【精品讲义】2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)(数理化网)

1、2016年竞赛与自主招生专题第一部分近年来自主招生数学试卷解读从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60%左右02 、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本

2、上的自主.探究和阅读材料，对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。3 、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。4 、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。高频考点一览:不等式均值不等式与柯西/、等式的综合运用，凸函数的性质，证明不等式的常用方法杂题常见的组合数学问题(组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题)解析几何解析几何的基本运算、取值范围与最值问题以及探索性问题平闻几何平面儿何的基本计算和证明、三角形五心问题、图形变换函数函数的奇偶性、周期性、单调性的证明与应用三角函数一些具有技巧性的三角变换，三角包等式和简单的三

3、角不等式问题立体几何复杂的空间几何构型，空间范围内的旋转对称等变换问题排列组合比较具有技巧性的排列组合问题和一些复杂的概率问题方程和多加式高次方程，无理方程的技巧性处理，一些简单的多项式知识数列非等比等差数列的递推公式、通项公式、求和公式的常见解法试题特点分析:1.突出对思维能力的考查。nn【2014年北约】已知Xi>0(i=1,2,.n)口x=1.求证：口(72+x户(逐+1i士i3【解析】不等式；柯西不等式或AM-GM平均不等式.法一：AM-GM不等式.调和平均值Hn=片sGn=*!(&+K),ii1&+Xi/1=用(衣+Xi).,2XiXiXin1n_一工3Xi2&

4、quot;二了"为可得2nn_n2xin_ni，xin;XZ<Z)iN2+Xij.21n上述两式相加得-2nil-2-Xin<ziXiXin_nn_即(应+1)<nn(夜十为)，即(夜十1)<n(72+x)法二：由nXi=1.及要证的结论分析，由柯西不等式得i1“万+x)72+-3lXiJ从而可设1一nn1y=一，且口yi=一=1.从而本题也即证Xi±TX从而口(亚+x)夜11Xi-2nn_2n之(四+1),即n(V2+xI血+yi)之”2+1),i假设原式不成立，即口(乏+x)<(&+1n,则口(乏+y)<(j2+1n.n_一一

5、2n从而口(石+x工应+yi)<32+1)，矛盾得证.i2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。【2014年北约】10、已知实系数二次函数f(x)与g(x)f(x尸g(x)和3f(x)+g(x.0有两重根，f(x)有两相异实根，求证：g(x)没有实根.22【斛析】设fx=axbxc,gx=dxexf,则由f(x)=g(x),可得22.a-dxb-ex»ic-f=0,：=b-e)-4a-dc-f=0.由3f(x)+g(x)=0可得223adx-i3bex3cf=0,.：=3be)-43ad3cf=0.22-2一_2.2_化间得3b+e=12ac+4df,即e4df=3

6、(4acb)又b-4ac>0.2e-4df<0.g(x双有实根二、应试和准备策略1 .注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。2 .注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。3 .适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。2016年竞赛与自主招生专题

7、第一讲：集合与命题（教师版）知识补充：容斥原理基本公式：(1)card(AUB)=card(A)+card(B)card(AAB)；(2)card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(AABAC)Sl-3-1图1-3-2问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：

8、设A=参加游泳比赛的同学,B=参加田径比赛的同学,C=参加球类比赛的同学,则card（A）=15,card（B）=8,card（C）=14,card（AUBUC）=28，且card（AnB）=3,card（AnC）=3,card（AnBAC）=0,由公式得28=15+8+14-3-3-card（BnC）+0,即card（BnC）=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有1533=9（人）二.抽屉原理抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1

9、个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。例1.已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明:至少有两个点之间的距离不大于.分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边工界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于£的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其2_距离便不大于20以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理

10、。如图2,设BC是4ABC的最大边，P,M是4ABC内（包括边界）任意两点，连接PM过P分别作ABBC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、QN,那么/PQN=C,/QNP=A因为BOAB,所以/A>/C,则/QNP>ZPQN而/QM庚/QN田/PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以PQ2_PM显然BOPQ故BOPM由此我们可以推知，边长为亍的等边三角形内（包£括边界）两点间的距离不大于0三、针对性训练1 .对集合1,2,，n及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，

11、集合解儿对的“交替和”是9-6+4-2+1=6.3的“交替和”是6-5=1,4的交替和是2。那么，对于n=70求所有子集的“交替和”的总和。解：集合1,2,3,4,5,6,7的子集中，除去7外还有一|2个非空子集合，把这2|一|才个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设,山必外冲Y这是把树剩结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7,共有'-2)/2组.所以，所有“交替和”之和应该为洲曲倒，扑川忡I。2 .n元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。解：如果子集对是有序的，即在子

12、集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况是2叶种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为,；种，那么k从。变到n,总的情况可能就是乙I卜羔41U刃5。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则3”对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它第一1个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此有(3"T”2个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为抑HIM扑用用附阳分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中

13、，在第二个集合中，或者不在两个集合中。解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对的总数不，以下同解法一。3 .以某些整数为元素的集合P具有下列性质：P中的元素有正数，有负数；P中的元素有奇数，有偶数；一1更P；若x,yeP,则x+yeP。试判断实数0和2与集合p的关系。解：由若x,yCP,贝Ux+yCP可知，若xCP,贝ukxwP(kwN)(1) 由可设x,yCP,且x>0,y<0,则一yx=|y|x(|y|N)故xy,一yxCP,由，0=(yx)+xyCP。(2) 2星P。若2CP,

14、则P中的负数全为偶数，不然的话，当一(2k+1)P(kwN)时，一1=(-2k-1)+2kCP,与矛盾。于是，由知P中必有正奇数。设-2m,2n1wP(m,nwN),我们取适当正整数q,使q'|-2m>2n-1,则负奇数-2qm+(2n1)wP。前后矛盾。4.若S1,S2,0为非空集合，对于1,2,3的任意一个排列i,j,k,若xw§,ywSj,则x-ySk(1)证明：三个集合中至少有两个相等。(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：(1)若xw§,yWSj,则y-xSk,(y-x)-y=-xwSi所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零

15、时，命题显然成立。否则，设S,S2,S3中的最小正元素为a,不妨设awSi,设b为S2,0中最小的非负元素，不妨设bwS2,则baCS3。若b>0,则0&ba<b,与b的取法矛盾。所以b=0。任取xS,因0&,故x0=xCS3。所以S三S3,同理S31S。所以5=0。(3)可能。例如Si=S2=奇数,S3=偶数显然满足条件，Si和S2与S3都无公共元素。5.设S=%,2,3，200必=化田2田3,，胡0丘G,且A具有下列性质：(1)对任意1001WiWj<100,何有ai+aj=201;(2)Zai=10080。i1100试证A中的元素为奇数的个数是4的倍数，

16、且工a：为定值.i1证明：考虑Gi"：1,200：©£2,199),Gw=4100,101"每个集合中取一个元素，但注意到2+4+-+200=1010010080,不妨设不属于A的偶数为胡e2,，ak,则相应的奇数201a1,201a2,201ak应在A中，且对应差的和为20.6.(2010年江苏五校)已知集合A=a,a2,as,，an,其中aCR(1<i<n,n>2),l(A)表示ai+aj(1wi<jwn)的所有不同值的个数.(1)已知集合P=2,4,6,8,0=2,4,8,16,分别求l(P),l(Q;(2)若集合A=2,4

17、,8,，2),求证：l(A)=n(n21);(3)求l(A)的最小值.解：(1)由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,得l(P)=5,由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,得l(Q=6.(2)证明：因为a+aj(1wi<j&n)共有""项,所以l(A)<n(n21).又集合A=2,4,8,，2n,不妨设a21m=1,2,，n.a+aj,ak+a(1wi<jwn,1<k<l<n),当jwl时，不妨设j<l,则a+aj<2aj=

18、2)wal<ak+al,即a+ajwak+a,当j=l,iwk时，ai+ajwak+al,因此，当且仅当i=k,j=l时，a+aj=ak+a.即所有a+aj(1&i<j&n)的值两两不同，因此l(A)="“：1)(3)妨a<&<as<<an,可彳马a1+a2<a+a3<<a+an<a2+an<as+an<<an-1+an,故a+a(1wi<jwn)中至少有2n3个不同的数，即l(A)>2n-3.事实上，设aba2,a3,an成等差数列，考虑a+aj(1<i<j<n),根据等差数列的性质，当i+jwn时，ai+aj=a1+a+j1；当i+j>n时，ai+aj=ai