人教版七年级下册第六章实数第一讲平方根讲义(解析版)

1、实数第一讲平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根.考点一、算术根知识讲解定义：如果一个正数x的平方等于a,即x2a,那么这个正数x叫做a的算术平方根;叫做被开方数.n>0,a>0.a的算术平方根记作几,读作“a的算术平方根,a补充:1 .当式子Va有意义时,a一定表示一个非负数,即2 .规定0的算术平方根还是0.3 .算术平方根等于他自己本身的有0和1.典型例题例1.以下说法正确的选项是A.0的算术平方根是0C.士是9的算术平方根【答案】A【考点】算术平方根的

2、定义B.9是3的算术平方根D.-3是9的算术平方根课堂稳固1 .以下说法正确的选项是A.由于52=25,所以B.由于-52=25,所以5是-5是2525的算术平方根.的算术平方根.C.由于±52=25所以5和-5者B是25的算术平方根.D.以上说法都不对.【答案】A2 .以下各式正确的选项是A3=3B.32=3C.、32=33 .算术平方根等于它本身的数是【答案】0和1例2.求以下各数的算术平方根(1)100(2)0.04(3)1681(4)(5) 0(6)10【答案】11020.2(3)(4) 2(5)0(6)1W课堂稳固1.求以下各数的算术平方根(1)121(2)169(3)96

3、4(4)1121(5) 0.01(6)【答案】111(2)13(3)(4)1110.1(6)(7)2.求以下各式的值(1)J000000(2)516(3),0.81.0.04(4),412402【答案】1000(2)(3)0.7(4) 9【点睛】算术平方根为正数3.,42的算术平方根是;病的算术平方根的相反数是【答案】2,-3例3.估计与底最接近的整数【答案】6【解析】解：:25V35V36,253536即5V扁6.35比拟接近36,.J35最接近的整数是6.课堂同步1 .估计商的值在A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间【答案】C2.估计与1芯最接近的整数3.比拟以下各数的

4、大小(1)炉与g(2)衽与"(3)5与J24(4)金与022【答案】1而<幅2非>币35>V24【解析】4Q庖4;72413;那么疝1>322(4)'.五1322例4."7的a,7币的小数局部是b,求a+b的值【答案】a+b=12,7【解析】Q2"3,用的整数局部是2；"7的整数局部是9；即a=9Q47.75,7,.7的小数局部是7774=3V7；即b=3日.综上,a+b=12,7课堂稳固1 .出5的整数局部是a,小数局部是b,求a2b的值.【答案】20.35解析:国为5<序<6.所以后的第数局部是5,即所以后

5、的小数局部是库-5.即b二5,所以/+小=5±+J-5=20+2 .设4限476的小数局部分别为a,b,求a+b的值.【答案】1解析：由于2vR<3,所以4十几的整数局部是6,小数局部是4+J56=&2.即n=几一2,由于1<4疾2,所以4一次的整数局部是1,小数局部是413-6,b3-b所以a+/>,%/62+313 .：m与n互为相反数,c与d互为倒数,a是强的整数局部,那么cd2mna的值是【答案】-1解H心由于m与n互为相反数.所以加斗注二°：出为.与d互为例数,所以二1；因为2V旧<3,所以行的整数局部是2,即白:2,所以Ted+2

6、(m+?r)-a-1+2x0-2-1例5(1)使代数式必F有意义的x的取值范围是【答案】x>1;【解析】X+1>0,解得x>1.【点睛】当式子指有意义时,a一定表示一个非负数,即ja>0,a>0.2021,一一一-X假设x,y为实数,且|x+1|+Jy1=0,那么一的值是()yA.0B.1C.-1D.2021【答案】C;2021x【解析】x+1=0,y1=0,解得x=1；y=1.=-1.y2(3)yJx7V7x9,求xy64的算术平方根.【答案】1答案哪：根据被开方数为非负数.得a-7>0心.踊凯=7旧64/=(7乂964=1,其R术平方根为1,故(64)的

7、算术平方根为1课堂稳固21 .x8Jy40,那么xy【答案】-322 .yVx_2J2x2x,贝Uxy=v-20解析:根据被开方数为非负数,Wl2-.T>O1解狎?=2.故1=4,所以工二2=163 .Ji3a和8b3互为相反数,求ab2的值.64解析：由于与8卜一3互为相反数,所以,田+|86-"二0,被开方数和绝对值都工-.(v_J力_1是非负数.得Mb-3.,斛得1b最所以便'3X8)<54例6按要求填空(1)填表a0.00040.044400(2)根据你发现的规律填空：J72=2.638,那么720=;00.00072=70.0038=0.06164,36

8、1.64,那么x=【答案】2,(1)a0.00040.0444000,020.2220<2)26.38,0,02638.3800【总结】被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位课堂同步1 /3.456=L859,由4.56二5,739,那么0345600=.【答案】578.9;【解析】解：:丁34.56=5.789,而嬴而=578.9.故答案为：578.9.2 .J5.2172.284,7521.722.84.填空：1,0.05217152170(2)假设而0.02284,那么x【答案】(1)0.2284,228.4(2)0.0005217

9、【点睛】被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：J62500250,底525,褥252.5,J0.06250.25.考点二、平方根知识点讲解定义：如果x2a,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a(a>0)的平方根的符号表达为Va(a0),其中Q是a的算术平方根.平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：(1)定义不同；(2)结果不同：ja和ja2 .联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；3 3)0的平方根和算术平方根均为0.补充：(1)正数的平方根有两个,它们互

10、为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方平方根的性质根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根aa00a0aa0a0典型例题例1、以下说法错误的选项是()是l的一个平方根的平方根与算术平方根都是0A.5是25的算术平方根B.l2C.4的平万根是一4D.0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.由于,25=5,所以本说法正确;B.由于土Ji=±1,所以l是l的一个平方根说法正确;C.由于土442=±方6=±4,所以本说法错误;D.由于J0=0

11、,J0=0,所以本说法正确;课堂稳固1 .判断以下各题正误,并将错误改正：(1) 9没有平方根.()田64.(),、,1、2,一、1'、(3)()的平方根.()1010214,一,一、,(4)一是的算术平方根.()525【答案】,；x;V；乂,【点睛】被开方数都是非负数2、 填空：(1) 4是的负平方根.(2) J工表示的算术平方根,.16-16(3) J的算术平方根为.81(4)假设豉3,那么X,假设&3,那么X.111【答案】(1)16;(2);-(3)-(4)9;±31643例2以下各数有平方根的是()A13B.4C.m21D.a2【答案】D课堂稳固判断以下各数

12、是否有平方根,假设有,求其平方根,假设没有,请说明理由222(1)3(2)4(3)625(4)a1【答案】(1)Y(-3>=9>.,(凸)平方根,即*J二f=-16<0,负数没宥平方根,二没有平方根(3)T625>0.,625行平方根.即：屈？=±25,.<二+1)<0负数没有平方根:4/+1)没仃平方根(5)Ym不确定是负数还是正数,二当m>0时有平方根.即；土而;当m3时,役有平方根例3求以下各数的平方根八91(5)49(6)0.251,、,“、一;(5)±7;(6)土0.5.8(1)0.81(2)-96121(4)3【答案】(

13、1)0.9;(2)-；(3)11;(4)4【点睛】一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.课堂稳固1求以下各数的平方根(1)81；(2)0.0009；(3)空；(4)7；(5)100；(6)0；(7)包；(8)169.92553【答案】(1)9;(2)0.03;(3);(4)77;(5)10;(6)0;(7);35(8)13.2.求以下各数的平方根、算术平方根,并用式子表示出来(1)I225|；|t|1；J0.0016；(4)J(0.2)2.咯案】N15,癖515；屑土用子山0.00160.2,770,00160.2；(4)Jj(0.2)2而2,(0.2)

14、2.0,2.3.求以下各式的值:(1)土49166T；(3)V0.125；(4)341727【答案】14'(2)6;(3)-0.5;(4)例4求以下各式中的(1)(x-1)216；x-3(4)289(1)X1,X23;(2)X-2(3)3；(4)x16.5,x210.5解:(1)(x-1)216x-15,又23;(2)3x-3x-3-125x-3-5(3)x124x26.5,x228910.5.72.258.5课堂稳固求以下各式中x的值:(1)25(x1)2=49(2)(x+2)2-36=0；(3)2(x1)7290(4)16x2=25(5)(x-3)2=4(6)3x(9)2x272;

15、4(x2)2162(8)4x2!(10)25x2【答案】1x12一或x2；(2)X'550.36=0.22=16.,x28;(3)x1=28,x2=-26.(4)52-；(5)x=5或1.(6)x=或x=-2.(7)x6；(8)x43.(9)x=0或x=-24(10)x=±.5【详解】一c一249(1)解：25(x1)2=49即：(x1)2-25(x1)2-122斛得：x一或x一.552(2)解：.(x2)360,.x26,X4,x28；(3)由题意可知：x-1=±27,x1=28或x2=-26,一c一2255(4)解：由于：16x2=25,所以：x,所以：x；16

16、4(5)由于：(x3)24,那么x32或x32,故乂=5或1.2.一2八八(6)斛：由于3x2=16,开方得3x+2=4或3x+2=-4,解得：x=5或x=-2.解：2x272,系数化为1,得x236.开平方得x6.4x290,移项,得4x29.系数化为1,得x29.开平方,得x-.422(9)4x216(x+2)2=4x+2=±2解得x=0或x=-4.(10)整理得,x2=,x=±6.故答案为x=±6例52a1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4求a+2b的平方根.【答案】3【详解】解：:2a1的平方根是22a139.2解得:3ab14

17、16±弓3a+b1的平方根是±4a5b2Ja2b<5223即a+2b的平方根为：3.课堂稳固1 .假设5a+1和a-19是数m的平方根.求a和m的值.【答案】a=3,m=256.【详解】解：根据题意得：(5a+1)+(a-19)=0,解得：a=3,那么m=(5a+1)2=162=256.2 .如果一个正数x的平方根是a+6和2a-15,(1)求a的值？(2)求正数x?【答案】(1)3；(2)81【详解】(1)二一个正数的平方根有两个,且互为相反数,a6(2a15)0,解得a3;(2)当a3时,a69,.x9281.3 .正实数x的平方根是a和a+b.x的值.(1)当b

18、=6时,求a;(2)假设a2x+(a+b)2x=6,求【答案】(1)a=-3;(2)x志【详解】解：(1)二.正实数x的平方根是a和a+b,Qb6,2a60,a3;(2).正实数x的平方根是a和a+b,(ab)2Qa2x(ab)2x6,x2x26,3,0,x.34.一个正数x的两个不同的平方根分别是2aa2.(1)求a和x的值；(2)化简2aJ23a【答案】(1)-1;9(2)2.2【详解】(1)根据题意知,2a.解得a1,所以-a+2=3,可得x9,故答案为:-1；9;x9代入-2|3a22.282衣,故答案为：82五课后提升、单项选择题1 .9的算术平方根是D.81A.3B.3C.3【答案

19、】A2 .以下计算正确的选项是3D.28A.而3B.329C.|5|5【答案】C【详解】解：A、J93,故本项错误；B、329,故本项错误;C、|5|5,故本项正确；D、328,故本项错误;3 .假设J10404=102,.衣=10.2,贝Ux等于A.1040.4C. 104.04【答案】C4.以下说法不正确的选项是A. 2是4的一个平方根C.平方根等于它本身的数只有0B. 10.404D. 1.0404B.立方根等于它本身的数只有1和0D.平方等于它本身的数只有0和1解：A、4的一个平方根有±Z故一2是4的一个平方根,故A正确；B、立方根等于它本身的数有±1和0,故B选项

20、的说法不正确；C、平方根等于本身的数只有0,故C正确；D、平方等于它本身的数只有0和1,故D正确；5 .如果一个实数的算术平方根与它的立方根相等,那么这个数是A.0B,正整数C.0和1D.16 .以下五个命题：只有正数才有平方根；-2是4的平方根；5的平方根是Jg；土邪都是3的平方根；-22的平方根是-2;其中正确的命题是A.B.C.D.【答案】D【详解】解：由于0有平方根,故此选项错误；0-2是4的一个平方根,此选项正确;、5的平方根式土石,此选项错误；土J3都是3的平方根,此选项正确；22的平方根是土2,此选项错误.故正确的命题是1的立方根是7 .以下说法正确的选项是B.2是4的平方根D.

21、A.一个数的算术平方根-一定是正数C.255【答案】D【详解】0的算术平方根是0;例如A、一个数的算术平方根一定是正数,错误,D、2是4的平方根,正确;B、1的立方根是1,错误；C、病5D.8 .以下各式中,正确的选项是32=3C.A.'22=-2B."9=-3【答案】D9 .的平方根是.16C.D.A.±1B.±124【答案】A10 .假设x使x-12=4成立,那么x的值是C.D.±2A.3B.-1【答案】C:x=3x2=-1【解析】:x-10=4成立,x-1=±2夕二、填空题11 .假设Jx2y320,贝uxy=【答案】122【详解

22、】Jx2y30Jx20,y30.x2,y3xy231故答案为1.12 .81.732,廊5.477,贝UV0?3.【答案】0.5477【详解】解：QJ305.477,J03J300.010.5477故答案为：0.5477.13 .假设J25.365.0365/253.615.906,那么J253600.【答案】503.6【详解】解J253600=425.3610000=5.036X100=503.6故将案为503.614 .如果a+3和2a-6是一个数的平方根,这个数为.【答案】16或1443a=34.【详解】解：根据题意得：a+3+2a-6=0,或a+3=2a-6,移项、合并同类项得：或-a

23、=-9,解得：a=1或a=9,那么这个数为1+32=16或9+32=144,故答案为：16或144.15 .假设12a与3a4是同一个数的平方根,那么a的值为.【答案】3或1.【详解】解：依题意可知：1-2a+3a-4=0或1-2a=3a-4,解得：a3或a1.故答案为：3或1.16 .2x2+3=35,那么x=.【答案】土4.【详解】2x2335,2x232,贝Ux216,解得：x=±4.故答案为：士三、解做题17,&1与,2y互为相反教,Z是64的方根,求xyz的平方根【答案】土石【详解】解：;&一彳与J2y互为相反数,jx1+J2y=0,-x+1=0,2-y=0,解得x=-1,y=2,丁z是64的方根,z=8所以,xyz=-1-2+8=5,所以,xyz的平方根是土卮18.探索与应用.先填写下表,通过观察后再答复以下问题：a0.00010.011100100000.01x1y100(1)表格中x=;y=;(2)从表格中探究a与后数位的规律,并利用这个规