专题五-利用导数证明不等式--教案.doc

1、专题五利用导数证实不等式一、用函数的单调性证实不等式：我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于).时,那么该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证实不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证实该函数的单调性,然后再用函数单调性到达证实不等式的目的.即把证实不等式转化为证实函数的单调性.一般方法：构造辅助函数f判定单调性f得所证不等式.根本依据：假设f(x)在(a,b)内单增=f(a)f(x)f(b)；假设f(x)在(a,b)内单减=f(b)f(x)0时,求证；x-ln(x+1)0),那么f0,f(x)0,故f(x)在0,)上递减,x2,xA0时,f(x)l时,F(x)9,从

2、而F(x)在(1,+x)上为增函数,F(x)F(1)=+0,J2X3LX2_Jnx0.X,将其中一个常数6322.由欲证形式做恒等变形作差或作商,变成初等函数四那么运算的形式,假设变量没有改为x),那么另一端即为所求作的辅助函数F(x),然后利用导数证实该函数的单调性,到达证实不等式的目的.时,2【例2】求证：当x8,+馅)M(14)乏.2(1+x)证实:-ln(l+x),补充定义f(0)=0,那么2(1+x)f(x)=l_4x2+4x_2x2.1=2x20,4(1+x)2lx4(1+x)2 f(x)在0,9)上单调递增,在(0,收)f(x)f(0)=0, 二ln(l+x),又f(a)之0,那

3、么x时,f(x)0.【针对练习2】求证：当xj0*时,sinxx.证实：令f(x)=sinx-x,补充定义f(0)6,那么f(x)=cosx-10, f(x)在(0,冗)上单调递减,在(Oj)f(x)f(0)=0,sinxx.【例3】当x三(0,1)时,证实：(1+x)ln2(l+x)x2.证实：f(x)=(l+x)ln2(i+x)-x2,那么f(0)=0,而f(攵)=ln2(x)之ln(l+x)-2x,f*(0)=0,当xe(0,1)时,fx)=2ln(1+x)_2-ln(l+x)_x0,1+x1+x1+x f(x)在Xw(0,1)上递减,即f(x)fF(0)=0,从而f(x)在(0,1)递

4、减, f(x)f(o)=0,(l+x)ln2(l+x)l+x.2证实：设f(x)=ex_X21_x(x0),那么f,(x)=eX_x_l,fCx)=ex_1.2当*之0时,f(x)0,Af(x)在0,旧)上单调递增,f(x)之f(0)=0, 1?行)在0,)上单调递增,f(x)f(0)=0,Je、_X2+x.,X2【例4求证：当0xjt时,sin_2冗.XXXsin-证实:假设令f(x)=sin_,证实过程比拟麻烦,我们可令f(x)=1,2TT1X-COS-x_那么f6)=222X*.0xn,0*XXXsin_cos_xx2=,2(-tan)o,x22冗X-,那么关tan_,Jf?x)f(7i

5、)=L,即sin_冗2冗【例5】求证：当bae时,abba.(常数不等式一般化为函数不等式证实)一卜Inb分析：abbInaalnb=-ta-a-,可令f(x)=jRf(xe),证f(x)单减；abx或者abbaubInaaInb,证xlnaalnx(xa),可令f(x)=xlna-alnx(xa),证f(x)0.证法一：令f(x)=ln*(xe),那么f(x)=llnxe,Jn_tL,即abba.aba证法二：令f(x)=xlna-aInx(xae),那么f(x)=ina-0,xaIna1,f(a尸0,xlnaKInx(xa),特别地令x=b,得bInaaInb,即a.ba.【针对练习4】证

6、实：当x1时,In2(x+l)lnxln(x+2).Inx_ln(x+1)、十口、ln(x+1)、口-fx+1xxInx(x+l)ln(x+1)证实：设f(X)=-(X1),那么t(X)=；=七VInxInxx(x十1)lnx由于1vxx+1,0lnxln(x可),故xInx-(x+l)ln(x+1),ln(x.工在(1,+co)内f(x)皿2),Inxln(x+l)从而In2(/l)lnxln(x+2).3.通过换元后作差构造函数证实不等式.111【例6】(07山东)证实：对任意的正整数n,不等式In(+-T都成立.nnn分析：此题是山东卷的第(2)问,从所证结构出发,只需令一l=x,那么问

7、题转化为：当X?.时,恒有nIn(x+l)x2-x3成立,现构造函数h(x)=x3-x2+ln(x+l),求导即可到达证实.证实：令h(x)=x3_X2+ln(x+1),那么lr(x)=3x_2x+1=3x3+(xI在x小(与上)上恒正,x+1x+1函数h(x)在(0,+m)上单调递增,xE(o,+s)时,恒有h(x)h(0)=0,即x3-x2+ln(x+l)0,/.ln(x+l)x2-x3.1111对任意正整数n,取x=亡(0,一),那么有1口(一+1)a：r.nnnn【针对练习】假设*w(0,),求证：_!_Jl0,At1,x=_L.xt-1那么原不等式=l_llnt1_1.tt,t,f(

8、t)0,Af(t)在1,+*)上为增函数.f(t)“1)=0,t-1lnt.令g(t)=Int-1+L,+“),g(t)-Itt,t2,tEl,),g(t)之0,g(t)在口,+8)上为增函数.X+g(t)g(l)=0,Alntl_X,Aln11.tx+1XX点评：(1)代换作用：此题设代换t=l+L,0x+8实际上就是把原来取不到的x=0值代换为可取X到的t=1,把原来要研究函数在xT+8处的值,等价为研究函数在t=1处的值；、X+1(2)假设令1=:,那么In(l+L)：l,即为此题的特例,想一想2n+l.证实：要证原式,即需证：2“-2n-10,对n之3时成立.设(L2x_2(3),那么

9、,_x_,又fx-xx-f(x)-2ln22(X-3) x之3,f(x)23In2-2,Af(x)在3,y)上是增函数, f(x)的最小值为f(3)=23-61弓.,f(x)0(x3). ,n,*n*3时,2n2nt.【针对练习6】当x0,0a0),那么f(x)=axa-t-a=a(xa+_l).令f(x)=0,得x旺.当xW(0,l)时,f(x)0,当xW(l,z)时,f(x)0,即g(x)在(0,1)上为增函数,在(1,十多上为减函数.故函数f(X)在(0,0)上的最大值为f(x)max=f(l)=0,即f(x)f(l)=0,xa-ax+a-10,即x,-ax0,2且b=5a2_3a21n

10、a,求证：f(x)g(x).2证实：设F(x)=g(x)_f(x):J_X2+2ax_3a2Inx_b,那么Fx)=x+2a3a2=(x-a)(x+3a),2xx /x0,a0,当x=a时,F(x)=0,故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+s)上为增函数,于是函数F(x)在(0,+“)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0,故当x0时,有f(x)-g(x)0,即f(x)g(x).【针对练习71函数f(x)=ln(x+l)_x,求证：当x_1时,恒有1_一ln(x+陛x.x+l分析：此题是双边不等式,其右边直接从函数证实,左边构造函数g(x)=ln(x+l)+L-1,从其t1导数入手

11、即可证实.证实：f(rx)=_1_1=,_X丐X+1当一lx0,即f(x)在(1,0)上为增函数；当xA0时,f(x)1时,f(x)f(0)=0,即ln(x+1)x0,ln(x*)Wx.令g(x)=ln(x+1广一,那么g(x)=-=.XX十(X1产(x+l)2当xE(-l,0)时,g(x)0,即g(x)在(-1,0)上为减函数,在(0,上/)上为增函数._十8上的最小值为_故函数g(X)在(-1,)g(X)min-g(0)V,当x-1时,g(x)g(0)=0,BPln(x+l)+1-10,ln(x+l)l-.X1X1综上可知,当x_1时,有1ln(x+l)x.x+l【例9】f(x)=LX3X

12、,XI,X211,1时,求证：If(xi)-f(X2)区T.33证实：f(x)=x2-1,1,1时,f(x)0,f(x)在上递减,2 2故f(x)在上的最大值为f(_l)=,最小值为f(l)=_一,3 32 2即f(x)在一1,1上的值域为二3 322XI,X2可1时,|f(Xl)1,If(X2)l-,332 24即有If(Xl)-f(X2)l1f(xi)hlf(X2)l1,对于0,1中的任意x都有L-xP+(Ux)P0,当石,一)时,f,(X)0,2 211f(x)在0,)递减;f(x)在(一,1递增.22f(x)的最小值为f(_)=()P+()p=2(2P=,22222pi又f(1)=1,

13、f(0)=1,.f(x)的最大值为1,即x%,l时,4f(x)4,12pi故xP+(l_x)Pl.2p7二、用中值定理证实不等式：1.利用拉格朗日中值定理：假设f(x)满足以下条件：(1)f(x)在闭区间a,b内连续；(2)f(x)在开区间(a,b)上可导,那么在(a,b)内至少存在一点J使得f与=f(b)-3.b-a一般方法：构造辅助函数T据拉格朗日中值定理得等式T由E的范围确定f(1)范围得所证不等式._b_【例1】证实不等式：(0ab).baa分析：把不等式可以改写成一(ba)lnblna(ba),可见中项是函数Inx在区间a,b两端值之ba差,而(ba)是该区间的长度,于是可对Inx在

14、a,b上使用拉格朗日中值定理.证实：设f(x)=lnx,贝ijf(x)=-.在区间a,b上满足拉格朗日中值定理的条件,X即ln_b二g-a.二b-a：b_In-Kb_Za_故在(a,b)上存在,使得f(b)f(a)=C)=,b-a上1b_a又因一,于是有4lnb-Ina1-,即b-abb-aab,inD【针对练习1设0a_2n_.b-aa2+b2证实：设f(x)=lnx,贝|Jf(x)=-.在区间a,b上满足拉格朗日中值定理的条件,故在(a,b)上存在t,使得f(h)-f(a)=f化)=X,即Inh吊a=.baba2212a11Inb-Ina2aa九)之2ab,/.一之-工,又因一,于是有-2

15、ba%bb-aab4【针对练习2设eab2(ba)oZinXe证实：令f(x)=ln2x,那么f(x)=.在区间a,b上满足拉格朗日中值定理的条件,x故在(a,b)上存在使得f(h)f(a)二f,位,-Iba即A_Zlnx=212,*亡(a,bt(e,e2).b-aE再令g(x)=lnx(exe2),gr(x)=lJn-x=,g()g(e)e?,从而262224.原不等式Inb-lna2(ta)成立.4说明：也可令f(x)=ln2xln2aT(xa),(eax0.e例2假设0(yG,p,那么pypt(xy)xp.yPpypyx-y).分析：0yx,那么原不等式等价于pyprxp-ypl).x-

16、y令f(t)=tP,那么我们容易联想到Lagrange中值定理f(Y)(x_x-y证实：设f(t)=tp,那么f(t)=ptrl.在(y,x)上满足Lagrange中值定理的条件,xBy?xy故x),使得故心)=工即pJtpT=x-y禧(jfx),y：x,pyP丁Vp-prpxpT,Jpyp十(x-y)忘p-yPpyE(ky).+,+【针对练习3(13湖北理)设neN*,r为正有理数.证实:n1一(nFnrnr,Anr(-n_LJ一加.r+1(n-l)rtnr+1+1r1+同理可证nr%R1nr,AnL_r+1【例3】证实：当xAO时,三一In(x+lx.x+1分析：注意到Ini=0,可构造函

17、数的改变量ln(x+l)4nl,那么相应自变量的改变量为(x+l)-1=x,所Iln(x*)In1证不等式等价于-1,可考虑用拉格朗日中值定理,导数入手即可证实.X+1X证实：令f(x)=lnx,那么fF(x)=-.在区何l,x+1上满足拉格朗日中值定理的条件.Xt(X+故在(l,x+)上存在2,使得二1-1)=f仁)=L+1-1tXII+即皿工一n=+,m(xi)=j-._一XX由于L11,jJn(x+1),即ln(x+l)x.1+xx+1xx+1【针对练习4】假设oxi,证实：(1-x)e2xl+x.证实：将不等式变形为(1-x)e2x-(i+x)0,令f(x)=(lx)e2仁(1+x),

18、那么f(x)=(1-2x)e2x-1.在区间0,x(0xl)上满足拉格朗日中值定理的条件.故在(0,x)上存在,使得f(x)-f(=f(七)(0x),即f(x)_f(0)=仁)x,x-0(l-x)e2x-(1+x)=(l-2e2-lx.由于fF)=(l-2-)e2-1的范围不易判断,于是求f内=-4-e20.f(r-)在(0,1)上单调递减,f(-)ffo)=0,即f(x)-f(0)=fr(-)x0,(l-x)e2x-(1+x)nr,Anr(rl)rFr+1同理可证n-4n,J二加二工曰M(J-d-.r+1r+1r+1_b_a【针对练习5积分中值定理证实不等式：b二aln(0ab).1baabbII分析：In=Inb-Ina=|-dx,可见可用积分中值定理构造函数f(x)=,xEa,b来处理.aaxx证实：设f(x)=J,那么在区间a,b上满足积分中值定理的条件,x六匕JIbInb-InaI故在(a,b)上存在,使得(ba)f(),xdxInxlaInbIna,即ut.II.Ib_