2022年(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -第 1 章随机大事及其概率（ 1）排列nm.Pm mn.从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数组合公式nm.C mn. mn.从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数（ 2）加法和乘法原理（ 3）一些常见排列（ 4）随机试验和随机大事（ 5）基本领件、样本空间和大事加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，其次种方法可由 n 种方法来完成，就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步

2、骤可由m 种方法完成，其次个步骤可由 n 种方法来完成，就这件事可由m×n 种方法来完成； 重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个）次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果，就称这种试验为随机试验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下，不管大事有多少个，总可以从其中找出这样一组大事，它具有如下性质：每进行一次试验，必需发生且只能发生这一组中的一个大事；任何大事，都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件，用来表示；基本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示；一个大

3、事就是由中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母 A， B， C，表示大事，它们是的子集；为必定大事，. 为不行能大事；不行能大事（ .）的概率为零，而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理，必定大事（ ）的概率为 1，而概率为 1 的大事也不肯定是必定大事；关系：假如大事 A 的组成部分也是大事B 的组成部分，（ A 发生必有大事B 发生）： AB假如同时有 AB ， BA ，就称大事A 与大事 B 等价，或称A（ 6）大事的关系与运算等于 B：A=B；A、B 中至少有一个发生的大事：AB，或者 A+B；属于 A 而不属于 B 的部分所构成的大事，称为A 与 B 的差，记为A-B，也

4、可表示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的大事；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -A、B 同时发生： AB，或者 AB；AB=.，就表示 A 与 B 不行能同时发生，称大事A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；-A 称为大事 A 的逆大事，或称A 的对立大事，记为A ；它表示A 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABCA BC=A BC安排率： AB C=AC BC AB

5、C=ACBCAiAi德摩根率：i 1i 1ABAB ， ABAB（ 7）概率的公理化设为样本空间，A 为大事，对每一个大事A 都有一个实数PA ，如满意以下三个条件： 1° 0 PA 1，2° P =13° 对于两两互不相容的大事A1 ， A2 ，有定义PAii 1P Ai i 1常称为可列（完全）可加性；就称 PA 为大事 A 的概率；1°2° P 1 ,21 P n，12 P n ；n（ 8）古典设任一大事 A ，它是由1 ,2m 组成的，就有概型PA = 1 2 m = P1 P2 Pm m A所包含的基本领件数n 基本领件总数（ 9）几

6、何概型如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称，同时样本空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，就称此随机试验为几何概型；对任一大事 A，L AP AL；其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） ；（ 10）加法公式（ 11）减法公式PA+B=PA+PB-PAB当 PAB0 时， PA+B=PA+PBPA-B=PA-PAB当 BA 时， PA-B=PA-PB当 A=时， P B =1- PB精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - -

7、 - - - -定义 设 A、B 是两个大事，且 PA>0，就称P AB P A为大事 A 发生条（ 12）条件概率件下，大事 B 发生的条件概率，记为P B / AP AB ；P A条件概率是概率的一种，全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P /B=1P B /A=1-PB/A乘法公式：P ABP A P B / A（ 13）乘更一般地，对大事A1，A2，An，如 PA1A2An-1 >0 ，就有法公式P A1 A2An1 ；AnP A1P A2 |A1 P A3 |A1A2 P An | A1 A2两个大事的独立性 设大事 A 、B 满意立的；P ABP AP B ，就称大事

8、 A 、B 是相互独如大事 A 、 B 相互独立，且P A0 ，就有P B | AP AB P AP AP B P AP B （ 14）独立性如大事 A 、B 相互独立，就可得到A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立；必定大事和不行能大事 . 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性设 ABC是三个大事，假如满意两两独立的条件， PAB=PAPB ； PBC=PBPC ；PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC那么 A、B、C相互独立；对于 n 个大事类似；设大事B1, B 2, Bn 满意（ 15）全概公式1° B1, B 2,n

9、A, Bn 两两互不相容，BiP Bi 0i1,2, n ，2°i就有1， （ 分类争论的P AP B1 P A | B1P B 2 P A |B2P Bn P A | Bn ；设大事B1 ， B 2 ，Bn 及 A 满意（ 16）贝叶斯公式1°B1 ， B 2 ，n ，nBn 两两互不相容，P Bi >0， i1，2，A2°i就Bi1， P A0 ，（已经知道结果求缘由精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - -

10、- -P Bi/ APBi P A /nBi ，i=1 ，2，n；P B j P A /j 1B j 此公式即为贝叶斯公式；P Bi ，（ i1 ， 2 ， n ），通常叫先验概率；P Bi/ A ，（ i1 ，（ 17）伯2 ， n ），通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断；我们作了 n 次试验，且满意每次试验只有两种可能结果，A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的， 即每次试验 A 发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验；努利概型用 p 表示

11、每次试验A 发生的概率，就A 发生的概率为 1pq ，用Pn k 表示 n 重伯努利试验中A 显现 k 0kn 次的概率，Pn kkCn pk q n kk0,1,2, n ；，（ 1 ） 离散 型 随机 变 量的 分 布律其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为 Xkk=1,2, 且取各个值的概率，即大事 X=Xk 的概率为PX=xk=p k，k=1,2,，就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律； 有时也用分布列的形式给出：X|x1, x2, xk ,P Xxk p1, p 2, pk,；明显分布律应满意以下条件：（1） pk0 ， k1,2,pk1，（ 2） k 1；

12、（ 2 ） 连设 F x 是随机变量 X 的分布函数，如存在非负函数数 x ，有xf x ，对任意实续型随机变量的分布F xf x dx ，密度就称 X 为连续型随机变量；简称概率密度；f x 称为 X 的概率密度函数或密度函数，密度函数具有下面4 个性质：1°f2° xf0 ；(x) dx1；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 3 ） 离散 与 连续 型 随P Xx) P xXxdxf xdx机 变 量积分元f

13、 xdx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P Xxk pk的关系（ 4 ） 分布函数在离散型随机变量理论中所起的作用相类似；设 X 为随机变量， x 是任意实数，就函数F xP Xx称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数；P aXbF bF a 可以得到X 落入区间a ,b 的概率；分布函数F x 表示随机变量落入区间（， x 内的概率；分布函数具有如下性质：1°0F x1,x；2°F x 是单调不减的函数，即x1x2 时，有F x1F x2 ；3°F limxF x0 ，F limxF x1；4°F x0F x ，即F x 是右连续的；5

14、°P XxF xF x0 ；对于离散型随机变量，F xpk ；x k x对于连续型随机变量，F xxf xdx；（ 5 ） 八大分布0-1 分布PX=1=p, PX=0=q精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -二项分布在 n 重贝努里试验中， 设大事 A 发生的概率为 p ；大事 A发生的次数是随机变量，设为X ，就 X 可能取值为0,1,2, n ；P Xk Pn k kkn k n，其中Cpqq1p,0p1,k0,1,2,

15、n ，就称随机变量X 听从参数为n ， p 的二项分布；记为X B n, p ；当 n1时，P Xkp qk ， k0.1，这就是（ 0-1 ）k1分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例；泊松分布设随机变量 X 的分布律为P Xk ke，0 ， kk.0,1,2，就 称 随 机变 量 X听从 参 数 为的 泊 松分 布 ， 记为X 或者 P ；泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）；超 几 何 分布P XkCkMn kkCClN M ,0,1,2,lNnmin M , n随机变量X 听从参数为n,N,M的超几何分布，记为Hn,N,M ；几何分布P Xkqk1 p, k1,2,3,，其

16、中 p0，q=1-p ；随机变量 X 听从参数为 p 的几何分布，记为Gp ；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -匀称分布设随机变量 X 的值只落在 a ，b 内，其密度函数f x 在a ， b 上为常数1，即ba1,f xba0,a x b其他，就称随机变量 X 在a ，b 上听从匀称分布， 记为 XUa，b ；分布函数为0，x<a，F xxf xdxxa ,baa x b1，x>b ；当 a x1 <x2 b 时，

17、 X 落在区间（x1 , x2 ）内的概率为指数分布P x1x2x1Xx2 ；ba,ex ,x0f x0,x0 ,其中0 ，就称随机变量X 听从参数为的指数分布；X 的分布函数为xF x1e,x0 ,0,x<0 ；记住积分公式：x n e0x dxn.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -正态分布设随机变量 X 的密度函数为f x x1e2222，x，其中、0 为常数， 就称随机变量 X 听从参数为、的 正 态 分 布 或 高 斯

18、（ Gauss） 分 布 ， 记 为X N ,2 ；f x 具有如下性质：1°f x 的图形是关于 x对称的；2°当 x时， f 21为最大值；22如 X N , ， 就tX 的分布函数为F x1x e2 2dt2；参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布，记为 X N 0,1 ，其x 2密度函数记为 x12e2，x，分布函数为xt 2 x1e 22dt ； x 是不行求积函数， 其函数值，已编制成表可供查用；-x1- x 且 0 1 ；2假如 X N , ，就 X2 N 0,1 ；P x1x2x1Xx2 ；（ 6 ） 分位数下分位表：上分位表：P XP X；（ 7 ） 函

19、数分布离散型已知 X 的分布列为XP Xxix1,p1,x2,p 2,xn,，,pn ,Yg X 的分布列（ yig xi 互不相等）如下：YP Yyi g x1,p1,g x2,p 2,g xn ,，,pn ,如有某些概率；g xi 相等，就应将对应的pi 相加作为g xi 的精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -X连续型先利用 X 的概率密度fx 写出 Y 的分布函数F y YPgX y ，再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy ；

20、第三章二维随机变量及其分布（ 1 ）联合分布离散型假如二维随机向量（ X， Y）的全部可能取值为至多可列个有序对（ x,y ），就称为离散型随机量；设=（ X，Y）的全部可能取值为 xi , y j i , j1,2, ，且大事 = xi , y j 的概率为 pij, , 称P X , Y xi , y j piji , j1,2,为=（X， Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i,j=1,2,）；（ 2）ijpi

21、j1.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -连续型对 于 二 维 随 机 向 量 X , Y ， 如 果 存 在 非 负 函 数f x,yx,y ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=X,Y|a<x<b,c<y<d有PX ,YDf x, y dxdy,D就称为连续型随机向量；并称fx,y为=（ X， Y）的分布密度或称为X 和 Y 的联合分布密度；分布密度fx,y具有下面两个性质：（ 1）fx,y

22、 0;（ 2）f x, ydxdy1.（ 2 ）二维随 机 变 量的本质 Xx,Yy XxYy（ 3 ）联合分布函数设（ X， Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F x, y P Xx, Yy称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数；分 布函数是一个 以全平面为其 定义域，以事件1 ,2 |X 1 x,Y 2 y 的概率为函数值的一个实值函数；分布函数Fx,y具有以下的基本性质：（ 1） 0F x, y1;（ 2） F（x,y ）分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1 时，有 F（ x2,y ） Fx 1,y;当 y2>y

23、 1 时，有 Fx,y 2 Fx,y 1;（ 3） F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即F x, yF x0, y, F x, yF x, y0;（ 4） F ,F , yF x,0, F ,1.（ 5）对于 x1x2，y1y2，F x2，y2 F x2，y1 F x1， y2 F x1，y1 0 .（ 4 ）离散型 与 连 续型的关系P Xx， Yy) P xXx dx， yYy dy f x， ydxdy精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - -

24、- - - - - -（ 5 ）边缘离散型X 的边缘分布为分布PiP Xxi pijji , j1,2, ；Y 的边缘分布为P jPYy j pijii, j1,2, ；连续型X 的边缘分布密度为f X xf x, y dy；Y 的边缘分布密度为f Y yf x, y dx.（ 6 ）条件分布离散型在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为pPYy j | Xxi ij ；pi在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为pijPXxi |Yy j ,p j连续型在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f x, yf x | y；fY y在已知 X=x 的条件下， Y 的条

25、件分布密度为f y | xf x, yf X x（ 7 ）独立性一般型FX,Y=F XxF Yy离散型pijpi p j有零不独立连续型fx,y=fXxfYy直接判定，充要条件：可分别变量正概率密度区间为矩形二维正态分21x12 x21 y2 y2布f x, y2 011212 12 1e21 22,随机变量的函数如 X1,X 2,Xm,X m+1,Xn 相互独立，h,g为连续函数，就：h（X1， X2,Xm）和 g（ Xm+1,Xn）相互独立；特例：如X 与 Y 独立，就： h（ X）和 g（Y）独立；例如：如X 与 Y 独立，就： 3X+1 和 5Y-2 独立；精选名师 优秀名师 - -

26、- - - - - - - -第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 8 ）二维匀称分布设随机向量（X， Y）的分布密度函数为1SD x, yDf x, y0,其他其中 SD 为区域 D的面积，就称（ X，Y）听从 D 上的匀称分布，记为（X，Y） U（ D）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y1D1O1x图 3.1y1D2O2x1图 3.2ydD3cOabx图 3.3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 28 页 - - - - - -

27、- - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 9 ）二维正态分布设随机向量（X， Y）的分布密度函数为12x12 x21 y2 y2f x, y211212 12 1e21 22,其中1 ,2 ,10,20, |1是 5 个参数，就称（ X，Y）听从二维正态分布，记为（ X，Y） N（1 ,2,2,12.,1222 ,由边缘密度的运算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，1即 X N（,2 , Y N 2 .1212,（10）函数但是如 X N（Z=X+Y,2 , Y N 2 ， X， Y 未必是二维正态分布；依据定义运算：分布FZ

28、 zPZz) P XYz对于连续型， f Zz f x, zxdx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12 ,12 ） ；22n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍听从正态分布；C，2C 22iiiiiiZ=max,min X 1,X 2,X n如X 1 , X 2X n相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为12Fx x，Fx xFx x ，就Z=max,minX 1 ,X 2,X n的分布n函数为：Fmax x1Fx x12Fx xn2nFx xFmin x11Fx x1Fx x1Fx x精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 28 页 - -

29、 - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -2分布设 n 个随机变量X 1 ,X 2 , X n相互独立，且听从标准正态分布，可以证明它们的平方和2nWX ii 1的分布密度为f u1n2 2n20,nu1u 2e 2u0,u0.我们称随机变量W听从自由度为n 的2 分布，记为 W2 n ，其中nnx2201e x dx.所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数；2分布满意可加性：设iiY2 n ,就kZYi i 12 nnn k .12t 分布设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且X N 0,1,

30、Y 2 n,可以证明函数TXY / n的概率密度为2n1n 12f t21tt.nnn2我们称随机变量T 听从自由度为n 的 t 分布，记为T tn；t1ntn精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -F分布设 X 2 n, Y 2 n ，且X 与 Y 独 立 ，可以 证明12X / n1F的概率密度函数为Y / n2f yn1n22n1n222n1n1n121y 21n2n1 y n2n1 n2 2, y00, y0我们称随机变量F 听从

31、第一个自由度为n1，其次个自由度为n2的 F 分布，记为F fn 1, n 2.F1 n1, n2 1Fn 2 , n1 第四章随机变量的数字特点（1）离散型连续型一 维期望随 机期望就是平均值设 X 是离散型随机变量， 其分布设 X 是连续型随机变量， 其概率密度为 fx，律 为PX变 量xk pk ，的 数k=1,2,n ，字 特nE X xf xdx征E X xk p kk 1（要求肯定收敛）（要求肯定收敛）函数的期望Y=gXY=gXE Y ng xk pkk 1EY g x f xdx方差2DX=EX-EX，标准差D X xkkE X 2 pD X xE X 2f xdxk X D X

32、 ，精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -矩对于正整数 k ，称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 v k, 即对于正整数k，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的 k 阶原点矩，记为vk, 即k k =EX =x k p,iiik k=EX =xk f x dx,k=1,2,.对于正整数k ，称随机变量X与 E（X）差的k 次幂的数学期 望为 X 的 k 阶中心矩，记为k ，k=1,2,.对于正整数k

33、，称随机变量X 与 E（ X）差的 k 次幂的数学期望为X的 k 阶中心矩，记为k ，即即kE X.E X kkkE XE X .=xiE X k p= xE X k，f xdx,iik=1,2,.k=1,2,.2切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望E（X） = ，方差 D（ X） = ，就对于任意正数 ，有以下切比雪夫不等式2P X2切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情形下，对概率P X（2） 期 望（ 1）EC=C（ 2）ECX=CEX的一种估量，它在理论上有重要意义；的 性质（ 3）EX+Y=EX+EY ， E nC i X i i 1nCi E X i i 1（ 4）EXY=E

34、X EY，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关；（3） 方 差的 性（ 1）DC=0； EC=C2（ 2）DaX=a DX ； EaX=aEX222（ 3）DaX+b= aDX ； EaX+b=aEX+b质（ 4）DX=EX-EX（4） 常 见（ 5）DX± Y=DX+DY ，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关；DX±Y=DX+DY± 2EX-EXY-EY，无条件成立；而 EX+Y=EX+EY ，无条件成立；期望方差0-1 分布分 布B 1, ppp 1p 精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第

35、 16 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -的 期二项分布望 和方差泊松分布B n, p npP np1p几何分布G p11ppp 2超几何分布匀称分布H n, M , N nMNU a,b abnMM1NNbNnN1a 22122指数分布 e11正态分布N ,2 22 分布n2nt 分布0（5）期望nnn>2n2二 维E X 随 机变 量xi p ii 1nE X xf X x dx的 数字 特征函数的期望EY y j p jj 1EY yfY ydyEG X ,Y EG X ,Y G xi

36、,ijy j pijG x, yf x, ydxdy方差D X xijiE X 2 pD X xE X 2f X xdxiDY x jjEY 2 pD Y yEY 2f Y ydy精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -协方差对于随机变量X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩11 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为XY 或 covX , Y ，即XY11E XE X YE Y.与记号XY 相对应， X 与 Y 的方差 D（ X）与 D（ Y）也可分别记为XX与YY ；相关系数对于随机变量X 与 Y，假如 D（X） >0, DY>0，就称XYD X DY 为 X 与 Y 的相关系数，记作XY （有时可简记为）；| 1，当|=1 时，称 X 与 Y 完全相关： P XaYb1完全相关正相关，当负相关，当1时 a1时a0，0，而当0 时，称 X 与 Y 不相关；以下五个命题是等价的：XY0 ；协方差矩阵covX,Y=0;EXY=EXEY;DX+Y=DX+DY;DX-Y=DX+DY.XXXYYXYY混合矩对于随机变量X 与 Y，假如有E X k Y l 存在，就称之为