2022年-北邮概率论研究生试题答案定稿

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费北京邮电高校2021 2021学年第 1 学期概率论与随机过程试题期末考试试题答案考试留意事项：同学必需将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效；在答题纸上写上你的班号 和选课单上的 学号 ， 班内序号 .一. 单项挑选题和填空题： （每空 3 分，共 30 分）1. 设 A 是定义在非空集合上的集代数 , 就下面正确选项.A（ A）如 AA, BA, 就 ABA ;（ B）如 AA, BA, 就 BA ;（ C）如 AnA, n1,2, 就AnA;n 1（ D）如 AnA, n1,

2、2, 且 A1A2A3, 就AnA .n 12. 设, F为一可测空间， P 为定义在其上的有限可加测度，就下面正确的是.c（A）如 AF, BF, 就 P ABP APB ；（B）如 AnF, n1,2, 且 A1A2A3，就 P nAn 1li m P An ；n（C）如 AF, BF,CF,，就P ABCP AP ABP A BC ；（D）如 AnF, n1,2, 且Ai Aj,ij， PnAn 1P An .n 13. 设 f 为从概率空间, F, P到 Borel可测空间R, B上的实可测函数，表达式为f 100kI A，其中Ai Aj,ij,100An，就fdP；kn 0k 0如已

3、知P A 100.1，就f 2 dP.kk .100k . 2100精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费100kP Ak,255022525k 04. 设二维随机变量 X ,Y 的概率密度f x, y2,0x1,0yx,0,其他，就 E E X| Y=.2/35. 设随机过程 X t X cost,t ，其中随机变量 X 听从参数为1的指数分布，0,/ 2 为常数，就（ 1）X 1 的概率密度f x;1；0（2） E 2

4、X t dt .f x;11cosxe cos,x0, E2 X tdt 100,其他，216. 设W t , t0 是参数为0 的维纳过程，令X t W ，就相关 t2函数 RX 1,2.27. 设齐次马氏链的状态空间为E1,2,3,一步转移概率为0.50.50P0.50.500.20.30.5p就（ 1） limn n 11；（2）n n 33p0. 1/2,2二. 概率题（共 30 分）1.10分设 X ,Y 的概率密度为x2 x212f x, y1e2 2,22令UX 2Y 2 ,VY ,（ 1）求 U ,V 的概率密度g u, v；（2）求U 的边缘概精选名师 优秀名师 - - -

5、- - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -率密度gU u .精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费解解.（ 1） 解方程ux2vy,y2 ,得xu 2yv,v2 ,| v |u,所以雅可比行列式Juv2u2v22u2v2u,2u2v201故g u, vf x,u12 2y | J |22 euu 2v2,| v |u,5 分0,（2）对 u0 ，其他 .guugu, vdv1e 2 2udvu2Uu2u2v22uuue 2 2u22u1dvu2v2ue 2, 222uue2 ,u0,故 gU u2

6、210 分0,其他.2. （ 10 分）设 U ,V 的概率密度gu,ve u ,uv0,v0,0,其他，（1）求E I V1 |U10) ，其中I V1,1 V1，（2） D V| U .0,其他，解 U 的边缘概率密度为uuugU uugu,vdvedv,u0,0ue,u0,0所以条件概率密度0,其他,0,其他,精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费1gV |Uv | u g u, v,0vu ,u4 分gU u0,（1

7、）其他 .E I V1 | U10PV1| U1010gV |Uv | u10dv10 1 dv1 .1u 2U 21 1027 分（ 2）由于D V|Uu，所以12D V|U ；10 分123.（10 分）设X1, X 2 , X n 独立同分布，均听从两点分布，即P X10p, P X11=1-p,0p1，令 YX1X 2X n ，（1）求 Y 的特点函数；（2）求EY 3 .解:（1）由于 Y 听从二项分布 B n, q ，所以 Y 的特点函数nt pqeit n5 分（2） EY 3 E X1X 2X n nnnEX 3E X 2 X E X X X iijijki 1i , j1,

8、j ii , j, k1,互不相等nqn n1) q2nn1n2) q310 分三. 随机过程题（共40 分）1.（ 10 分）设X1 t t0) 是参数为0 的泊松过程，即满意：1X1 00;精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -(2) X1 t 为独立增量过程；精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费t k et(3) 对s, t0,有P X stX sk, kk .0,1,.X 2 t t0 也 是 参 数 为0 的 泊 松 过 程 ， 且 与X1t 独 立

9、 ， 令Yt X1 t X 2 t ，（1）求Y t和RY s, t ；（ 2）求PY 11 .解：由于YtX1tX 2 t是参数为 2的泊松过程，所以（）t 2, R s, t 2min s, t42 st5 分YY（）PY 112e 210 分2. （10 分） 设 X t ,t 是平稳过程，f 是其谱密度函数，（1）证明：对于任意的h0 ， Y t X th X t 是平稳过程；（ 2）求 Yt 的谱密度.解 （1）EY t E X th X t 0 ,E Y t Yt E Xth X t Xth Xt2RX R X h R X h与 t 无关，就Y t X th X t 是平稳过程；5

10、 分（2） f 1e i2 R RhRh dXXX22 f ei hf ei hf 2 f 1c o s.h10 分3. （10 分）设齐次马氏链 X n , n0 的状态空间为 E 0,1,2，一步转移概率矩阵为1/21 /4P1/20，1 /21/21/20精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费初始分布为P X0P X1P X21 , 求0003(1) P X11, X 21, X 42 和P X11, X 21, X

11、42|X0 =0 ;(2) X 2 的分布律 .解 1P 21/21/ 41/ 41/23 / 81/ 81/ 21/ 83 / 8P X1, X1,X2P Xi p1 p1 p201240i11112iP X11, X 21, X 42|X 0 =0p01 p11 p12 20分2p2p0 P 2111,1/ 21/ 41/ 41/ 23 / 81/ 8111,10 分3331/ 21/ 83 / 82444. （ 10 分）齐次马氏链 X n , n0 的状态空间为 1,2,3, ，一步转移概率矩阵为精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费000000000000000000000000101022010122101022011114444000000000000000000000001P000001200033012003300120330001233确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解.（ 1）链可分 , 1 ，43 是不行分闭集 , 状态空间 E1,43 2,5,6,7,2 分（2） 周期d i 1,i1,2,. .4 分（3） 设平稳分布为1,2, ,就iii1 ,iP,