线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

1、word线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系 数学系数052 蒋春摘要：通过对二元线性方程组，三元线性方程组，四元线性方程组有关系数矩阵，增广矩阵的秩的分析，对其列，行向量的线性相关性分析，初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。 关键词：线性方程组 空间直线 系数矩阵 增广矩阵 矩阵秩 线性相关性引言：判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用，表达了几何与代数的完美结合，虽在解析中给出了两条判定定理，但在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用方程组系数矩阵，增广矩阵的秩，对其列，行向量的线性相关性作出系统研究，并给出了一些非常有用的结论

2、。1：二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系设线性方程组：因为表示平面内一条直线根据解析几何知与的几何关系：相交的充分必要条件是不重合： 平行的充分必要条件是： 重合的充分必要条件是： 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为，现记线性方程组增广矩阵的列向量，那么：由条件1相交的充分必要条件是不重合：与线性无关，即或那么Rank(A)=2几何图形：由条件2平行的充分必要条件是：与线性相关，、线性无关，Rank(A)=1, Rank(B)=2几何图形：由条件3重合的充分必要条件是：、线性相关，即Rank(A)= Rank(B)=1几何图形：例：直线与的方程分别为，确定他们的位置关系。解：即线性相关，

3、线性无关直线与是相互平行不重合的。2：三元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系设线性方程组由解析几何知是空间内一个平面两平面相交的充要条件是： 平行的充要条件是 重合的充要条件即相交的充要条件是平行的充要条件是且重合的充要条件即设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为 现记线性方程组增广矩阵的列向量 现记线性方程组系数矩阵的行向量线性方程组增广矩阵的行向量 由 高等数学 第五版 我们知， ，是平面 ，的法向量(1): 当时，。这时方程组有唯一解。几何意义：三个平面相交于一点。几何图象：图形说明：三个 ，交于一点。2当即时当时，参考 线性代数 方程组有无数个解，且导出组的根底解系只有一个解向量。几何意

4、义：三个平面交于一条直线。，且中有两个向量相关。几何意义：两个平面重合与第三个平面相交于一条直线。几何图形： 图形说明：有两个平面不访设为 ，重合与第三个平面相交于一条直线。 ，且中两两向量无关。几何意义：三个平面两两交于一条直线。几何图形：图形说明：三个平面 ，两两交于一条直线。当时由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组没有解。中有两个相关几何意义：其中两个平面平行，他们和第三个平面相交。几何图形：图形说明：平面 ，平行与平面相交。 中有两两无关几何意义：三个平面两两相交，围成一个三棱拄几何图形：图形说明：三个平面 ，两两相交，围成一个三棱拄3当时，即，此时三个平面的法向量平行，就有三

5、个平面平行。当时，方程组有无数多个解，导出组的根底解系有两个解向量，此时三个平面代表同一个平面。几何意义：三个平面重合几何图形：图形说明：三个平面 ，重合。时，方程组无解，中有两个向量相关。这时有两个平面重合，第三个平面与他们平行。几何意义：两个平面重合，第三个平面与他们平行。几何图形：图形说明：两个平面设为 ，重合与第三个平面平行。 ，中有两两向量无关。这时，三个平面相互平行不重合。几何意义：三个平面相互平行不重合。几何图形：图形说明：三个平面 ，相互平行不重合。例： ，那么三个平面相交成三条平行的直线的充分条件是 A，B任两个线性无关，且不能由线性表出C任两个线性相关，且不能由线性表出D任

6、两个线性无关，但线性相关，且不能由线性表出解：由题意得，线性方程组根据条件三个平面相交成三条平行的直线，那么根据上面讨论满足条件的图形为：其相应的条件为，中有两两无关对应为D选项，即任两个线性无关，但线性相关，且不能由线性表出。3，空间直线与空间平面的位置关系： 如果即那么平面，相交成一条直线设为。根据解析几何知识可化为直线的标准方程式中， ，设空间平面方程根据解析几何知识直线与平面的位置关系相交的充要条件： 平行的充要条件： 直线在平面上的充要条件：设方程组同前面一样设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为 现记线性方程组增广矩阵的列向量 现记线性方程组系数矩阵的行向量线性方程组增广矩阵的行向量

7、 相交的充要条件：几何意义：直线与平面相交，此时只有一个交点。那么满足三个平面相交与一点的条件。既有唯一解几何图形：图形说明：直线平面，的交线与平面相交于一点。平行的充要条件： 几何意义：直线与平面平行，即，的交线与平行。，相交，平行或那么，平行。等价条件为： ，且中有两个相关。几何图形：图形说明：直线平面，的交线与平面平行，且平面或者与平面平行。， 两两相交等价条条件：，且中有两两无关。几何图形： 图形说明：直线平面，的交线与平面平行，且平面、 与平面相交。直线在平面上的充要条件：几何意义：直线在平面上，即，的交线在上。此时三个平面相交与一条直线。等价条件：，且中两两向量无关。几何图形： 图

8、形说明：直线平面，的交线在平面平行上。4，空间直线间位子关系设直线是平面与的交线，是与的交线，即此时有 与否那么将有平面与平行或者平面与平行，此时属于空间直线与空间平面的位置关系，上已经讨论。那么与的位置关系有：异面、平行、相交与重合，现分别分析如下。异面：由条件直线是平面与的交线，是与的交线此时与不可能重合，与不可能重合，故有假设有两个平面重合，不访设与重合既，此时与是不可能异面。因为既与同在一个平面上，此时不可能异面。假设有两个平面平行，不访设平面与平行既，那么与异面的充要条件是方程组与方程组均有唯一解。几何图形：图形说明：直线平面，的交线与直线平面，的交线异面，且平面与平行。假设与平行且

9、与平行。，且，时，显然有与平行，不可能异面。几何图形： 图形说明：与平行且与平行，此时与平行。假设与相交，此时不在考虑与平行的情况在中已经讨论那么必有，与两两相交否那么将有平面平行。那么与异面的充要条件是方程组无解，但存在其中的某3个方程构成的方程组有唯一解。其等价条件是：，中两两无关。，且此时在分两种情况：有四种可能性使某3个方程构成的方程组有唯一解。此时不访设几何意义：三个平面交于一点，且与第四个平面两两相交既为四面体形状。几何图形： 图形说明：任意三个平面交于一点，且均与第四个平面相交构成四面体。只有三种可能性使某3个方程构成的方程组有唯一解。几何图形：四个平面分别为平面ABC，平面AB

10、FE，平面BCF，平面ACE。 图形说明：三个平面ABC，平面ABFE，与平面ACE相交与A点；三个平面ABC，平面ABFE，与平面BCF相交与B点；三个平面ABC，ACE与平面ABC相交于C点。平行：现由条件直线是平面与的交线，是与的交线此时与不可能重合，与不可能重合，故有 与假设有两个平面重合，不妨设与重合，那么与平行的充要条件是与平行或者与的交线与平行。既且与平行且或那么且，与两两相交且无公共点既是： 且，中两两无关。几何图形： 或者 图形说明：左图与重合， 与平行且与平行；右图与重合， 与平行且与的交线与平行。假设有两个平面平行，不妨设与平行，那么与平行的充要条件是与平行或者与的交线与

11、平行。既，且与平行且或那么且，与两两相交且无公共点既是： 且，中两两无关。几何图形：或者图形说明：左图与平行，与平行且与平行；右图与平行，与平行且与的交线与平行。假设与平行，且与，那么与平行上面已经讨论。几何图形： 图形说明：与平行且与平行，此时与平行。假设与相交，此时不在考虑与平行的情况在中已经讨论那么必有，与两两相交否那么将有平面平行。那么与平行的充要条件是那么与异面的充要条件是方程组无解，但对任意其中某3个方程构成的方程组没有唯一解与，与两两相交，与异面的条件相反。其等价条件是：，中两两无关。，且此时有两种情况：对任意其中某3个方程构成的方程组没有解等价条件：，中任意三个都线性无关几何图

12、形：截平面图 图形说明：平面，与中任意三个没有交点，四个平面围成一个没有上下底的四面拄。对任意其中某3个方程构成的方程组没有唯一解，但却有含有一个解向量的根底解系。等价条件：，中某三个都线性相关几何图形：截平面图 图形说明：平面，与中的某三个平面交于一条直线，并均与第四个平面相交。相交：由于与的交点只有一个，既与的交线与与的交线的交点只有一个，也既是平面， 与的交点只有一个。相交的充要条件： ，中两两线性无关时：几何意义：两两平面相交，且四个平面相交到一点。几何图形： 图形说明：四个平面，与两两相交于一点。与线性相关或那么与线性相关时，那么必有两个平面重合。几何意义：此时相当于三个平面相交到一点。几何图形： 图形说明：平面，两两交于一点假设平面与重合。重合：由于与重合，既与的交线与与的交线重合，也既是平面， 与的交点在一条直线上。重合的充要条件：， 与四个平面两两相交于直线没有平面重合等价条件：，中两两线性无关。几何图形： 图形说明：， 与四个平面两两相