二次曲线的渐近方向中心渐近线

1、整理ppt5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1. 二次曲线的渐近方向二次曲线的渐近方向我们在我们在5.1 中看到二次曲线中看到二次曲线0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF00 xxXtyyYt和具有方向和具有方向 的直线的直线YX :（1）（2）210020000(,)2(,)(,)(,)0,X YtF xyXFxyY tF xy的交点参数满足的交点参数满足整理ppt或者直线全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分或者直线全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分.当满足条件当满足条件02),(22212211YaXYaX

2、aYX（3）210020000(,)2(,)(,)(,)0,X YtF xyXFxyY tF xy时，交点数目会有三种情况时，交点数目会有三种情况或者只有一个实交点，或者只有一个实交点， 或者没有交点，或者没有交点，这说明这说明, 直线方向会影响其与曲线的交点直线方向会影响其与曲线的交点. 方向方向(3)具具有特殊性有特殊性. 我们将我们将(3)所示的方向定义为二次曲线的渐所示的方向定义为二次曲线的渐近方向近方向.我是我是特殊方向特殊方向整理ppt定义定义 5.2.1 满足条件满足条件 的方向的方向 叫做二次曲线（叫做二次曲线（1）的渐近方向，否则叫做）的渐近方向，否则叫做非渐近方向非渐近方向

3、. 0),(YXYX :02),(22212211YaXYaXaYX（3） 因为二次曲线（因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零，）的二次项系数不能全为零，所以渐近方向所以渐近方向 所满足的（所满足的（3）总有确定的解）总有确定的解.YX :下面考虑下面考虑(3)存在渐近方向的个数问题存在渐近方向的个数问题.如果如果 ，那么把（，那么把（3）改写成）改写成011a022212211aYXaYXa整理ppt得得1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，把（，把（3）改写成）改写成022a021112222aXYaXYa02),(22212211YaXYaXaYX（3）02

4、2212211aYXaYXa如果如果 ，那么把（，那么把（3）改写成）改写成011a2221222221121212aIaaaaaaXY得得111221222aaIaa整理ppt0212XYa所以所以1:00:1:或YX这时这时00021212122aaaI02),(22212211YaXYaXaYX（3）02211aa 如果如果 012a那么一定有那么一定有这时（这时（3）变为）变为总结以上讨论的各种情况总结以上讨论的各种情况, 渐近方向的数目渐近方向的数目?最多两个最多两个! (从比值的角度看从比值的角度看)111221222aaIaa整理ppt02),(22212211YaXYaXaYX

5、（3）如果如果 ，渐近方向满足，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，渐近方向满足，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa 如果如果 渐近方向满足渐近方向满足1:00:1:或YX这说明渐近方向的数目最多两个这说明渐近方向的数目最多两个! (从比值的角度看从比值的角度看)有虚方向吗有虚方向吗?区分一下虚实方向区分一下虚实方向.整理ppt02),(22212211YaXYaXaYX（3）如果如果 ，渐近方向满足，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，渐近方向

6、满足，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa 如果如果 渐近方向满足渐近方向满足1:00:1:或YX从上我们看到，从上我们看到，02I当且仅当当且仅当 时，时，二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；111221222aaIaa整理ppt02),(22212211YaXYaXaYX（3）如果如果 ，渐近方向满足，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，渐近方向满足，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa 如果如果 渐

7、近方向满足渐近方向满足1:00:1:或YX111221222aaIaa从上我们看到，从上我们看到，当且仅当当且仅当 时，时，02I二次曲线有一个实渐近方向；二次曲线有一个实渐近方向；整理ppt02),(22212211YaXYaXaYX（3）如果如果 ，渐近方向满足，渐近方向满足011a1121211221121212aIaaaaaaYX如果如果 ，渐近方向满足，渐近方向满足022a2221222221121212aIaaaaaaXY11220,aa 如果如果 渐近方向满足渐近方向满足1:00:1:或YX111221222aaIaa从上我们看到，从上我们看到，当且仅当当且仅当 时，时，02I二

8、次曲线有两个实渐近方向二次曲线有两个实渐近方向.整理ppt因此二次曲线的渐近方向最多有两个因此二次曲线的渐近方向最多有两个.总结总结:02I当且仅当当且仅当 时，时，二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；111221222aaIaa当且仅当当且仅当 时，时，02I二次曲线有一个实渐近方向；二次曲线有一个实渐近方向；当且仅当当且仅当 时，时，02I二次曲线有两个实渐近方向二次曲线有两个实渐近方向.显然二次曲线的非渐近方向有无数多显然二次曲线的非渐近方向有无数多.因此因此,可以利用渐近方向将二次曲线分类可以利用渐近方向将二次曲线分类整理ppt定义定义 5.2.

9、2 没有实渐近方向的二次曲线叫做没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的。的。 因此二次曲线（因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三）按其渐近方向可以分为三种类型，即种类型，即1) 椭圆型曲线：椭圆型曲线： ；02I2) 抛物型曲线：抛物型曲线： ；02I3) 双曲型曲线：双曲型曲线： .02I例例1 求下列二次曲线的渐近方向求下列二次曲线的渐近方向,并指出曲线属于何并指出曲线属于何种类型种类型.(1)2242210 xxyyx

10、y (2)2234xy整理ppt解解: (1)渐近方向满足渐近方向满足2242210 xxyyxy 02),(22212211YaXYaXaYX即即:2240XXYY2()410XXYY 解得解得:23XY 有两个实渐近方向有两个实渐近方向. 是双曲型曲线是双曲型曲线.也可以由也可以由111221222aaIaa123021 得到是双曲型曲线得到是双曲型曲线.整理ppt2234xy解解: (1)渐近方向满足渐近方向满足02),(22212211YaXYaXaYX即即:2230XY23()10XY 解得解得:3XiY 有两个虚渐近方向有两个虚渐近方向. 是椭圆型曲线是椭圆型曲线.也可以由也可以由

11、111221222aaIaa303001得到是椭圆型曲线得到是椭圆型曲线.整理pptp193. 1.现在请大家做课堂练习现在请大家做课堂练习整理ppt2. 二次曲线的中心与渐近线二次曲线的中心与渐近线 我们在我们在5.1 中又看到，当直线的方向中又看到，当直线的方向 为二次曲线（为二次曲线（1）的非渐近方向时，即当）的非渐近方向时，即当YX :02),(22212211YaXYaXaYX时，直线与二次曲线总交于两个点（两个不同实的，时，直线与二次曲线总交于两个点（两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的）两重合实的或一对共轭虚的）.00 xxXtyyYt210020000(,)2(,)(,)(,

12、)0,X YtF xyXFxyY tF xy我们把由这两点决定的线段我们把由这两点决定的线段叫做二次曲线的弦叫做二次曲线的弦.AB线段线段AB是是弦弦整理ppt定义定义 5.2.3 如果点如果点 是二次曲线的通过它的是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而所有弦的中点（因而 是二次曲线的对称中心）是二次曲线的对称中心）,那那么点么点 叫做二次曲线的中心。叫做二次曲线的中心。CCCC我们这些我们这些弦弦都被都被C平分平分称称C为中心为中心根据这个定义，根据这个定义，),(00yx当点当点 为二次曲线（为二次曲线（1）的中心时，）的中心时，),(00yxYX :那么过那么过 以任意非渐近方向以任意非

13、渐近方向为方向为方向 的直线的直线00 xxXtyyYt与二次曲线交于两点与二次曲线交于两点21,MM整理ppt点点 就是弦就是弦 的中点的中点.),(00yx21MMC(x0,y0)M1M2),(00yxYX :那么过那么过 以任意非渐近方向以任意非渐近方向为方向为方向 的直线的直线00 xxXtyyYt与二次曲线交于两点与二次曲线交于两点21,MM设交点设交点M1与与M2对应的参数分对应的参数分别为别为t1, t2.则有则有121200,22xxyyxy注意注意101101xxXtyyYt202202xxXtyyYt(a)所以所以(a)意味着意味着021tt整理ppt0),(),(),(

14、2),(000020012yxFtyxYFyxXFtYX由前面所得由前面所得021tt而另一方面而另一方面, 直线直线00 xxXtyyYt与二次曲线的交点与二次曲线的交点21,MM对应的参数对应的参数, 可以由下列方程解得可以由下列方程解得从韦达定理得从韦达定理得0),(),(002001yxYFyxXF（4）因为因为 为任意非渐近方向，所以（为任意非渐近方向，所以（4）式是关于）式是关于 的恒等式，从而有的恒等式，从而有YX :YX，整理ppt0),(),(002001yxYFyxXF（4）0),(, 0),(002001yxFyxF 反过来，适合上面两式的点反过来，适合上面两式的点 ，显

15、然是二，显然是二次曲线的中心次曲线的中心.),(00yx这样我们就得到了下面的定理：这样我们就得到了下面的定理：定理定理 5.2.1 点点 是二次曲线的中心，是二次曲线的中心，其充要条件是其充要条件是),(00yxC0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF（5）整理ppt 所以，二次曲线的中心坐标由下列方程组决定所以，二次曲线的中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF解解:例例1 求曲线求曲线的中心的中心.

16、223246370 xxyyxy二次曲线的中心坐标由下列方程组决定二次曲线的中心坐标由下列方程组决定1( , )330,F x yxy23( , )402F x yxy解得解得:2715,2222xy 整理ppt二次曲线的中心坐标由下列方程组决定二次曲线的中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF推论推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含条件是曲线方程里不含 与与 的一次项。的一次项。xy由上面的方程容易得到

17、推论由上面的方程容易得到推论例如例如22261xy(0, 0)为中心为中心.整理ppt练习：练习：p193. 3.p193. 3.作业：作业： P194. 4.P194. 4.整理ppt定义定义 5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的。有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的。 因此二次曲线（因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三）按其渐近方向可以分为三种类型，即种类型，即1) 椭圆型曲线：椭圆型曲线： ；02I2) 抛物型曲

18、线：抛物型曲线： ；02I3) 双曲型曲线：双曲型曲线： .02I复复 习习0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF整理ppt二次曲线的中心坐标由下列方程组决定二次曲线的中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）下面将利用中心把二次曲面分类下面将利用中心把二次曲面分类.0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF整理ppt下面将利用中心把二次曲面分类下面将利用中心把二次曲面分类.先考虑中心最多有多少先考虑中心最多有多少?由于二次曲线的中心坐标由下列方程组决定由于二次曲线的

19、中心坐标由下列方程组决定0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF（5）1112212220,aaIaa如果系数行列式如果系数行列式那么那么(5)有唯一的解有唯一的解.此时此时,二次曲线有唯一的中心二次曲线有唯一的中心.如果系数行列式如果系数行列式1112212220,aaIaa即即 ，22121211aaaa整理ppt231322121211aaaaaa二次曲线没有中心；二次曲线没有中心；而当而当 时，时，231322121211aaaaaa那么当那么当0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF如果系数行列式如果系数行列式1

20、112212220,aaIaa即即 ，22121211aaaa时，时，（5）（5）无解，）无解，（5）有无数多解）有无数多解, 换句话说换句话说,直线直线0131211ayaxa（或（或 0232212ayaxa）上的所有点都是二次曲线的中心，上的所有点都是二次曲线的中心，整理ppt这时这条直线叫做中心直线这时这条直线叫做中心直线.定义定义 5.2.4有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与

21、线心二次曲线统称为非中心二次曲线无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.例例2椭圆椭圆22221xyab抛物线抛物线22ypx一对平行直线一对平行直线22ya整理ppt 根据这个定义，我们得二次曲线按其中心得分类：根据这个定义，我们得二次曲线按其中心得分类：; 0221212112aaaaI0221212112aaaaI1） 中心曲线：中心曲线：2） 非中心曲线：非中心曲线： ，22121211aaaa0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxFo1 无心曲线：无心曲线： ，231322121211aaaaaao2 线心曲线：线心曲线： 。2313221

22、21211aaaaaa即即整理ppt由前面关于曲线按渐近方向的分类由前面关于曲线按渐近方向的分类二次曲线按其渐近方向可以分为三种类型，即二次曲线按其渐近方向可以分为三种类型，即1) 椭圆型曲线：椭圆型曲线： ；3) 双曲型曲线：双曲型曲线： .2) 抛物型曲线：抛物型曲线： ；02I02I02I因此因此椭圆型椭圆型曲线与曲线与双曲型双曲型曲线都是曲线都是中心曲线中心曲线.抛物型抛物型曲线是曲线是非非中心曲线，中心曲线，它包括它包括无心无心曲线与曲线与线心线心曲线曲线.整理ppt定义定义 5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做这二次曲线的渐近线

23、近方向为方向的直线叫做这二次曲线的渐近线.而抛物型曲线而抛物型曲线二次曲线的渐近线二次曲线的渐近线显然，显然， 椭圆型曲线只有椭圆型曲线只有 两条虚渐近线而无实渐近线两条虚渐近线而无实渐近线 ，双曲型曲线有两条实渐近线，双曲型曲线有两条实渐近线，中的无心曲线却无渐近线，中的无心曲线却无渐近线，至于线心曲线它有一条实渐近线，就是它的中心直线至于线心曲线它有一条实渐近线，就是它的中心直线.整理ppt定理定理 5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上，线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上，成为二次曲线的组成部分。成为二次曲线的组成部分。渐近线与二次曲线的位置关系渐近线与二次曲线的位置关系证证设直线设直线00 xxXtyyYt是二次曲线的渐近线是二次曲线的渐近线.0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF),(00yx这里这里 为二次曲线的中心，为二次曲线的中心，渐近方向渐近方向.那么我们有那么我们有YX :