专题十一：绝对值最值问题

1、绝对值最值问题绝对值的几何意义：一个数。的绝对值就是数轴上表示“的点与原点 的距离。数“的绝对值记作Ml几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段(含端点)1、(1)阅读下而材料：点7、B在数轴上分别表示实数a、b, A 'B两点之间的距离表示为.毎.当/、B两点中有一点在原点时，不妨设点2在原点，如图甲，曲二创=Ibl=Ia 列；当/ 'B两点都不在原点时，1如图乙，点/、B都在原点的右边，AB=OB 0A = b 丨 a I =Z? - U b t 如图丙，点/、B都在原点的左边，AB=OB- OJ = Ibl - Ial= b -( a) - z? - 8 I : 如图丁，点4、

2、B在原点的两边AB=OAPB丨 A | + | 5 I =A+ (- =Ia-b.综上，数轴上/、B两点之间的距离,lB-=冷力(2)回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和3的两点之间的距离是: 数轴上表示X和1的两点分别是点2和则A.B之间的距离是如果二2,那么 X=: 当代数式丨x+2 I +n- - 51取最小值时，相应的A的取值范围是_ . 当代数式IX -1 | + I x+2 | + I X - 51取最小值时，相应的X的值是. 当代数式IX51(x+2 I取最大值时，相应的X的取值范囤是_ .閤乙。因丙古QO2、在数

3、轴上'点2, E分别表示数a,仇则线段拐的长表示为丨a |，例如：在数轴上,点ZI表示，点B表示2,则线段丄5的长表示为丨5-2 I =3:回答下列问题：（1） 数轴上表示1和3的两点之间的距离是:（2）若 AB=S. b = 3af求 Gb的值.（3）若数轴上的任意一点P表示的数是X,且IX仃丨+卩方的最小值为4,若a=3,求b的值.绝对值最值问题解析1、(1)阅读下而材料：点7、B在数轴上分别表示实数a、仇B两点之间的距离表示为毎.当A. B两点中有一点在原点时，不妨设点*在原点，如图甲，dB=CO= I b I = I a-b I :当/、B两点都不在原点时，1如图乙，点/、E都

4、在原点的右边，AB=OB - OZi = Ibl - a =b - a= a 创： 如图丙，点/、B都在原点的左边，AB=OB CM - I 8 I -Ial= b (-a) =Ia - 51： 如图丁，点*、B在原点的两边AB=OAOB= I A I + I § I =a+ (方丿二心 b 综上，数轴上念B两点之间的距离./民、刀/八.(2)回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和3的两点之间的距离是: 数轴上表示X和J的两点分别是点ZI和E,则/1.B之间的距离是，如果IJQ=2,那么 X=； 当代数式JX+2 I +

5、 I A- - 51取最小值时，相应的A的取值范围是- 当代数式IX-1 I +片+2丨+丨x51取最小值时，相应的X的值是_ . 当代数式IX-51- I x+2Im最大值时，相应的X的取值范闹是_ .圉甲0图乙 0 a因丙3Q扌9團丁古o 解:.52 = 3,-2- (-5) =3, 1 - (-3) =4： 、丨 x+1 I , I x+1 I =2 则 x=l 或3； x+2丨+ I x51表示数轴上一点到2与5两点的距离的和，当这点在2和5之间时和 最 小，最小距离是：5 - (- 2) =7 ； 代数式IX-I I +Jx+2 I + I x-51表示数轴上一点到1、2与5三点的距

6、离的和，根据两 点之间线段最短，则当x=l时和最小，最小值是5到2的距离，是5(-2) =7： 代数式IX5I丨x+2 I表示数轴上一点到5与2两点的距离的差，当点小于等于2时 差最大，最大值是5与2之间的距离，是7.故答案是：3, 3, 4；丨x+1丨，1或3；2<A-<5jX=1:X£2.2、在数轴上，点乂, E分别表示数a,仇则线段15的长表示为 a-b ，例如：在数轴上，点ZI表示5.点B表示2,则线段的长表示为丨5-2 I =3:回答下列问题：(1) 数轴上表示1和3的两点之间的距离是:(2) 若.15=8, b = 3af 求 a, b 的值.(3) 若数轴上

7、的任意一点P表示的数是X,且IX-n I + x-b的最小值为4,若a=3,求b 的值.解:(1)1和3两点之间的距离为卩-(-3) 1=4：故答案为：4：(2)， fb=3a.b=±3a-M = 8- I a- b I = 8当 b=3a 时 J I a-b I = I -2a I = 8'a=4, b=12 或 Q= 4,方二 12当 b=-3a 时，I a-b I = I 4a I =8/.67=2, 5= - 6 或。= 2, b=6综上所述：67=4, b=12 或 a=-4, b=12 或 a=2,/?= 6 或 0= - 2, b=6.（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小， 当点b在a的右侧时，得P在3点与b点的线段上，IX3I+ （X-b |的值最小为4, x 31+IX - b