考研数学三历年真题及答案

1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上),1叱人、-Y-CHQ石X¥0,_4_(1)设f(x)=xcosx,",其导函数在x=0处连续，则大的取值范围是0,右X=0,(2)已知曲线y=x33a2x+b与X轴相切，则b2可以通过a表示为b2=(3)设a>0,f(x)=g(x)=1a,若0<x<1,而D表不全平面，则I=Hf(x)g(yx)dxdy=0,其他，D(4)设n维向量«=(a,0,，0,a)T,a<0；E为n阶单位矩阵，矩阵T1T-eta,B=E+aa,a其中A

2、的逆矩阵为B,(5)设随机变量贝Ua=.X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0,4,则Y与Z的相关系数为(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当nT81n时，Yn=-HX：依概率收敛于ni4、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分,每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且(A)在x=0处左极限不存在.(C)在x=0处右极限不存在.f'(0)存在，则函数g(x)=上区x(B)有跳跃间断点x=0.(D)有可去间断点x=0.(2)设可微函数f(x,y)在点(x&

3、#176;,y°)取得极小值，则下列结论正确的是(A) f(x0,y)在y=y。处的导数等于零(C)f(x0,y)在y=y0处的导数小于零(B) f (x0,y)在y = y0处的导数大于零(D) f(x0,y)在y = y0处的导数不存在一、Lan+anan-an.，,一(3)设Pn=nIn,qn=nIn,n=1,2,则下列命题正确的是220fl(A)若£an条件收敛，则n1(B)若Z-an绝对收敛，则n1OQoQ三Pn与fqn都收敛.n三nqQ(C)若£一小条件收敛，则n1qQqQ工Pn与2qn敛散性都不定n三n11qQ(D)若Nan绝对收敛，则n1qQqQH

4、Pn与£qn敛散性都不定n1n1a b(4)设三阶矩阵A= b a b b(A) a=b 或 a+2b=0.(C) a¥b 且 a+2b=0.2,：- s,都有A =正、(A) Ai, A2, A3相互独立.(B) A2,A3, A4相互独立.(C) Ai, A2, A3两两独立.三、(本题满分8分) 设(D) A2, A3, A4 两两才立.f(x)=一xsin 二x,x 一,i) 二(i - x) 2blb,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有a(B) a=b或a+2b¥0.(D)a#b且a+2b#0.(5)设0tl,ot2，0ts均为n维向量，下列结论不正确的是(

5、A)若对于任意一组不全为零的数ki,k2,，ks,都有kiai+卜232+ksc(s#0,则匕工线性无关.(B)若叫，口2，Ps线性相关，则对于任意一组不全为零的数ki,k2,，kski：1卜2二2一飞二s=0.(C) %,C(2,，C(s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) ai,o(2，o(s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A=掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面反面各出现一次,A4=正面出现两次,则事件i试补充定义f(i)使得f(x)在-,i上连续.四、(本题满分8分)f(u,v)具有二阶连续偏导数，.22.且满足 2-=

6、1 ,又 g(x,y) = fxy,-(x2 y2),求:u;:v2.2,二 g2:x.2,二 g2 .y五、(本题满分8分)2y )dxdy.其中积分区域D=(x,y)x2+y2<n.六、(本题满分9分)二2n求哥级数1十£(_1)n(x<1)的和函数f(x)及其极值.二2n七、(本题满分9分)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(_oo,+=c)内满足以下条件：f(x)=g(x),g(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex.(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式.八、(本题满分8分)设函数f(x)在0

7、,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在t(0,3),使f()=0.九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组S1+b)x+a2x2+23x3+anxn=0,a1x1+(a2+b)x2+23x3+anxn=0,*ax1+a2x2+(a3+b)x3+*"+anxn=0,ax122x223x3(anb)xn=0,n其中£d#0.试讨论a1，a2,，an和b满足何种关系时，i1(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分)设二次型_T222f(x1,x2,x3)=XAX=

8、ax1+2x2-2x3+2bxix3(b>0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵十一、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为，右x1,8,f(x)=33x2,3丫其他；F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X的分布函数十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为1320.7卜而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学(三)真题解析、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上).、

9、一,Y九CCO右X0,(1)设f(x)=(xcosx'"其导函数在x=0处连续，则九的取值范围是九>2.Qx右x=0，【分析】当x=0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当九:>1时，有sin若 x 二 0,若 x = 0,，二1'2cosxx0,显然当2a2时，有limf(x)=0=f'(0),即其导函数在x=0处连续.x.0(2)已知曲线y=x33a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=鱼.【分析】曲线在切点的斜率为0,即y'=0,由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关

10、系.【详解】由题设，在切点处有2222y=3x-3a=0,有x0=a.又在此点y坐标为0,于是有0=x3-3a2x0b=0,故b2=x2(3a2x2)2:a24a4=4a6.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程A,若0MxM1,.2(3)设a>0,f(x)=g(x)=，而D表不全平面，则I=订f(x)g(yx)dxdy=aQ,其他，D一【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0 <x <1,0 < y-x <1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】I=JJf(x)g(yx)dxdy=a2dxdyD

11、0.：x.：1,0<y_x<121x1212=a0dXxdy=a0Kx1)xdx=a.【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.(4)设n维向量a=(a,0,，0,a)T,a<0；E为n阶单位矩阵，矩阵A =EctaT, B=E+LctT, a其中A的逆矩阵为B,贝a= -1【分析】结合律即可.【详解】这里aa T为n阶矩阵，而“ =2a2为数,直接通过 AB = E进行计算并注意利用乘法的由题设，有 T _1 TAB = (E _: : )(E :)a=E - TT二E -上一(T=E f :1 T+ 0

12、(0(a1 T+ acta1 T+ aaa1T T-ota aaa1/ t t一(：.：).a- 2a、" T1=E (-1 -2a”、工=E ,a于是有1 一o112a 十一=0,即 2a2+a1=0,解得 a= ,a = 1.a2由于A<0，故a=-1.(5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X -0.4,则Y与Z的相关系数为 0.9【分析】 利用相关系数的计算公式即可【详解】因为cov(Y,Z) =cov(Y,X -0.4) -E(Y(X -0.4) -E(Y)E(X -0.4) = E(XY) -0.4E(Y) - E(Y)E(X) 0.4E(Y) =E(XY)

13、 - E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 DZ = DX .于是有 cov(YZ尸 cov(Y,Z) = cov(X,Y) = :XY =0.9. DY DZ DX DY【评注】 注意以下运算公式：D(X+a)=DX , cov(X,Y+a) = cov(X,Y).(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当nT 812时，Yn =1£ Xi2依概率收敛于n i丑【分析】本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2，Xn,当方致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值:n、EXi2 n i 二二、

14、选择题(本题共6小题，每小题 把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f '(0)存在，则函数(A)在x=0处左极限不存在.(C)在x=0处右极限不存在.(B)有跳跃间断点(D)有可去间断点g(x) ="x) xx=0.x=0.1np1nXiEXi(n；.：).nijnid11c1【详解】这里X12,x2,，Xn2满足大数定律的条件，且EXi2=DXi+(EXi)2=十(一)2=,因422此根据大数定律有1nYn=-HXi2依概率收敛于ni-4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,【分析】由题设，可推出f(0)=0,再

15、利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有limg(x)=lim-f-x)=limf(x)-f(0)=f'(0)存在，故x=0为可去间断点.1 x - 01, x O,可排除(A),(B),(C)三项，故 0,x = 0,x0x0xJ°x0【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=-=<x应选(D).【评注2】若f(x)在x=x0处连续，则limf(x)二Auf(x0)=0,f'(x0)=A.J%x-x0(2)设可微函数f(x,y)在点(x°

16、;,y°)取得极小值，则下列结论正确的是(A) f(x0,y)在y=y0处的导数等于零.(B)f(x0,y)在y=y0处的导数大于零.(C)f(x0,y)在y=y0处的导数小于零.(D)f(x0,y)在y=y0处的导数不存在.A【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论【详解】可微函数f(x,y)在点(x0,y°)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy(x0,y0)=0,即f(x0,y)在y=y处的导数等于零，故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，f(x0,y)在y=y0处的导数即fy(x0,y0);而f(x,y°)在x=x0处的导数即

17、fx(x0,yO).【评注2】本题也可用排除法分析，取f(x,y)=x2+y2,在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2f(0,y)=y，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).、一an+ana-a(3)设Pn=!,qn=!一，n=1,2，则下列命题正确的是22(A)若Zan条件收敛，则n1PnPn与匚qn都收敛.nmn招qQ(B)若£an绝对收敛，则n1QOQO工Pn与Zqn都收敛.n三nJqQ(C)若£一小条件收敛，则n1qQqQHPn与：fqn敛散性都不定n1n1qQqQqQ(D)若fan绝对收敛，则UPn与Hqn敛散性都不定.Bn1n4n1an - an【

18、分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若an绝对收敛，即zan|收敛，当然也有级数£-an收敛，再根据Pnngnn3qnan - an2及收敛级数的运算性质知,qQqQ£ Pn与Z qn都收敛，故应选(B).n 4n 4a b(4)设三阶矩阵A= b ab b(A) a=b 或 a+2b=0.(C) a¥b 且 a+2b=0.【分析】A的伴随矩阵的秩为blb,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有a(B) a=b或a+2b#0.(D)a¥b且a+2b¥0.C1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解

19、】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有abbbab=(a+2b)(ab)2=0,即有a+2b=0或a=b.bba但当a=b时，显然秩(A)¥2,故必有a¥b且a+2b=0.应选(C).【评注】n(n至2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:n,r(A)=n,r(A*)=<1,r(A)=n-1,O,r(A)<n1.(5)设61,62，0ts均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,，ks,都有匕口1+k2口2+ks«s=0,则巴,口2,Ps线性无关.(B)若巴,口2，Ps线性相关，则对于任意一

20、组不全为零的数k1，k2,，ks,都有k1，i,k2.工2.,kss=0.(C) Bi,"陷线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S.(D) ai,o(2，o(s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关B【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题【详解】(A)：若对于任意一组不全为零的数ki,k2,，ks,都有kN+k2a2+ks«s#0,则口1,口2，Us必线性无关，因为若豆1,豆2厂小线性相关，则存在一组不全为零的数ki,k2,，ks,使得k10tl+k2a2+ksas=0,矛盾.可见(A)成立.(

21、B)：若c(i,c(2,，c(s线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数ki*2,，ks,都有k1二1k212+-+ks二飞=0.(B)不成立.(C)ai,o(2-Ps线性无关，则此向量组的秩为s；反过来，若向量组口102，5的秩为s,则四,。2，Us线性无关，因此(C)成立.(D)«1,«2,«s线性无关，则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数k1,k2，ks,使得klOtl+k2a2+ks«s=0成立，则%,0(2

22、，Rs线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数ki,k2,，ks,都有ki«i+k2«2+ks«s=0,则四,62,，匕线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A=掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面,A3=正、反面各出现一次,A4=正面出现两次,则事件(A)Ai,A2,A3相互独立.(B)A2,A3,A4相互独立.(C)Ai,A2,A3两两独立.(D)A2,A3,A4两两才立.C【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详

23、解】因为1111P(Ai)=rP(A2)P(A3)=KPA)2224一_1_1_1_1_且P(AA2)=,P(AiA3)=,P(A2A3)=,P(A2A4)=P(AiA2A3)=0,4444可见有P(AiA2)=P(A)P(A2),P(AA3)=P(Ai)P(A3),P(A2A3)=P(A2)P(A3),P(AiA2A3)丰P(Ai)P(A2)P(A3),P(A2A4)丰P(A2)P(AJ.故A1，A2,A3两两独立但不相互独立；A2,A3,A4不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立、(本题满分8分)1sin 二x 二(1 一 x)f(x

24、)二二X1试补充定义f(1)使得f(x)在_,1上连续.2【分析】只需求出极限limf(x),然后定义f(1)为此极限值即可.X1一【详解】因为,1limf(x)=lim-X1-二Xsin-：x二(1-x)11二(1一x)-sin二x=lim二二X：1一(1-x)sin二x1=兀-二-二cos二Xlimj二XL-sin：x'(1-x)二cos二x2.11sinx=lim2”J-二cos二x-二cos二x-(1-x”：sin二x，一，1.、由于f(x)在2,1)上连续，因此定义1f(1)=一,ji八一，1一使f(x)在1,1上连续.2【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来

25、，还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x,转化为求yT0+的极限，可以适当简化.四、(本题满分8分)设f(u,v)具有二2f二2f1co阶连续偏导数，且满足二万十:2=1,又g(x,y)=fxy,(x-y),求；:u：:v2.2.2：geg2-2.x二y【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题:2 y2),直接利用复1,g=f(u,v)，u=xy,v=一(x2合函数求偏导公式即可，注意利用22;-fIf.:u；:v；:v；:u【详解】:x所以：2g-2JX-2二 g一 2 .xf2g-2-yf2g-2-yIf.:u22 If-2;u2xyf cucv- 2xy?f：v：:

26、uX2y222-=(x y )-52 f.uIf Ff-f-一 2 .v；：2f22(x y )r2f-2.vjfFf二yxjuvfjf=xy.:uv22=xy.【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五、(本题满分8分)计算二重积分I=eXxy-,sin(x2y2)dxdy.D其中积分区域D=(x,y)x2+y2Wn.【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算【详解】作极坐标变换：x=rcosH,y=rsin8,有一_(x2y2)22I=eliesin(xy)dxdyDins2二行Io6d冗210e4e二。Jr一eintdet=一esint二工，一oe8st出_t二-0c

27、ostde-.t,nnt=ecost0+0e_sintdt=eW+1-A.1因此A=(1+eF),2TTP/L_TT_I=(1e-)=(1e).22【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分(均为最基础的要求)，即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、(本题满分9分)二2n求哥级数1十£(_1)n(x<1)的和函数f(x)及其极值.二2n【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】f(x-(-1)nx2n一n11x上式

28、两边从0到x积分，得f(x)-f(0)=-由f(0)=1,得，、,112f(x)=1-2ln(1+x),(x<1).令f'(x)=0,求得唯一驻点x=0.由于f (x)=1 -x2(1x2)2,f"(0)=7<0,可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数七、(本题满分9分)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(->/Hc)内满足以下条件：xf(x)=g(x),g(x)=f(x),且f(0)

29、=0,f(x)+g(x)=2e.(3)求F(x)所满足的一阶微分方程；(4)求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x底示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程【详解】(1)由F(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)22一.=g(x)f(x)2=f(x)g(x)-2f(x)g(x)二(2ex)2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为2xF(x)2F(x)=4e._2dx2x2dx(2)F(x)=e4eedxC=e2x4e4xdxC2x2x=eCe.将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C

30、=-1.F(x)-e2x-ex【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围八、(本题满分8分)设函数f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在t(0,3),使f()=0.【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c三0,3),使得f(c)=1=f(3),然后在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于f+f+f(2)=1,问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】因为f(

31、x)在0,3上连续，所以f(x)在0,2上连续，且在0,2上必有最大值M和最小值mm<f(0)<M,m<f(1)<M,m-f(2)-M.f(0)f(1)f(2)”m-M.3由介值定理知，至少存在一点c0,2,使f (c)=f(0)f(1)f(2).一 I.因为f(c)=1=f(3),且f(x)在c,3上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知，必存在匕三(c,3)二(0,3),使f()=0.且一般是两两结合起来考.本题【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点,是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组(a1 +b

32、)x1 +a2x2 +a3x3aixi" aixi(a2 b)x2 a3x3a?x2 (a3 b)x3anxanxanx=0,=0,=0,aiXia2x2 a3x3(an b)xn=0,n其中Zai00.试讨论a1，a2,，an和b满足何种关系时,i1(i)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值【详解】方程组的系数行列

33、式a1baia2a2 ba3aia2a3a3 banaia2a3an b= bnJ(b %i 4a)n(i)当b#0时且b+£ai#0时)秩(A尸n,方程组仅有零解.i4(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为aixia?x2anxn=0.#0 可知，ai (i=i,2，n)不全为零.不妨设a1#0,得原方程组的一个基础解系为a2t,i,0,0)aia3t：2=(-,0,1,0)aianT二n=(-,0,0；,1).ain当b=-Zai时，有b=0,原方程组的系数矩阵可化为ii-na1-Zaii且a2na3ana1a2-Zaiia3nana1aa29a3-Zaiijaanina1a2

34、a3*>an-ZaiI（将第1行的-1倍加到其余各彳T,再从第2行到第n行同乘以n1倍）aiiIai -Z ai a2 a3 ana1aia2a3 a ni注-110*0-101-0-100- - 1（将第n行-an倍到第2行的-a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）- -110。一- 1010aasmT：:.- 10010000_由此得原方程组的同解方程组为x2=x1,X3=x1,，Xn=x1原方程组的一个基础解系为：=（1,1，1）1n-1（存在n【评注】本题的难点在b=-£ai时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为i=1n-1阶子式不为零），且显然口=（1,

35、1，1）T为方程组的一个非零解，即可作为基础解系十、（本题满分13分）设二次型f（x1,x2,x3）=XTAX=ax；+2x2-2x2+2bxix3（b>0）,中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.（3）求a,b的值；(4)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b的值;进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵【详解】(1)二次型f的矩阵为a0bA=020.b0-2_

36、设A的特征值为九i(i=1,2,3).由题设，有Ki+九2+九3=a+2+(2)=1,a 0兀入2人3 二 02b 0b0=Ya-2b2=-12.-2解得a=1,b=-2.九1| 止-A= 0-2(2)由矩阵A的特征多项式0-2,一2,九一20=(八一2)(九+3),02十2得A的特征值儿=、2=2,3=-3.对于=%=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得其基础解系勺=(2,0,1)T,2=(0,1,0)T.对于%=-3,解齐次线性方程组(YE-A)x=0,得基础解系3=(1,0=2)T.由于0,J,4已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将匕若2,%单位化，由此得a,如2 =(Q

37、1,0)T3=(，0，- 25)T.=一2令矩阵上1V502L<5则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有200QTAQ=020,00-3且二次型的标准形为222f-2y12y2-3y3.【评注】本题求a,b,也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f的矩阵A对应特征多项式为a-a0-b22?EA|=02-20=(八一2)九一(a2)九一(2a+b).-b0九+2设A的特征值为力52,筋，则心=2,%+%3=a2,九2%=(2a+b2).由题设得九十九2+儿3=2+(a2)=1,123=-2(2ab2)=-12.解得a=1,b=2.十一、(本题满分13分)设随机变量X的概率

38、密度为-1-f(x)= 33x2 ,0,，若x旬1,8,其他；F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X)，然后按定义求Y的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X的值域范围(0<F(X)<1),再对y分段讨论.【详解】易见，当x<1时，F(x)=0;当x>8时，F(x)=1.对于xw1,8,有x13一F(x)dt=x-1.133t2设G(y)是随机变量Y=F(X的分布函数.显然，当yc0时，G(y)=0;当y之1时，G(y)=1.对于丫0,1),有G(y)=PYMy=PF(X)工y=P3X-1_y

39、=PX_(y1)33=F(y1)=y.0,若y<0,于是，Y=F(X；的分布函数为6(丫)=(丫,若09丫<1,L若y"【评注】事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X仍服从均匀分布当y<0时，G(y)=0;当y之1时，G(y)=1;当0qy<1时，G(y)=PYMy=PF(X)Ey1=PX<F-(y)1=F(F(y)=y.十二、(本题满分13分)、=,112)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X,30.7i而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应

40、的概率.注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u)=PXYMu=0.3PX+YEuX=1+0.7PX+YEuX=2=0.3PY<u-1X=1+0.7PYWu_2X=2.由于X和Y独立，可见G(u)=0.3PY<u-10.7PY<u-2=0.3F(u-1)0.7F(u-2).由此，得U的概率密度g(u)=G(u)=0.3F(u-1)0.7F(u-2)=0.3f(u-1)0.7f(u-2).【评注】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进

41、行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)若limsXinx(cosx-b)=5,则a=,b=.xoe-a(2)f2f设函数f(u,v)由关系式fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)#0,则二u二vX214.1xe,Wx<2设f(x)=(22,则f(x-1)dx=卜.书弓一.一222.(4)二次型f(x1，x2,x3)=(x1+x2)+(x2x3)+(x3+x1)的秩为(5)设随机变量X服从参数为入的指数分布，则p x &g

42、t; JDX=22、一(6)设总体X服从正态分布N(岗，b),总体Y服从正态分布N(梭，b),Xi,X2，Xn1和丫1,丫2,Yn2分别是来自总体X和丫的简单随机样本，则1_2n2_2IE(Xi-X)+£(Yj-Y)匚i4jE=n1+n2-2LJ二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)函数f(x)=|x|sin(x2)在下列哪个区间内有界x(x-1)(x-2)2(A)(-1，0).(B)(0，1).(C)(1，2).(D)(2,3).(8)9(刈=J(?"*0,则0 ,x =0(A)

43、x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点设f(x)在(-,+内有定义，且limf(x)=a,x刃(C) x=0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.(9)设f(x)=|x(1-x)|,则(A) x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B) x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C) x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D) x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.(10)设有下列命题：若£(u

44、2n-+u2n)收敛，则Zun收敛.nWn1(2)右E%收敛，则XUn+000收敛.un 1右lim m unO0>1,则工un发散.n1oOoOcd(4)若Z(un+vn)收敛，则£un,Zvn都收敛.n1n1n1则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).(11)设f'(x)在a,b上连续,且f,(a)>0,f)b)<0,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点xOW(a,b),使得f(x0)>f(a).(B)至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)>f(b).(C)至少存在一点x0e(

45、a,b),使得f'(x0)=0.(D)至少存在一点X0W(a,b),使得f(xo)=0.(12)设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当|A|=a(a#0)时，|B|=a.(B)当|A|=a(a#0)时，|B|=a.(C)当|A|#0时，|B|=0.(D)当|A|=0时，|B|=0.*一、一.(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A¥0,若&,&,&,&是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.a,(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.(14)设随机变

46、量X服从正态分布N(0,1),对给定的源(0,1),数u0满足PX>uj=若P|X|<X=a,则X等于(A)u,.(B)u1.(C)u/.(D)Uiq22三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)d21cosX、求lim(2-2-).x0sinxx(16)(本题满分8分)D是由圆x2+y2=4和(x+1)2 + y2 =1所围成的求JJ(Jx2+y2+y)dcr,其中D平面区域(如图).(17)(本题满分8分)设f(x),g(x)在a,b上连续，且满足XX/出7g出，”a,b)，bbf(t)dt-jg(t)dt.aa证明

47、:bblaxf(x)dxWJaxg(x)dx.(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P亡(0,20),Q为需求量.(I)求需求量对价格的弹性Ed(Ed>0);dR(II)推导=Q(1-Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时,dP降低价格反而使收益增加.(19)(本题满分9分)x4设级数(-二x二)的和函数为qx).求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题?黄分13分)设伪=(1,2,0)T,侬=(1,a+2,3a)T,=(-1,-b-2,a+2b)T,B=(1,3,3)T,试讨论当a,b为何

48、值时，(I)B不能由0C1,02,03线性表示；(n)0可由o1,o2,出唯一地线性表木,并求出表本式(in)B可由01,02,«3线性表不，但表木式不唯一,并求出表本式(21)(本题满分13分)设n阶矩阵jbb、b1bA=；.bb1,(I)求A的特征值和特征向量；(n)求可逆矩阵p,使得p,ap为对角矩阵.(22)(本题满分13分)，人j111人设A,B为两个随机事件，且P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=,令4321,A发生，1,B发生，X=3,yj,，J0,A不发生，9B不发生.求(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；(n)X与y的相关系数依丫；(出)Z=X2+Y2的概

49、率分布.(23)(本题满分13分)设随机变量X的分布函数为x > oc,x M a,Lfa?一，、1IF（x,内份=1冰）0,其中参数a>0,B>1.设X1，X2，Xn为来自总体X的简单随机样本(I)当a=1时，求未知参数0的矩估计量；(n)当a=1时，求未知参数B的最大似然估计量；(m)当3=2时，求未知参数a的最大似然估计量.2004年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)若limsinx(cosxb)=5,则a=1,b=-4.x>0ex_a【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为limSinx(c

50、osxb)=5,且limsinx，(cosx-b)=0,所以x>0ex-ax>0lim(exa)=0,得a=1.极限化为x0sinxxlim-(cosxb)=lim一(cosxb)=1b=5,得b=-4.x0eax0x因此，a=1,b=-4.【评注】一般地，已知lim上为=A,g(x)(1)若g(x)T0,则f(x)T0；(2)若f(x)t0,且A丰0,则g(x)T0.(2)设函数f(u,v)由关系式fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)丰0,.：:ufvg2(v)【分析】令u=xg(y),v=y,可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令

51、u=xg(y),v=y,贝Uf(u,v)=U+g(v),g(v)所以,；f_1；：2f_g(v):ug(v)uvg2(v)x21-1xe,xx<21设f(x)=<22,则1f(x-1)dx=-1,x>-22L2x- 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元:的积分性质即可.211【详解】令x1=t,J1f(x1)dx=J1f(t)dt=11f(x)dt2-2-21Y2_1.一一_11=21xedx1(T)dx=0()=.一22【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解(4)二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_2_.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩，亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为f(x1，x2,x3)=(x1+x2)2+(x2x3)2+(x3+x1)222二 2x12x22,2X3,2x1X2,2x1X3-2X2X3于是二次型的矩阵为由初等变换得从而r(A)=2,211A=12-11-121-12”At033t<03-3>即二次型的秩为2.-1302-30【详解二】因为f(x1,