),365abc365.3128abc是整数,abc=12或13.但当abc=13时,得2b3c1,无正整数解.答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题,巧妙运用放缩法.【实践】Alicewantstobuysomeradios,pensandbags.Ifshebuys3radios,6pens,2bags,shewillpay302.Ifshe¥buys5radios,11pens,3bags,shewillpay508.QuestionYHowmuchwillAlicep

14、ayfor1radio,1penand1bag?答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标的数字和等于21.(1) 小明摸出的球中,红球的个数最多不超过几个？(2) 假设摸出的球中三种颜色都有,有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和,因此可设二元.第(2)问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】(1)设小明摸的红球有x个,黄球有y个,蓝球有(10xy)个,那么x2y3(10xy)21,整理,得y92x,由于x、y均为正整数,可知x的最大值为4.即红球最多不超过4

15、个.由(1)知蓝球的个数是z10xy10x(92x)x1,x0,x0,又,y0,92x0,解得0x9.x1,2,3-4.2z0,x10.因此共有4种不同的摸法,如下：(1,7,2),(2,5,3),(3,3,4),(4,1,5).【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数,因此不需要求出方程的通解,而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围,以及整数解的个数【实践】有两堆水泥,假设从第一堆中取出100袋放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍；相反,假设从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数

16、.答案：170,40.【例10】设非负整数n,满足方程xy2zn的非负整数(x,y,z)的组数记为an.(1)求a3的值；(2)求a2001的值.【分析】审清题中an的n与方程xy2zn是同一个非负整数,a3的含义是方程xy2z3的非负整数解的(x,y,z)的组数.【解答】(1)当n=3时,原方程为xy2z3,由于x0,y0,得0z1.当z=1时,方程为x+y=1,其解(x,y)=(0,1),(1,0)有2组；当z=0时,方程为x+y=3,其解(x,y)=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)有4组.综上,a3=6.(2)当n=2001时,原方程为xy2z2001,由于x0,y0,得0

17、z1000.当z=1000时,方程为x+y=1,其解有2组；当z=999时,方程为x+y=3,其解有4组；当z=998时,方程为x+y=5,其解(x,y)=(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)有6组；;当z=0时,方程为x+y=2001,其解(x,y)=(0,2001),(1,2000),(2001,0)有2002组.综上,a2001=2+4+6+-+2002=1003002.【点评】此题综合较强,涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识,需要灵活运用所学只是解决问题【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有()个CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的根本解法、各种解题技巧以及应用.解不定方程的根本方法是别离整系数法,要熟练掌握.在具体应用问题上,能将实际问题转化为不定方程的问题,并根据题意挖掘题目的隐含条件,也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1. (2000年希望杯竞赛题)假设a、b均为正整数,且2a>b,2a+b=10,那么b的值为()A.一切偶数B.2、4、6、8C.2、4、6D.2、42 .假设正整数x,y满足2004a=15y,那么x+y的最小值为.3 .如