考研高等数学常用公式以及函数图像

1、高等数学常用公式及函数图象导数公式:(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)1xlna(arcsinx)(arccosx)(arctgx)(arcctgx)12,1x1,1x211x211x2基本积分表：tgxdxIncosxCctgxdxInsinxCsecxdxInsecxtgxCcscxdxIncscxctgxCdx1x-2-arctgCaxaadx1,xa仆TlnCxa2axadx2-cosxdx一2sinx2secxdxtgxC2cscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxd

2、xcscxCxxaadxClnashxdxchxCdx22axdx22ax.xarcsina22Insinnxdxcosnxdx0022,x22xadxxa2三角函数的有理式积分:chxdxshxCdx2aln(x22a.一lnx22x2a2)C.xarcsinCa一些初等函数:三角函数公式:诱导公式：两个重要极限:、国数角A、sincostgctg-a-sinacos民-tga-ctga90°-acos民sinactgatga90。+acos民-sina-ctga-tga180°-asina-cos民-tga-ctga180+a-sina-cos民tgactga270-a

3、-cos民-sinactgatga270+a-cos民sina-ctga-tga360-a-sinacos民-tga-ctga360+asinacos民tgactga和差角公式：和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2sincos22cos()coscossinsintg(tgtgsinsin2cos-sin1tgtgcoscos2coscosctg()ctgctg122ctgctgcoscos2sinsin22倍角公式:半角公式:余弦定理:c2 a2 b2 2abcosC正弦定理：abc2RsinAsinBsinC,反三角函数性质：arcsinxarccosxarctg

4、xarcctgx22高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：x空间曲线yz在点M (x0, y0,z0)处的切线方程: xxoy yo zzo(to)(to)在点M处的法平面方程：(to)(xxo)(to)(yyo)(t0)(zz0)0若空间曲线方程为：F(x,y,z)0,则切向量TFyFz,FzFx,FxFyG(x,y,z)0,%yGz'GzGx'GxGy'曲面F(x,y,z)0上一点M(xo,yo,z0),则：1、过此点的法向量：nF

5、x(xo,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(xo,yo,zo)Zo)z ZoFz(Xo, yo,Zo)2、过此点的切平面方程:Fx(xo,yo,zo)(xxo)Fy(x0,yo,z°)(yy°)Fz(x°,y°,z°)(z3、过此点的法线方程:xxoyyoFx(Xo,yo,zo)Fy(xo,yo,zo)方向导数与梯度：函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿方向l的方向导数为：Lossinlxy其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)i-jxyj,为l方向上的它与方向导数的关系是：1g

6、radf(x,y)e,其中ecosisin单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf（x,y）的面积A1xdxdy平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)d平面薄片的转动惯量:D对于x轴Ixy2D(x,y)d,y(x,y)dD(x,y)dD对于y轴1yx2(x,y)dD平面薄片（位于xo产面）殍由上质点MFxfD/2(x(x,y)xd3，22、2ya)2FyfD/2(x(0,0,a),(a(x,y)yd0）的引力:FFx,Fy,F其中:柱面坐标和球面坐标:xrcos柱面坐标：

7、yrsin,zz其中：F(r,z)f(rcosxrsincos球面坐标：yrsinsinzrcosf(x,y,z)dxdydz重心：xxdv,转动惯量:Ix(y23，a2)2FzfaD/2(x(x,y)xd3a2)5f(x,y,z)dxdydz,rsin,z)F(r,z2)dvrdrsin,)r2sindrdydv,(x2F(r,2d01Mdr,z)rdrd2rsindz,drddr(,)F(r,)r2sin0zdv,其中Mz2)dv,Iz(x2dry2)dvdv曲线积分:曲面积分:对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y)1z2(x,y)z；(x,y)dx

8、dyDxyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx,y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式:,PQR.(一一一)dv二PdydzQdzdxRdxdy匚(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div-R,即：单位体积内所产生的流

9、体质量，若div0,则为消失xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds,因此，高斯公式又可写成：divAdvoAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：,E、4Un如果交错级数满足lim unUn交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法莱布尼兹定理:10,那么级数收敛且其和sUi,其余项rn的绝对值rnUn10绝对收敛与条件收敛:募级数：|x1时，收敛于|x1时，发散对于级数(3)a。2&xa?xnanX数轴上都收敛,则必存在R,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定求收敛半径

10、的方法：设limnan1an其中an,an1是(3)的系数,则0时,R时，R0函数展开成募级数:函数展开成泰勒级数:f(x) f(x°)(x X。)f(x X。)2(n) /T(xx°)nn!f(n1)()充要条件是：lim Rn0n nf(n)(0) nxn!余项：Rnf(-)(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的(n1)!Xo0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)x-f-(0)x22!一些函数展开成募级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为21的周期函数的傅立叶级数:微分方程的相关概念：一阶微分方程：yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0可

11、分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法:g(y)dyf(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成型f(X,y)(x,y),即写成'的函数，解法：dxx设u贝uxdu,u"du(u),"dx-du-分离变量，积分后将-y代替u,xdxdxdxx(u)ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根（p24q0）两个相等实根（p24q0）一对共知复根（p24q0）二阶常系数非齐次线性微分方程五类基本初等函数及图形（1）

12、?幕函数1.当u为正整数时，函数的定义域为区间x（，）,他们的图形都经xy a ?（a是常数且a0,DP3.过原点，并当u>1时在原点处与 X轴相切。且u为奇数时，图形关于原（2）?指畋函数 点对称；u为偶数时图形关于 Y轴对称；当（u为负整敷时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。当u为正有理数 m/n时,奇数时函数的定义域为（如果m>n图形于x轴相切n为偶数时函数的定义域为（0, +） , n为+）。函数的图形均经过原点和 （1 ,1 ）.,如果m<n,图形于y轴相切，且m为偶数时，还1.当a>1时函数为单调增，当a<1时函数为单调减. 跟y轴对称;m,n均为奇数时，跟原点对称.当u为负有理数日孑，n不啰（溢晶F!%敦嗣班I%好蹴X-朋士点. 奇数时，定义域如除当X=0世锦=1一斯堂般的图形通过9,1）点.；n为（3）对数函数?y10gax（a是常数且a。，a1）,x（0，）；1 .他的图形为于y轴的右方.并通过点（1,0）2 .当a>1时在区间（0,1）,y的值为负.图形位于x的下方，在区