人教版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称(教师版)

1、点、直线的距离和对称、距离问题1 .设平面上两点p(Xi,yi)B(x2,y2),那么PP2=(Xi-X2)2+(yi-y2)为两点间距离2 .点Rxo,yo)到直线Ax+By+C=0(A2+E2w0)的距离d=一.3 .两条平行直线li：Ax+By+G=0与I2：Ax+By+G=0的距离d=.、对称问题1 .关于点对称问题(i)点关于点对称点M辰于点P(a,b)的对称点是(2ax0,2by0).特别地,点M(%,丫.)关于原点的对称点为(x0,y0).(2)线关于点对称_2_2I的万程为：Ax+By+C=0(A+B=0)和点P(凡).),那么I关于P点的对称直线万一r、r''

2、'.'.''.程.设P(x,y)是对称直线I上任意一点,它关于P(x01yo)的对称点(2x°-x,2y0-y)在直线I上,代入得A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.此直线即为所求对称直线.2 .关于线对称问题(i)点关于线对称点M(x0,y0),直线I:Ax+By+C=0(Ab=0),设点M关于直线I的对称点为N(x0,y°),那么由KmnLKi=-1得到一个关于m,n的方程,又线段MN的中点在直线I得到另一个关1于m,n的方程,解方程组?aIBm-x0即可求出点N(x0,y0上SbC=0一22特别说明:点M(x0,y0)关于x轴对

3、称的点的坐标是(x0,-y0),关于y轴对称点的坐标是(-,y0)点M(x°,y0)关于直线y=x的对称点坐标是(丫0?0),关于y=x对称点为(y0,x°)(2)线关于线对称l1：Ax+Ry+C1=0,l:Ax+By+C=0,求直线11关于直线I对称直线如右图所示,在直线上任取不同于I与l1交点P的任一点M,先求出点M关于直线I的对称点N的坐标,再由N,P在上,用两点式求出直线I2的方程.常见的对称结论有：设直线l:Ax+By+C=0.l关于x轴的对称的直线是：Ax+B(y)十C=0;l关于y轴的对称的直线是：A(x)+By+C=0；l关于原点的对称的直线是：A(-x)+

4、B(-y)+C=0;l关于y=x的对称的直线是：Ay+Bx+C=0;l关于y=x的对称的直线是：A(y)+B(x)+C=0;类型一点到直线的距离例1:求点P(3,2)到以下直线的距离：(1)3x-4y1=0;(2)y=6;(3)y轴.解析：此题主要考查点到直线的距离公式的应用,直接代入点到直线的距离公式即可.答案：(1)由点到直线的距离公式可得|3X3-4X-2-1|16y0=3x0+3.,A(3,2)、B(-1,5),IAB=5-22+T-32=5.1 ,一设C到AB的距离为d,那么2dIAB=10,d=4.又直线AB的方程为y-2x-352=-1-3,即3x+4y17=0,.,_|3xo+

5、43x0+3-17|-d223+4|15x.一5|J5-L=|3x.1|=4.3x°1=±4,解得x0=1或金.3一一5一当x0=1时,y0=0；当x0=不时,3y0=8.C点坐标为(一1,0)或(|,8).3练习1:求经过点P(1,2)的直线,且使答案：解法一：当直线斜率不存在时,即A(2,3),x=1,R0,-5)到它的距离相等的直线方程.显然符合题意,当直线斜率存在时,设所求直线的斜率为k,即直线方程为y-2=k(x-1),由条件得|2k-3-k+2|5-k+2|k2+1#2+1k=4,故所求直线方程为x=1或4xy2=0.解法二：由平面几何知识知l/AB或l过AB中

6、点.kAB=4,假设l/AB,那么l的方程为4x-y2=0.假设l过AB中点(1,1),那么直线方程为x=1,所求直线方程为：x=1或4xy2=0.练习2：假设动点RM,%),F2(x2,y2)分别在直线l1:xy5=0,l2:x-y-15=0上移动,那么PP2的中点P到原点的距离的最小值是()1522D.15.2答案：B类型二两条平行线之间的距离例3:求两平行线h:3x+4y=10和l2：3x+4y=15的距离.解析：由题目可获取以下主要信息：直线l1与l2的方程；l1与l2平行.解答此题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差,从而求解.答案：解法一

7、：假设在直线l1上任取一点A(2,1),那么点A到直线l2的距离,即是所求的平行线间的距离.如图所示,|3X2+4X115|32+42=1.解法二：设原点到直线l1、l2那么由图可知,|OEf|OF即为所求.|15|10|,|OE|of=|_=1,即两平行线间的距离为1.,3+4,3+4解法三：直线11、l2的方程可化为3x+4y10=0,3x+4y-15=0,那么两平行线间的距离为|一1032+425=练习1：两平行直线答案:-200x+3y4=0与2x+6y9=0的距离是练习2：平行线8. 2,-21 1D.二2'22x+3y3=0与2x+3y9=0,那么与它们等距离的直线方程是A

8、.2x+3y12=0B.2x+3y6=0C.2x+3y=0D.2x+3y+3=0答案：B类型三对称问题例4：点R1,1关于直线axy+b=0的对称点是Q3,1,那么a、b的值依次是A.2,211C32解析：设PQ的中点为M那么由中点坐标公式得M1Q,点M在直线axy+b=0上,a+b=0.又PQ在直线与直线axy+b=0垂直,-1-1-3-1'a=T,a=2.故b=-2.答案：B练习1直线l:y=3x+3,求点R4,5)关于直线l的对称点坐标.答案：设点A(x,y)是点P关于直线l的对称点,A、P的中点在直线l上,y+5X+4口nc-2 =3X2+3,即3x-y+13=0又AP与直线l

9、垂直,y5_小-7*3=1,即x+3y19=0x-4解、组成的方程组可得x=-2,y=7,即所求点的坐标为(一2,7).练习2：P(a,b)和Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,那么直线l的方程为()A.x+y=0B.xy=0C.x+y+1=0D.xy+1=0答案：D例5:在直线l:3xy1=0上求一点P,使得:(1) P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2) P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解析：设点B关于l的对称点为B',AB与l的交点P满足(1);点C关于l的对称点为C',AC与l的交点P满足(2).事实上,对于(1),假设P'是

10、l上异于P的点,那么|P'A|P'日|=|P'A|P'B'|<|AB|=|PA|PB|=|PA|PB|；C'|>|AC|=|PA+|PC.对于(2),假设P'是l上异于P的点,那么|P'A|+|P'C=|P'A|+|P'答案：(1)如下图,设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a,b),那么kBB-kl=1,即3,-=-1.aa+3b12=0.abI-4.又由于线段BB的中点坐标为A(2,2),且在直线l上,一ab+4r_小3x221=0,即3ab6=0.解得a=3,b=3,B'

11、(3,3).一I一、一r、,y1x4于是AB的方程为"=即2x+y9=0.3134J由3x-y-1=0gx+y-9=0=2即直线l与AB的交点坐标为(2,5)点P(2,5)为所求.(2)如下图,设点C关于直线l的对称点为C',求出点C'的坐标为(*24).55二.AC所在直线的方程为19x+17y93=0,1126AC和1的交点坐标为(了,不).1126、,一、故P点坐标为(彳,y),为所求.练习1：人(4,58(2,15),直线1:3*4丫+4=0cA.(2)在1上求一点Q,使QAQB的值最小.(1)在1上求一点P,使PA+|PB的值最小;答案:(1)设点A关于直线

12、1的对称点A(x0,y0),y0-54=(2)x033-4心2解得4=0yoA3,-3由两点式可得AB的方程为18x+y51=0又点P应是A,B和1的交点幺、工18xy-5=0/口x=8,解万程组/y得«33x-4y4=0°yy-3kAB=2AB的方程为y=2x+11由于直线AB与1的交点Q即为所求3x-4y4=0解方程组yy=2x11得x二一8y二一5所求点Q-8,-5练习112：假设动点P(x1,y),P2(X2,y2)分别在直线:xy5=012:x-y-15=0上移动,那么PP2的中点P到原点的距离的最小值是()15、22答案：B当堂检测1 .点A(1,3、B(2,6

13、),那么AB的长及中点坐标分别是(C.2>/3f-1,2A.-3%/2,(-1,9)B.3问1,9答案：B2 .假设点A(a,6)到直线3x4y=2的距离等答案：D3.过点C.46.2或竺3A(-1,2户与原点的距离等于-2的直线方程是(2x+y1=0或7x+y+5=0x-y-1=0或7x+y+5=0答案：C4 .假设点P到点P(0,1),F2(7,2)及x轴的距离相等,那么P的坐标是(A.(3,5)B.(17,145)C.(3,5)或(17,145)D,以上全不对答案：C5 .两平行线4x+3y1=0与8x+6y+3=0之间的距离是()2IC1C.51B.101DI答案：D6 .假设点

14、P(x,y)在直线x+y4=0上,O为原点,那么|OP|的最小值是A.10C.6答案：BB.D.7 .平行四边形相邻两边所在的直线方程是11：x2y+1=0和对角线的交点是(2,3),那么平行四边形另外两边所在直线的方程是(12：3xy2=0,此四边形两条)A.B.C.D.2xy+7=0和x-3y-4=0x2y+7=0和3x-y4=0x2y+7=0和x-3y-4=02xy+7=0和3x-y-4=0答案：B8 .两平行直线x+3y5=0与x+3y10=0的距离是.答案：/029 .正方形中央G(1,0),一边所在直线方程为x+3y5=0,求其他三边所在直线方程.11516答案：正方形中央GE1,

15、0)到四边距离相等,均为.设与直线平行的一边所在直线方程为x+3y+c=0,|1+C1|一10一10C1=5(舍去)或C1=7.',C+C2|故与直线平行的一边所在直线方程为x+3y+7=0.设另两边所在直线方程为3x-y+C2=0.6,倚C2=9或C2=-3.10,另两边所在直线方程为3xy+9=0或3xy3=0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x+3y+7=0,3x-y+9=0或3xy3=0.根底稳固1.点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,那么a=()B. 2-721 D.2+1C2.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0

16、B.2x+y4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0答案：A3 .P、Q分别为3x+4y12=0与6x+8y+5=0上任一点,那么|PQ|的最小值为()9A.518B.石D.29529C.10答案：C4 .过点A(3,1)的直线中,与原点距离最远的直线方程为答案：3x-y+10=0水平提升5 .直线7x+3y21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()A.3B.2C.1D.0答案：B6 .两平行直线l1,h分别过点P(1,3)、Q(2,1),它们分别绕P、Q旋转,但始终保持平行,那么l1,l2之间的距离的取值范围是()A.(0,+oo)B.0,5C. (0,5D.0,V17答案：C7.a

17、、b、c为某一直角三角形的三边长,c为斜边,假设点P(m,n)在直线ax+by+2c=0上,那么m2+n2的最小值为答案：48 .与三条直线li：xy+2=0,I2：xy3=0,I3：x+y5=0,可围成正方形的直线方程为答案：x+y10=0或x+y=09 .4ABC的三个顶点是A(1,4)、B(-2,1)、C(2,3).(1)求BC边的高所在直线的方程；(2)求ABC的面积S.答案：(1)设BC边的高所在直线为l,.3一一由题息知kBc=1,2/.那么kl=1,kBC即x+y-3=0.即xy+1=0,22,又点A(1,4)在直线l上,所以直线l的方程为y4=1x(x+1),(2)BC所在直线

18、方程为y+1=1X(x+2),|141|点A(-1,4)到BC的距离d='2-1又|BC=.2匕+1o=4心,=24啦X2/=8.10.直线l经过点A(2,4),且被平行直线li：xy+1=0与I2：xy1=0所截得的线段的中点M在直线x+y3=0上.求直线l的方程.答案：解法一：点M在直线x+y3=0上,设点M坐标为(t,3t),那么点M到l1、l2的距离相等,11-3-t+1|一|t-3-t-1|3解得t=2,M33.IM2,2.3X23?2-25xy6=0.又l过点A(2,4),3y2由两点式得-=342即5x-y-6=0,故直线l的方程为|C1|解法二：设与l1、12平行且距离相等的直线13：x-y+c=0,由两平行直线间的距离公式得Lc-L="十解得c=0,即l3：xy=0.由题意得中点MB13上,又点M在x+y3=0上.yy=0解方程组|x+y-3=03X=2'得3y=2Mj|,2；又过点A(2,4),i的斜率必存在,故由两点式得直线l的方程为5xy6=0.解法三：由题意