振动基本知识小结

1、9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩= - mghsin O h因为是微小摆动，sin,= - mgh，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位 C置附近运动，因而是简谐振动。由转动定理： mg即，9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。解：以平衡位置为原点建立 k1 k2m坐标o-x。设m向右偏离平衡位

2、置x，则弹簧1被拉长x，弹簧2 o x被压缩x，m所受的合力（即回复力）.由牛顿第二定律：9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1.若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？m解：以两个弹簧串联后m的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m向下偏离平衡位置x，弹簧1伸长L1，弹簧2 k1伸长L2，L1+L2 = x (1)；由于忽略弹簧质量， k2两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即k1L1 = k2L2 (2)；由、解得：， o所以m所受的回复力 ， x由牛顿二定律； ，即 ，未串联前频率 ，令 ，

3、即，可求得：9.2.4 单摆周期的研究：单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内；单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内；单摆悬挂于以加速度a（a<g）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l.f*=maTmga解：以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直线成角，由平衡条件：设单摆偏离平衡位置角位移为(<5°)，单摆所受回复力矩：由转动定理：， 以上求解较为麻烦，我们可以用另外一种简捷的思路和方法：在重力场中单摆的周期为，g是重力场强度现在单摆在力场中振动，力场强度：以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理：同样可以认为单摆在力场 中振动，力场强度

4、：与前面分析完全相同，9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为1013/s，设想各原子间彼此以弹簧连接，1摩尔银的质量为108g，且包含6.02×1023个原子，现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。kk解：利用9.2.2题的结果：9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m,物体的质量为200g,现将弹簧自平衡位置拉长cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s,求该振子的运动学方程（SI）。解：弹簧振子的圆频率.设振子的运动学方程为 .据题意,t=0时，,代入、中，有由'、&#

5、39;可解得：A=3×10-2m；,= - 19.47º= - 0.34rad. 代入（1）中，振子的运动学方程为：x = 3×10-2 cos (7t - 0.34).9.2.7质量为1.0×103g的物体悬挂在劲度系数为1.0×106dyn/cm的弹簧下面，求其振动的周期；在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s，求运动学方程。Ox解：以平衡位置为坐标原点，建立图示坐标o-x设运动学方称为 ，将t=0时，x=0.5×10-2,v=15×10-2代入，有2+2，可求得 A2=0.475×

6、;10-4，A=6.89×10-3m，将A值代入、中得：所以，运动学方程为：9.2.8 一简谐振动的规律为x=5cos(8t+/4),若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？一简谐振动的运动学方程为x=8sin(3t-),若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。解：设计时起点提前t0秒，则t'=t+t0，将t=t'-t0代入原方程得 x=5cos(8t'-8t0+/4).当t0=0.5s时，x=5cos(8t'-

7、4+/4)=5cos(8t'-184º)=5cos(8t'+176º)若使初相为零，令 -8t0+/4=0，得 t0=/32，即计时起点提前/32秒可使初相为零。原方程x=8sin(3t-)=8cos(3t-3/2). 设计时起点推迟t0秒，则t'=t-t0，将t=t'+t0代入原方程得 x=8cos(3t'+3t0-3/2).当t0=1s时，x=8cos(3t'+3-3/2)=8cos(3t'-98º),t0=1s时，初相=（3-3/2）rad=-98º若使初相为零，令 3t0-3/2=0，得t0

8、=/2，即计时起点推迟/2秒可使初相为零。 t=0 t=0 t=0 176º 45º o x o -98º x t=09.2.9 画出某简谐振动的位移-时间曲线，其振动规律为x=2cos2(t+1/4) (SI制).解：由运动学方程可知：A=2m,0=2,T=2/0=1s,=/2.方法一：根据余弦函数图像规律：相位=0,/2,3/2,2时，其对应的位移为A,0,-A,0,A.因此只要求出对应的时间t即可画出x-t图像。令2(t+1/4)=0,/2,3/2,2;可求得对应的时间为-1/4,0,1/4,2/4,3/4.找出这些特殊点，即可画出x-t曲线。方法二：令t&

9、#39;=t+1/4得x=2cos2t',以1/4秒为t轴的时间单位，先画出它的x-t'图像。然后根据t=t'-1/4,将o-x轴右移1/4即得到x-t图像。 x (m) 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 t (1/4 s ) -29.2.10 半径为R得薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小的摆动。求其振动的周期。求与其振动周期相等的单摆的长度。将圆环去掉2/3而刀口支于剩余圆环的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。 O 解：如图示,o=-mgRsin-mgR R 由平行轴定理，Io=mR2+mR2=2mR2；据转动 C mg定理o=Io, ,即 单摆的周期

10、为与薄圆环振动周期相等的单摆的摆长L=2R. o Rc设剩余圆环的质心在c处，质量为 r m/3.据平行轴定理：Io=Ic+mr2/3;Io= mR2/3o'=Ic+m(R-r)2/3,Ic=mR2/3-m(R-r)2/3=2mRr/3-mr2/3代入前式得 Io=2mRr/3. 设余环摆角为，则o= - mgr/3.由转动定理o=Ioo，有 mgr/3=(2mRr/3)d2/dt2,即 . 由于和剩余环的大小无关，可知，无论剩余环多大，只要刀口支于剩余环的中央，其振动周期就和整个圆环的振动周期相等。9.2.11 1m长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小的物体

11、与杆的质量相等，固定于杆上离转轴为h的地方。用T0表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期。求当h=50cm和h=100cm时的比值T/T0.是否存在某一h值，可令T=T0,若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时周期不变。解：为简便起见，借用9.2.1题中求得的结果，物理摆的周期，其中hc为摆质心到转轴的距离。未加小物体时：，代入（1）中 .加小物体后：，,代入（1）中 当l=1m,h=0.5m时， 当l=1m,h=l=1m时，令T=T0，即，解得：h=0, h=2l/3.在h=0处加小物体，即把物体放在转轴处，对摆的摆动毫无影响，故周期不变。由可知，此物理摆的等效单摆长度为

12、，因此，在处加小物体，相当于只增加单摆的质量，没有改变单摆的长度，故周期不变。9.2.12 天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量为0.9kg的小球。最初小球静止，后另一质量为0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。解：设m1=0.9kg,m2=0.1kg,碰前m2的速度为v20=1.0m/s,碰后两球的共同速度为v0.由动量lo x守恒，有 v0 m2 v20 m1碰后两球构成一个单摆,圆频率.设运动学方程将t=0时,x=0,v=0.1代入,得：0=Acos, 0.1= - 3.3Asin要同时满足，只有取=-/2；代入得A0.03.所

13、以运动学方程为：ammbox9.2.13 质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架，求铅快落进框架后的运动学方程。解：设a为弹簧自由伸长时框架的位置，b为碰前框架的平衡位置，o为碰后平衡位置并取作坐标原点。据题意：ab=0.1m, k=mg/ab=0.2×9.8/0.1=19.6N/m,在o点，2mg=k(ab+bo), bo=2mg/k-ab=0.1m设碰后铅块与框架获得的共同速度为v'，由动量守恒:碰后框架与铅块振动的圆频率，设振动的运动学方程为 ，将振动的初始条件：t=0时, x = -0.1

14、, v = v'=1.21代入，有：2+2，得：，将A值代入、中得：cos= -0.5, sin= -0.865, = -120°= -2/3所以，运动学方程为：9.2.14 质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，框架下方有一质量为20g的小球竖直向上飞来，与框架发生完全弹性碰撞，已知小球碰前速度为10m/s，求碰后框架的运动学方程。m'mv0'ox解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意： 设小球质量为m'，小球碰前速度为v0'，小球碰后速度为v'，框架碰前静止，碰后速度为v0由动量守恒：，由牛顿碰撞公式：由此可求得

15、：设运动学方程代入初始条件：由知=±/2，为满足式，取=/2，代入得：A=0.184所以，运动学方程为：9.2.15 质量为m的物体自倾角为的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了l远后与一质量为m的物体发生完全非弹性碰撞。m与劲度系数为k的轻弹簧相连。碰撞前m静止于斜面上，如图所示。问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知m=m=5kg,k=490N/m,=30º,l=0.2m.解：设a为弹簧自由 m 伸长处，b为只有m时的 a m平衡位置, o为m与m粘 b k在一起时的平衡位置.以o O为原点，建立图示o-x坐 x标。由平衡条件有：.设m与m碰前速度为v1，由能

16、量守恒，.设m与m碰后共同速度为v0,由动量守恒 显然，碰撞后两小球在平衡位置o附近作简谐振动，其圆频率. 设运动学方程为 （1），速度. 将初始条件，代入得：.可解得：A=0.1118m,= - 1.107rad.9.3.1 1851年傅科作证明地球自转的实验，摆长69m,下悬重球28kg.设其振幅为5.0º，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零。解：；根据能量守恒，振动的总能量等于摆在最高点时的势能9.3.2 弹簧下面悬挂质量为50g的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为 x=2sin10t,平衡位置为势能零点（时间单位：s,长度单位；cm）.求弹簧的劲度系数，求最大动能，求

17、总能。解：根据能量守恒，总能量等于最大动能，为1.0×10-3j9.3.3 若单摆的振幅为0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg(1+02)mgTn证明：单摆的运动学方程为：角速度在法向方向应用牛顿第二定律：时，T最大所以，9.4.1 在电子示波器中，由于互相垂直的电场的作用，使电子在荧光屏上的位移为 x = Acost, y = Acos(t+).求出=0，/3，/2时的轨迹方程并画图表示。 y解：=0时，轨迹方程y=x,如图a所示。=/3时， x = Acost, 0 xy = Acos(t+/3)= A(cost cos/3 sint sin/3) =. 由上式可得，两边平方可得yy'x'x令 .代入上式可得其轨迹为如图