小学奥数思维训练 数论专项：物不知数问题（含解析）

思维训练数论专项-物不知数问题

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一、解答题

1.有一个整数，除39,51所得的余数都是3,求这个数。

2.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。求这个数是多少？

二、填空题

3.一个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,则这个两位数最小值为

三、解答题

4.两位自然数不与而除以7都余1,并且。＞8，求Wx瓦。

5.有一个大于1的数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数可能是多少？

6.有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几？

四、填空题

7.有3个奇特数：888,518,666,用他们分别除以同一个自然数，所得余数依次为。，。+7,

a+10,求这个自然数-

五、计算题

8.已知429、791、500被某自然数除所得的余数分别是a+5、2a、a,求该自然数及a的值。

六、填空题

9.有一个自然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这

个数最小是—O

10.5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成

6排多5人，问上体育课的同学最少人。

11.小朋友们做游戏，若5人分成一组，则最后余下3人；若6人分成一组，则最后余下4

人；若7人分成一组，则最后余下5人。那么一起做游戏的小朋友至少有人。

12.n除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,…，除以16余15,n最小为。

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13.一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是（）o

14.一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃

时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最

后每只猴子分到一个桃子。

七、解答题

15.不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在

外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？

八、填空题

16.有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28

本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本。那么这批

图书共有（）本。

九、解答题

17.一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条

件的数。

十、填空题

18.一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数

十一、解答题

19.有连续的三个自然数。、。+1、a+2,它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自

然数中最小的数至少是多少？

20.民间流传着一则故事《韩信点兵》，秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与

楚军大将李锋苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人；忽有后军来报，说有

楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵

5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣

布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”

根据故事中的条件，韩信是如何算出军中将士人数的呢？

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《思维训练数论专项-物不知数问题》参考答案

1.4或6或12

【分析】由于所得的余数相同，所以此数一定能整除39、51这两数的差，也就是说它是39、

51之差的公因数。

【详解】51-39=12

12的约数有1、2、3、4、6、12

因为余数3要小于除数，故此数为：4或6或12

答：这个数是4或6或12。

2.6

【分析】345+这个数=商……余数

543+这个数=商……余数；由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345,

并且得到的商为33,因此先计算出543-345的差，然后用它们的差除以33即可。

【详解】543-345=198

198+33=6

答：求这个数是6。

【点睛】此题考查的是同余定理，应先找出被除数的差，然后再解答。

3.13

【分析】根据余数定理，贝『'加上3后被3除余1”其实用原数还是余1,同理这个两位数除

以4也余1,同时考虑取值最小，则这个数就是3、4的最小公倍数再加上1。

【详解】3x4+1

=12+1

=13

则这个两位数最小值为13o

4.2668

【分析】因为乱与而除以7都余1,所以方-历能被7整除，即

(10a+6)—(10b+a)=9x(a—b)能被7整除，由于9和7为互质数，所以只能有a-b=7,那

么话可能为92和81,验算可得当月=92时，垢=29满足题目要求，由此即可求出两数之

积。

【详解】ab=10a+b

ba=10b+a

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4Z?-Z?a=(10a+〃)一(10b+a)=9x(a-/?)育旨被7整除

所以a-Z?=7

若b=l,则a=8,81+7=11……4,不符合；

若6=2,贝Ua=9,92+7=13……1,29+7=4……1,符合；

所以苏=92,而=29。

那么嬴垢=92x29=2668。

5.2、7、14

【分析】由于所得的余数相同，根据同余定理可知：这个数一定能整除45、59、101中的任

意两数的差，也就是说它是这三个数中任意两数差的公约数。

【详解】101—45=56,59—45=14,则56、14的公约数为14,而14的约数有1、2、7、

14,故此数可能为2或7或14

6.19

【分析】a,b数被一个数d去除，有相同的余数，那么d可以整除(a-b),由此找出300

与262的差，以及262与205的差，它们的非1的公约数就是要求的数。

【详解】这个数除300、262,得到相同的余数，所以这个数整除300—262=38,

同理，这个数整除262—205=57,

因此，它是38、57的公约数19。

【点睛】本题利用同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数,从而得解。

7.29

【分析】518—7=511,666-10=656,888,511,656除以这个数，余数相同；888-511

=377,888-656=232,这个数为377与232的公因数，且大于10,然后进行分析，进而

得出答案；

【详解】518—7=511

666-10=656

888-511=377

888-656=232

这个数为377与232的公因数，且大于10；

因为377=13x29,232=8x29,所以这个自然数为29；

故答案为：29

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【点睛】解答此题的关键是先根据被除数、除数、商和余数的关系，想法把余数转化为相等

的数，进而根据公约数的有关知识进行分析，得出结论。

8.19；a=6

【分析】将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：(429-5)x2=848,791,500x2

=1000,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a,故可用同余定理，两两作差，找

公因数即可求解。

【详解】由题可知(429-5)x2=848,791,500x2=1000,三者同余

则848-791=57,1000-848=152,57与152公因数为19,所以这个自然数为19的因数,

显然1不合题意，故此数为19；

此时所得余数分别为11、12、6,故a=6

【点睛】将被除数进行放大或加减，使得余数相同，把不同余问题，转化为同余问题，再两

两作差找公因数是解决此题的关键。

9.59

【分析】根据题意，可知：如果这个自然数添上1后再除以2、3、4、5、6就没有余数了，

所以这个数最小是比2、3、4、5、6的最小公倍数少1的数；据此解答。

【详解】因为2、3、4、5、6的最小公倍数是60,所以这个数最小是：60-1=59；

【点睛】本题关键是理解符合条件的这个数最小是比2、3、4、5、6的最小公倍数少1的数。

10.59

【分析】根据题意可知，如果5年级3班再加1个人，正好分别是3、4、5、6的倍数，所

以用3、4、5、6的最小公倍数减1,就是最少上体育课的同学人数。

【详解】3、4、5、6的最小公倍数是：

2x2x3x5=60(人)

60-1=59(人)

所以，上体育课的同学最少59人。

【点睛】题意相当于：除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,这样我们根据总

结知道都只能“凑缺”，所以都缺1,这样班级人数就是[3、4、5、6]—1=60—1=59人。

11.208

【分析】这个数除以5余3,即还差2人又能组成一组；除以6余4,即还差2人又能组成

一组；除以7余5,即还差2人又能组成一组；因每次分组都会缺少2个人，所以小朋友的

人数一定是5、6、7的最小公倍数再减去2,列式解答即可。

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【详解】5、6、7的最小公倍数：5x6x7=210

故小朋友至少有210—2=208（人）

所以一起做游戏的小朋友至少有208人。

12.720719

【分析】除以2余1,即除以2差1个；除以3余2,即除以3,差1个；除以4余3,即除

以4差一个，一次类推，除以16余15,即除以16差1个，每次总差一个，因此，可以先

给这个数加1,这样，除以每个数都刚好，即找2~16的最小公倍数。再减去1即可得出答

案。

【详解】依题意2~16的最小公倍数为：16x9x5x7x11x13=720720

故n最小值为：720720—1=720719

【点睛】根据条件能够想到加1后的数是2~16的最小公倍数，再减去1即可求出原数是解

决本题关键。

13.11

【分析】最小的5（5除外）的倍数且除以3余2的数是20,最小的3的倍数且除以5余1

的数是6,所以这个数最小是10x2+6x1=26,26-15=1……11；所以，这个数除以

15的余数是IE

【详解】10x2+6x1

=20+6

=26

26+15=1........11

所以，这个数除以15的余数是11。

【点睛】正确理解剩余定理和运算的性质，是解答此题的关键。

14.7

【分析】56的因数有1,2,4,7,8,14,28,56,其中只有4和8相差4,所以最后有猴

子8只，每只猴子分到56+8=7个桃子。

【详解】56的因数有1,2,4,7,8,14,28,56,

8-4=4,

故共有8只猴子重新分配这些桃子，

56+8=7（个）。

【点睛】本题的关键是找出56的因数。

答案第4页，共8页

15.93名

【分析】此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5,减去8能被

5整除，即除以5余3,求其最大值。13除以8余5,除以5余3,8和5的最小公倍数为

40,13+2x40=93,为满足条件的整数，即最多有93名同学。

【详解】13除以8余5,除以5余3,8和5的最小公倍数为40,

13+2x40

=13+80

=93

答：最多有93名同学。

【点睛】正确理解剩余定理的意义，是解答此题的关键。

16.670

【分析】由题意可知，这批书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆捆书时，都将

恰好分成整数本。所以这批书的本数加上2之后是24,28,32的公倍数，而[24,28,32]=672,

所以这批书的本数是672"-2（左是整数）。由于这批书少于1000本，所以上只能为1,这批

书有670本。

【详解】根据分析可知，数的本数加2,是24、28、32的公倍数；

[24,28,32]=672

所以这批书的本数是672人-2（左是整数）；

当％=1时，672^-2=670（本）

所以，这批书有670本。

【点睛】找出24、28、32的最小公倍数，是解答此题的关键。

17.1102

【分析】列出除以3余1的前面一部分数字，再列出除以5余2的前面一部分数字，最后列

出除以7余3的前面一部分数字，这三列数中找出最小的共同数，这个数再加上[3,5,7]

的倍数使这个数在1000-1200之间即为满足要求的数字。

【详解】被3除余1的数：

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,...；

被5除余2的数：

2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,...；

被7除余3的数：

答案第5页，共8页

3,10,17,24,31,38,45,52,...；

三个条件都符合的最小的数是52

[3,5,7]=105,105x10+52=1102,1000<1102<2000

【点睛】先求出满足要求最小的数字，在加上[3,5,7]的倍数满足数字范围即可。

18.53

【分析】根据“剩余定理”可得：

3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数

152135

304270

4563105

6084140

找出除以7余4的除以5余3除以3余2

可以找出分别是：606335

可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍

数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158—105=53。

【详解】根据分析可得：

3、5的公倍数且除以7余4的最小的数是60；3、7的公倍数且除以5余3的最小的数是63；

5、7的公倍数且除以3余2的最小的数是35；

60+63+35=158

158—3x5x7

=158-105

=53

所以，满足条件的最小自然数53。

【点睛】熟练掌握剩余定理和余数的性质，是解答此题的关键。

19.495

【分析】由。+1是8的倍数，得到。被8除余7,由a+2是7的倍数，得到a被7除余5,

现在相当于一个数。除以9余0,除以8余7,除以7余5。运用中国剩余定理求。（用逐步

满足的方法也可以）可得：

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7和8的公倍数7和9的公倍数8和9的公倍数

566372

112126144

168189216

224252288

280315

378

441

7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8