哈工大天线原理-马汉炎习题答案

1、1第一章第一章1-1 试用对偶原理，由电根本振子场强式试用对偶原理，由电根本振子场强式1-5和式和式1-7 ，写出磁根本振子的场表示式。，写出磁根本振子的场表示式。对偶原理的对应关系为：EeHmHe-EmJJmm另外，由于，所以有 kkk式1-5为 jkrrejkrrIdljHHH11sin200式1-7为0111sin211cos22200002EerkjkrrIdljEejkrrIdlEjkrjkrr因此，式1-5的对偶式为 jkrmrejkrrdlIjEEE11sin2002式1-7的对偶式为0111sin211cos22200002HerkjkrrdlIjHejkrrdlIHjkrmj

2、krmr结合 Imdl=j0IS有磁根本振子的场表示式为： jkrrejkrrISEEE11sin20000111sin211cos2220000020HerkjkrrISHejkrrISjHjkrjkrr可以就此结束，也可以继续整理为 jkrrejkrrISEEE11sin000020111sin11cos2222HerkjkrrISHejkrrISjHjkrjkrr31-3 假设电根本振子辐射电场强度大小假设电根本振子辐射电场强度大小，天线辐射功率可按穿过以源为，天线辐射功率可按穿过以源为sin20rIlE 球心处于远区的封闭球面的功率密度的总和计算，即球心处于远区的封闭球面的功率密度的总

3、和计算，即，sSdrPS),(为面积元。试计算该电根本振子的辐射功率和辐射电阻。为面积元。试计算该电根本振子的辐射功率和辐射电阻。ddrdssin2【解】首先求辐射功率22222000240sin2sin24012401 IlddrrIldsEPS辐射电阻为222802lIPR注意：此题应用到了34sin03d41-5 假设电根本振子辐射场公式假设电根本振子辐射场公式，试利用方向性系数的定义求其方向性，试利用方向性系数的定义求其方向性sin20rIlE 系数。系数。【解】方向性系数的定义为：在相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度 Smax或场强 Emax的平方 ，与无方向

4、性天线在该方向上的功率密度 S0或场强E0的平方之比。首先求辐射功率22222000240sin2sin24012401 IlddrrIldsEPS令该辐射功率为604240220220rErEP其中 E0是无方向性天线的辐射场强。因此，可以求得22202400rIlE所以方向性系数5 . 1202maxEED51-6 设小电流环电流为设小电流环电流为 I，环面积，环面积 S。求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式。假设。求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式。假设1m 长导线绕成小圆环，波源频率为长导线绕成小圆环，波源频率为 1MHz，求其辐射电阻值。，求其辐射电阻值。电小环的辐射场幅度

5、为：sin2rISE 首先求辐射功率2242220022160sinsin24012401 ISddrrISdsEPS辐射电阻为42423202SIPR当圆环周长为 1m 时，其面积为，波源频率为 1MHz 时，波长为 =300m。2m41S所以，辐射电阻为 R=2.410-8 。61-7 试证明电根本振子远区辐射场幅值试证明电根本振子远区辐射场幅值 E与辐射功率与辐射功率 P之间的关系为之间的关系为rPEsin49. 9【证明】电根本振子远区辐射场幅值sin60sin20rIlrIlE根据题目 1-3 可知电根本振子辐射功率为，2240IlP所以40PIl代入到 E表达式中可以得到：rPrI

6、lEsin4060sin60所以有：所以有：rPEsin49. 971-9 试求证方向性系数的另一种定义：在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的试求证方向性系数的另一种定义：在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的条件下，无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数，记为条件下，无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数，记为0max0EEPPD【证明证明】方向性系数的定义为：方向性系数的定义为：相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度 Smax或场强 Emax的平方 ，与无方向性天线在该方向上的功率密度 S0或场强E0的平方之比。假设有方向性天线

7、的辐射功率为 P，最大辐射方向的辐射场为 Emax，无方向性天线的辐射功率为 P0，辐射场大小为 E0，那么有如下关系：=22004240rEP202060rPE如果有方向性天线的方向性系数为 D，那么根据定义，当其辐射功率为 P时，有22max60rDPE所以，当有 Emax=E0时，那么有0max0EEPPD81-11 一个电根本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点，如图示，假设一个电根本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点，如图示，假设，SIlI212试证明远区任意点的辐射场均是圆极化的。试证明远区任意点的辐射场均是圆极化的。【证明证明】如图示的电根本振子和小电流环的辐射场分别为：如图示

8、的电根本振子和小电流环的辐射场分别为：jkrerlIjEsin201jkrerSIEsin022令ASIlI212那么远区任一点辐射场为：这是一个右旋圆jkrerAarAjaEsin2sin200极化的电磁波。91-13 设收发两天线相距设收发两天线相距 r，处于极化匹配和阻抗匹配的最正确状态，且最大方向对准。假，处于极化匹配和阻抗匹配的最正确状态，且最大方向对准。假设工作波长为设工作波长为 ，发射天线输入功率，发射天线输入功率 Ptin，发射和接收天线增益系数分别为，发射和接收天线增益系数分别为 Gt、Gr，试证，试证明接收功率为明接收功率为rttinrGGPrP2max4【证明】满足题设三

9、条件的情况下，根据天线增益的定义，可以得到发射天线在接收天线处产生的辐射场的最大功率密度为ttinGrPS2max4接收天线的有效面积为reGS42因此接收天线得到的最大接收功率为rttinerGGPrSSP2maxmax4101-15 假设干扰均匀分布于空间并从所有方向传到接收点，利用定向接收天线可以增大有用假设干扰均匀分布于空间并从所有方向传到接收点，利用定向接收天线可以增大有用信号功率和外部干扰功率之比，试证明这一比值和天线的方向性系数成正比。信号功率和外部干扰功率之比，试证明这一比值和天线的方向性系数成正比。【证明】设定向接收天线的方向性函数为 F(,)，方向性系数为 D，那么有如下关

10、系： 2002sin),(4ddFD设干扰的平均功率流密度大小 Sn为常数，一个以接收点为中心的，半径为 r 的球面 包围了接收点，那么接收点处天线接收到的功率 Pn为不同方向面积微元通过的被接收的干扰的积分：DrSddFrSddrFSdsFSPnnnnn2200222200224sin),(sin),(),( 设天线接收到的有用功率为 Ps，那么有用功率与干扰功率之比为 s=Ps/PnD。11第二章第二章2-1 设对称振子臂长设对称振子臂长 l 分别为分别为 /2，/4，/8，假设电流为正弦分布，试简绘对称振子上的电，假设电流为正弦分布，试简绘对称振子上的电流分布。流分布。/2/2/4/4/

11、8/8122-2 用尝试法确定半波振子、全波振子用尝试法确定半波振子、全波振子 E 面主瓣宽度。面主瓣宽度。半波振子的方向性函数为sincos2cos)(F可以看出，该函数关于 =0 和 =/2 对称，并且当 =/2 时，F有最大值 1，因此计算=/4/2 之间的值即可。经过计算，当 =51时，F=0.708，因此，可以得到主瓣宽度为 HPBW=290-51=78全波振子的方向性函数为sincos2cos)(2F可以看出，该函数关于 =0 和 =/2 对称，并且当 =/2 时，F有最大值 1，因此计算=/4/2 之间的值即可。经过计算，当 =66.1时，F=0.707，因此，可以得到主瓣宽度为

12、 HPBW=290-66.1=47.8132-3 试利用公式试利用公式1-51 ，求半波振子、全波振子的方向性系数。，求半波振子、全波振子的方向性系数。【解】公式1-51为RfD2max120对于对称振子，fmax=1-coskl所以此题可以列表答复：天线种类klfmaxRD半波振子/2173.11.64全波振子22002.4142-4 试利用公式试利用公式1-85 ，分别求解半波振子和全波振子的有效面积。，分别求解半波振子和全波振子的有效面积。【解】有效面积的公式为GSe42利用 2-3 题的结论可以列出下表：天线种类klfmaxRDSe半波振子/2173.11.640.132全波振子220

13、02.40.192152-5 试利用公式试利用公式2-24或或2-25 ，求半波振子、全波振子的有效长度。，求半波振子、全波振子的有效长度。【解】公式2-24是采取以归算电流为输入电流计算的有效长度2tanklle公式2-25是采用了归算电流为波腹电流计算的有效长度302DRle所以此题可以列表答复。天线种类klfmaxRDle2-24le2-25半波振子/2173.11.640.318 (/)0.318 (/)全波振子22002.40.637 (2/)162-6 对称振子臂长对称振子臂长 l=35cm，振子臂导线半径，振子臂导线半径 a=8.625mm，假设工作波长，假设工作波长 =1.5m

14、，试计算，试计算该对称振子的输入阻抗的近似值。该对称振子的输入阻抗的近似值。对称振子臂长 l=35cm，a=8.625mm，=1.5m，那么有：利用公式2-29求得 Z0A=120ln2l/a-1=120ln2350/8.625-1=408，刚好介于图 2-9 的 340 和 460 之间。l/=0.233，根据图 2-9 的a和b可以分别查得：Zin=70+j0，需要注意：这里的数字读取得很粗略。还有一种方法：利用公式2-32进行计算。首先计算 l/2a=20.3，l/=0.233，并利用公式2-29求得 Z0A=120ln2l/a-1=120ln2350/8.625-1=408；查图 2-

15、8，得 n=1.05查图 2-5，Rm=70=n2/=2.1/利用公式2-31求得 A=0.753/,然后代入公式2-32 ，最终求得 Zin=69.4-21.4。172-7 试计算电流呈三角形分布短天线的方向性系数和有效高度。试计算电流呈三角形分布短天线的方向性系数和有效高度。【解】电流呈三角形分布的电流表达式为：，|z|l，IA为输入点电流。这是对lzIzIA|1)(称振子当 l 时的情况。天线的辐射场为jkrAjkzlljkrAjkzjkrllerlIjdzelzerIjdzeerzIjEsin60|1sin60sin)(60coscos这里20cos)cos()coscos(12)co

16、scos(12)coscos(|1)cossin()coscos(|1|1klklldzkzlzdzkzlzdzkzjkzlzdzelzllllljkzll当 kl0 区域的局部。E 面xoz 平面的上述因子表达式为：阵元方向性函数：|cossin2cos地面上阵轴为 x 轴方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2阵因子：|sin2cos地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵m=1，=，d=的阵因子：|)cossin(最终 E 面xoz 平面总的阵方向图为 FE()=|cossin2cossin2cos)cossin(可以化简结果为，注意不要忘记书写绝对值符号

17、，这)cossin(cossin2cos)(2EF里 为观察方向与+z 轴夹角，而 那么为观察方向与+x 轴阵轴夹角，在 xoz 平面上有+=/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 xoy 平面上观察方向与+x轴夹角 ，这样便于标准化。类似地，可以求得 H 面yoz 平面的上述因子表达式为：阵元方向性函数：1令 E 面的 =0 即可地面上阵轴为 x 轴方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2阵因子：1令 E 面的=0 即可地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵m=1，=，d=的阵因子：|因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函数)cossin(不变最

18、终 H 面yoz 平面总的阵方向图为 FH()=|)cossin(方向图如下：31E 面F1F2F3FExzOxzOxzOxzO=yzOyzOyzOyzOF1F2F3FH=H 面323-14 2 元垂直接地振子如图排列，试求：天线系统方向性函数，画出含两振子轴平面的方元垂直接地振子如图排列，试求：天线系统方向性函数，画出含两振子轴平面的方向图。向图。设大地所在平面为 xoy 平面，振子轴向平行于 z 轴，地面上的阵列阵轴那么平行于 x 轴。E 面为 xoz 平面，H 面为 xoy 平面天线阵系统最终的方向图由两个因子乘积所得：阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数地面上阵轴为 x 轴方

19、向的等幅二元阵m=1，=-/2，d=/4阵因子需要注意的是：最终只取 z0 区域的局部。E 面xoz 平面，含振子轴平面的上述因子表达式为：阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数：|sincos2cos地面上阵轴为 x 轴方向的等幅二元阵m=1，=-/2，d=/4阵因子：|sin14cos最终 E 面xoz 平面总的阵方向图为 FE()=|sincos2cossin14cos注意不要忘记书写绝对值符号，这里 为观察方向与+z 轴夹角，而 那么为观察方向与+x轴阵轴夹角，在 xoz 平面上有 +=/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 xoy 平面上观察方向与+x 轴夹角 ，

20、这样便于标准化。类似地，可以求得 H 面xoy 平面的上述因子表达式为：阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数：1令 E 面的 =/2 即可地面上阵轴为 x 轴方向的等幅二元阵m=1，=-/2，d=/4阵因子：|因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函数不变，但是自变量变为cos14cos最终 H 面xoy 平面总的阵方向图为 FH()=cos14cos方向图如下：E 面33F1F2FExzOxzOxzO=xyOxyOxyOF1F2FH=H 面343-15 两半波振子并列且垂直于无穷大理想导电地平面，相距两半波振子并列且垂直于无穷大理想导电地平面，相距 /2，中心高度为，中心高度为 /4

21、，两振子，两振子电流等幅反相。画出电流等幅反相。画出 E 面和面和 H 面方向图。面方向图。设大地所在平面为 xoy 平面，振子轴向平行于 z 轴，地面上的阵列阵轴那么平行于 x 轴。E 面为 xoz 平面，H 面为 xoy 平面天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得：阵元方向性函数地面上方阵轴为 x 轴方向的等幅反相二元阵m=1，=，d=/2阵因子地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2的阵因子需要注意的是：最终只取 z0 区域的局部。E 面xoz 平面的上述因子表达式为：阵元方向性函数：|sincos2cos地面上方阵轴为 x 轴方向的

22、等幅反相二元阵m=1，=，d=/2阵因子：|sin2sin地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2的阵因子：|cos2cos最终 E 面xoz 平面总的阵方向图为FE()=| |sincos2cossin2sincos2cos可以化简结果为，注意不要忘记书写绝对值符号，| )sin2sin(sincos2cos|)(2EF这里 为观察方向与+z 轴夹角，而 那么为观察方向与+x 轴阵轴夹角，在 xoz 平面上有 +=/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 xoy 平面上观察方向与+x 轴夹角 ，这样便于标准化。类似地，可以求得 H

23、 面xoy 平面的上述因子表达式为：阵元方向性函数：1令 E 面的 =/2 即可地面上方阵轴为 x 轴方向的等幅反相二元阵m=1，=，d=/2阵因子：|因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函数不变，但是自变量变为 cos2sin地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2的阵因子：1令 E 面的 =/2 即可35最终 H 面yoz 平面总的阵方向图为 FH()=|cos2sin方向图如下：E 面F1F2F3FExzOxzOxzOxzO=xyOxyOxyOxyOF1F2F3FH=H 面363-16 两半波振子平行于地面并列置于无穷大理想导电地平面上

24、空，馈电与排列尺寸如下图。两半波振子平行于地面并列置于无穷大理想导电地平面上空，馈电与排列尺寸如下图。画出垂直振子轴平面的方向图。画出垂直振子轴平面的方向图。设大地所在平面为 xoy 平面，振子轴向平行于 x 轴，地面上方的阵列阵轴那么平行于 z 轴。E 面为 xoz 平面，H 面为 yoz 平面，需要注意的是，因为水平放置的振子最终会产生负镜像，所以虽然 xoy 平面平行于振子轴，为疑似 E 面，但是最终沿 xoy 平面上的辐射为零，所以，xoy 平面不是 E 面。天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得：阵元方向性函数地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2阵因子地面

25、上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵m=1，=，d=的阵因子需要注意的是：最终只取 z0 区域的局部。E 面xoz 平面的上述因子表达式为：阵元方向性函数：|cossin2cos地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2阵因子：|cos2cos地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵m=1，=，d=的阵因子：|)cossin(最终 E 面xoz 平面总的阵方向图为 FE()=|cossin2coscos2cos)cossin(注意不要忘记书写绝对值符号，这里 为观察方向与+z 轴夹角，而 那么为观察方向与+z轴阵轴

26、夹角，此题中在 xoz 平面上有 =。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 xoy 平面上观察方向与+x 轴夹角 ，这样便于标准化。类似地，可以求得 H 面yoz 平面的上述因子表达式为：阵元方向性函数：1令 E 面的 =0 即可地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵m=1，=0，d=/2阵因子：|因为 H 平面平行于阵轴 z 轴，所以方向性函数不变cos2cos地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵m=1，=，d=的阵因子：|因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函数)cossin(不变最终 H 面yoz 平面总的阵方向图为 FH()=| |cos2c

27、os)cossin(37方向图如下：E 面F1F2F3FExzOxzOxzOxzO=yzOyzOyzOyzOF1F2F3FH=H 面38第四章第四章4-4 设一直立天线高设一直立天线高 h=15m，工作波长，工作波长 =300m，天线地面已铺设地网，天线输入电流有，天线地面已铺设地网，天线输入电流有效值效值 I0=3A，求距天线，求距天线 r=5km 处处=0的场强值。的场强值。【解】天线输入电流有效值 I0=3A，那么天线输入电流峰值为 Im=1.4143A=4.242A。根据公式4-5coscos)sincos(sin60|khkhkhrIEAm将 h=15m，k=2/=2/300m，r=

28、5000m，=0 代入，得|E|=8.06mV/m。394-7 对天线的馈线有哪些要求？现有特性阻抗对天线的馈线有哪些要求？现有特性阻抗 75 的同轴馈线与特性阻抗的同轴馈线与特性阻抗 300 的扁馈线，的扁馈线，试绘出以上两种馈线分别连接半波振子和折合振子的馈电结构图。试绘出以上两种馈线分别连接半波振子和折合振子的馈电结构图。对天线馈线的要求，对对称振子而言，要求有平衡馈电与阻抗匹配。天线/馈线75 的同轴馈线300 的扁馈线半波振子/4Z0=300Z01=150Zin/ /4 4半曲折合振子e/2Z0=300Zin40第五章第五章5-2 简述等效原理的内容及作用？简述等效原理的内容及作用？

29、等效原理：某一区域内产生电磁场的实际场源，可以用一个能在同一区域内产生相同电磁场的等效场源代替。作用：在研究面天线问题时，待求解的场是天线外部辐射场，只要找到适宜的等效源，就可以直接从等效源求解，而不必知道实际场源，从而使求解大大简化。一般只需要计算出面天线的口面场分布，就可以直接求出面天线的辐射场。415-4 试推导矩形口径均匀场的方向性系数公式试推导矩形口径均匀场的方向性系数公式5-28 。公式5-28为：yxLLD24矩形口径均匀场的方向性系数为：PErDm60|22辐射功率 P等于口径的功率通量yxoxLLLLoxLLEdxdyEPxxyy2222222401240 而对于口径辐射而言

30、，当 =0 时为最大辐射方向，因此yxoxLLLLoxmLLrEdxdyrEExxyy 2222|将 P和|Em|的值代入，得PErDm60|22。yxLLD24425-6 矩形口径尺寸矩形口径尺寸 Ly=8，Lx=6，口径场振幅相等，相位同相，即，口径场振幅相等，相位同相，即 Es=Eox=常数，求常数，求 H 面面内主瓣宽度内主瓣宽度 20.5H，零点夹角，零点夹角 20H以及第一副瓣位置和副瓣电平以及第一副瓣位置和副瓣电平 1dB 。 提示：利用图提示：利用图5-10 曲线曲线xyOLxLy如图示，因为 Es为 x 方向，所以天线的 E 面为 x-z 面，天线的 H 面为 y-z 面。根

31、据图 5-10，在 H 面上当时，39. 1sinyLF=0.707，将 Ly=8 代入上式，得：sin=0.0553，因此 =3.17，20.5H=23.17=6.34。同理，在 H 面上当时，sinyLF=0，将 Ly=8 代入上式，得：sin=0.125，因此 =7.18，20H=27.18=14.36。在 H 面上当时，23sinyLF=，为极大值，32将 Ly=8 代入上式，得：sin=0.1875，因此 =10.8，为第一副瓣位置。副瓣电平 1dB=-13.5dB。)32lg(20435-8 矩形波导口尺寸为矩形波导口尺寸为 ab，其口径场振幅分布为，其口径场振幅分布为，相位同相，

32、试计算，相位同相，试计算axEEoySsin口面利用系数。口面利用系数。SsSsSsSsdxdyESdxdyEdsESdsE2222axEEoySsin 81. 08sin|sin|sinsin20220202200 02020 00 ayaybaybaydxaxbSEdxaxbEdxdyaxESdxdyaxE附：公式附：公式推导过程。推导过程。SsSsSsSsdxdyESdxdyEdsESdsE2222SvD24矩形口径场的方向性系数为：PErDm60|22辐射功率 P等于口径的功率通量SsSsdxdyEdsEP240|240|22而对于口径辐射而言，当 =0 时为最大辐射方向，因此|dxd

33、yrEdsrEESsSsm将 P和|Em|的值代入，得，PErDm60|22SsSsdxdyEdxdyED222|4结合，所以。SvD24SsSsSsSsdxdyESdxdyEdsESdsE2222445-10 设矩形口径尺寸为设矩形口径尺寸为 ab，口径场沿，口径场沿 a 边呈余弦分布，相位同相，欲使两主平面内主瓣边呈余弦分布，相位同相，欲使两主平面内主瓣宽度相等，求口径尺寸之间关系。宽度相等，求口径尺寸之间关系。【解】查表 5-1，口径场沿 a 边呈余弦分布，那么其 H 面主瓣宽度为 68/a；口径场沿 b 边呈均匀分布，那么其 E 面主瓣宽度为 51/b；假设两者相等，那么有：68/a=51/b，因此可得 a/b=1.33。455-12 口径场相位偏差主要有哪几种？它们对方向图的影响如何？口径场相位偏差主要有哪几种？它们对方向图的影响如何？【答】偏差种类对方向图的影响直线率相位偏差最大辐射方向偏移。平方率相位偏差零点模糊、主瓣展宽、主瓣分裂、方向性系数下降。立方率相位偏差最大辐射方向的偏转、方向图不对称、主瓣一侧产生较大副瓣。46第六章第六章6-6 工作于工作于 X 波段波段8.212.4GHz的矩形喇叭，口径尺寸为的矩形喇叭，口径尺寸为 7.45.5cm2，它在频段内，它在频段内 3 个个点的增益系数为：点的增益系数为：