二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题不等式高考一轮数学精品课件

1、 1.二元一次不等式(组)表示平面区域 作二元一次不等式作二元一次不等式Ax+By+C0(或或Ax+By+C0)表示的平面区域的方法步骤表示的平面区域的方法步骤: (1)在平面直角坐标系中作出直线在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0. (2)在直线的一侧任取一点在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地特别地,当当C0时时,常把常把 作为此特殊点作为此特殊点. 原点原点 (3)若若Ax0+By0+C0,则包含点则包含点P的半平面为不等式的半平面为不等式 所表示的平面区域，不包含点所表示的平面区域，不包含点P的半平的半平面为不等式面为不等式 所表示的平面区域所表示的平面区域. 2.线性

2、规划的有关概念 （1）线性约束条件）线性约束条件由条件列出一次不等式（或由条件列出一次不等式（或方程）组方程）组. （2）线性目标函数）线性目标函数由条件列出一次函数表达式由条件列出一次函数表达式. （3）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题的最大值或最小值问题.Ax+By+C0Ax+By+C0 （4）可行解：满足）可行解：满足 的解（的解（x，y）. （5）可行域：所有）可行域：所有 的集合的集合. （6）最优解：使）最优解：使 取得最大值或最小取得最大值或最小 值的可行解值的可行解. 3.利用线性规划求最值，一般用图解法求解

3、，其步骤是 （1）在平面直角坐标系内作出可行域）在平面直角坐标系内作出可行域. （2）作出目标函数的等值线）作出目标函数的等值线. （3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定值线，从而确定 . （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值值或最小值.最优解最优解 线性约束条件线性约束条件 可行解可行解 目标函数目标函数 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,满足不等式组满足不等式组 |x|y| |x|1的点的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图形中的（的集合用阴影表示为下列图

4、形中的（ ） 将各不等式化为将各不等式化为ax+by+c0(或或0)或或ax+by+c0(或或0)的形式，按步骤作出的形式，按步骤作出.若若0 x1,当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则yx;当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则y-x; 若若-1x0,当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则y-x;当当y0时，要使时，要使|y|x|,则则yx. 故应选故应选C.确定二元一次不等式确定二元一次不等式Ax+By+C0(或或0)表示的平面区域程序为：在直线表示的平面区域程序为：在直线l：Ax+By+C=0的一侧的一侧任取一个点任取一个点P（x0，y0），代入），代入Ax+By+C中，若中，若

5、Ax0+By0+C0,则在直线则在直线l的含的含P点的一侧即为点的一侧即为Ax+By+C0所表示的区域；若所表示的区域；若Ax0+By0+C0,则在则在直线直线l的不含的不含P点的一侧即为点的一侧即为Ax+By+C0所表示的区所表示的区域，即域，即“线定界，点定域线定界，点定域”.设集合设集合A=（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长是三角形的三边长，则则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ） A(由于由于x，y，1-x-y是三角形的三边长，是三角形的三边长， x+y1-x-y x+y , x+1-x-yy x , y+1-x-yx y

6、 . 再分别在同一坐标系中作直线再分别在同一坐标系中作直线x= ，y= ，x+y= ，易知，易知A正确正确. 故应选故应选A.)故有故有 2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1 y0 yx y2-x txt+1为为S=f(t),试求试求f(t)的表达式的表达式.如果由约束条件如果由约束条件所确定的平面区域的面积所确定的平面区域的面积 画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域,由平面区由平面区域的特点表示面积域的特点表示面积.由约束条件所确定的平面区域是五边形由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP(如图如图5-3-1),其面积其面积S=f(t)

7、=SOPD -SAOB S ECD,而而SOPD = 12=1,SOAB = t2,SECD = (1-t)2,所以所以S=f(t)=1- t2- (1-t)2=-t2+t+ .2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1平面区域的面积问题是线性规划问题中平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型一类重要题型,在解题时在解题时,关键是正确地画出平面区域关键是正确地画出平面区域,然然后结合有关面积公式求解后结合有关面积公式求解. x0 y0 y-x2 表示的平面区域表示的平面区域,则当则当a从从-2连续变化到连续变化到1时时,动直线动直线x+y=a扫过扫过A中的那

8、部分区域的面积为中的那部分区域的面积为 .若若A为不等式组为不等式组 (在平面直角坐标系内画出不等式组在平面直角坐标系内画出不等式组 x0, y0, y-x2，角形区域（包括边界），其中三个顶点坐标分别是角形区域（包括边界），其中三个顶点坐标分别是 O（0，0） ， C（-2，0），）， B（0，2）. 再画出直再画出直 线线x+y=-2与与x+y=1，记直线，记直线x+y=1与与y-x=2、y轴的交轴的交 点点分别为点分别为点D，E，则点，则点D(- ， )，E（0，1）.结合图结合图形可知，当形可知，当a从从-2连续变化到连续变化到1时，动直线扫过时，动直线扫过A中的那中的那部分区域是四边

9、形部分区域是四边形OCDE，因此所求区域的面积等于，因此所求区域的面积等于 22- 1 = .)4 47 7所表示的平面区域，可以看出是一个三所表示的平面区域，可以看出是一个三 2 21 12 23 32 21 12 21 12 21 14 47 7 x1 x-3y-4 3x+5y30(1)求目标函数求目标函数z=2x-y的最大值和最小值的最大值和最小值;(2)求目标函数求目标函数z=x2+y2+10 x+25的最小值的最小值;(3)若目标函数若目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个取得最大值的最优解有无穷多个求求a的值的值.(4)求目标函数求目标函数z= 的取值范围的取值范围.已知

10、已知x,y满足约束条件满足约束条件 5 5+ +x x5 5+ +y y (1)由线性规划求出由线性规划求出z=2x-y的最大的最大(小小)值值; (2)z=x2+y2+10 x+25表示可行域上一点到表示可行域上一点到(-5,0)的距离平的距离平方方;(3)z的几何意义是直线的几何意义是直线y=-ax+z在在y轴上的截距；轴上的截距；(4)z= 表示可行域上一点表示可行域上一点(x,y)与与(-5,-5)点连线的斜率点连线的斜率. (1)作出可行域如图所示作出可行域如图所示:作直线作直线l:2x-y=0,并平行移动使它过可行域内的并平行移动使它过可行域内的B点点,此时此时z有最大值有最大值;

11、过可行域内的过可行域内的C点点,此时此时z有最小值有最小值, x-3y=-4 3x+5y=30, x=1 3x+5y=30， zmax=25-3=7,zmin=21- =- .解解得得B(5,3).解解得得C(1, ). 5 52 27 75 52 27 75 51 17 7 (2)由几何意义由几何意义,可行域上一点到可行域上一点到(-5,0)的最小距离在的最小距离在A处取到处取到. x=1 x-3y=-4 最小距离最小距离d= . zmin=d2= . 由由得得A(1, ). 3 35 53 33 34 49 9= =) )3 35 5( (+ +6 62 22 29 9349349 (3)

12、一般情况下一般情况下,当当z取得最大值时取得最大值时,直线所经过的点都直线所经过的点都是唯一的是唯一的,但若直线平行于边界直线但若直线平行于边界直线,即直线即直线z=ax+y平行平行于直线于直线3x+5y=30时时,线段线段BC上的任意一点均使上的任意一点均使z取得最取得最大值大值,此时满足条件的点即最优解有无数个此时满足条件的点即最优解有无数个. 又又kBC=- ,-a=- , a= .5 53 35 53 35 53 3 (4)z= ，可看作区域内的点（，可看作区域内的点（x，y）与点与点D（-5，-5）连线的斜率）连线的斜率. 由图可知，由图可知，kBDzkCD, kBD= ， kCD=

13、 ， z= 的取值范围为的取值范围为 .( (- -5 5) )- -x x ( (- -5 5) )- -y y= =5 5+ +x x 5 5+ +y y5 54 4= =( (- -5 5) )- -5 5( (- -5 5) )- -3 31 15 52 26 6= =( (- -5 5) )- -1 1( (- -5 5) )- -5 52 27 75 5+ +x x 5 5+ +y y2 25 51 16 6, ,5 54 4线性规划求最值问题，要充分理解目标线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义，函数的几何意义， 诸如直线的截距、两点间的距离诸如直线的截距、两点间的距离

14、 （或平方）、点到直线的距离、过已知直线两点的斜（或平方）、点到直线的距离、过已知直线两点的斜率等率等. 7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100.（1） 的取值范围；的取值范围；（2）x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.已知已知x,y满足条件满足条件 求：求：4 4+ +x x7 7+ +y y(1)如图所示，如图所示，ABC区域为不等式组区域为不等式组 7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100, 其中其中A（4，1）,B（-1，-6）,C（-3，2）. 可可 以理解为区域内的点与点以理解为区域内的点与点D（-4，-7）连线的斜率）连线的斜率.由图由图 可

15、知，连线与直线可知，连线与直线BD重合时，倾斜角最小且为锐角重合时，倾斜角最小且为锐角.连连 线与直线线与直线CD重合时，倾斜角最大且为锐角重合时，倾斜角最大且为锐角. kDB= ，kCD=9 ， 的取值范围的取值范围 .表示的平面区域，表示的平面区域， 4 4+ +x x7 7+ +y y3 31 19 9 , ,3 31 14 4+ +x x7 7+ +y y (2)设设u=x2+y2，则，则 为点（为点（x，y）到原点的距离）到原点的距离.结合不等式组所表示的区域，不难知道：点结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点的到原点的距离最大，而当点（距离最大，而当点（x，y）在原点时，距

16、离最小且为）在原点时，距离最小且为0.umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0.u u预算用预算用2 000元购买单价为元购买单价为50元的桌子和元的桌子和20元的椅子，元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，希望使桌椅的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？倍，问桌、椅各买多少才行？ 利用线性规划的思想方法解决某些实际利用线性规划的思想方法解决某些实际 问题属于直线方程的一个应用问题属于直线方程的一个应用.本题主要考查找出约束本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直条件与目标

17、函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解线求得满足题设的最优解.设桌椅分别买设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示张，把所给的条件表示成不等式组，成不等式组， 50 x+20y2 000, yx, y1.5x， x0， y0. 50 x+20y=2 000， x= ， y=x， y= .解得解得由由 7 72 20 00 07 72 20 00 0 即约束条件为即约束条件为A点的坐标为点的坐标为( ， ) . 50 x+20y=2 000, x=25, y=1.5x, y= .B点的坐标为点的坐标为(25, ).满足约束条件的可行域是以满足约束条件的可行域是以 7 72 20

18、 00 07 72 20 00 0由由解得解得 2 27 75 52 27 75 5A( ),B(25, ),O(0,0)为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域(如图如图5-3-3).7 72 20 00 0, ,7 72 20 00 02 27 75 5由图形直观可知由图形直观可知,目标函数目标函数z=x+y在可行域内的最在可行域内的最优解为优解为(25, ),但注意到但注意到xN*,yN*,故取故取y=37.故买桌子故买桌子25张张,椅子椅子37张是最好选择张是最好选择.2 27 75 5解题中应当注意到问题中的桌、椅张数解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件应是自然数这个

19、隐含条件,若从图形直观上得出的最优若从图形直观上得出的最优解不满足题设时解不满足题设时,应作出相应地调整应作出相应地调整,直至满足题设直至满足题设.某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品，已知生产甲产品1t需煤需煤9t，电力，电力4 kW，劳力，劳力3个个（按工作日计算）；生产乙产品（按工作日计算）；生产乙产品1t需煤需煤4t，电力，电力5kW，劳力劳力10个；甲产品每吨个；甲产品每吨7万元，乙产品每吨万元，乙产品每吨12万元；万元；但每天用煤量不得超过但每天用煤量不得超过300t，电力不得超过，电力不得超过200kW，劳力只有劳力只有300个个.问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财才能既保证完