2-4三次样条函数系数的求解

1、课题二、船体型线的数值表示课题二、船体型线的数值表示 （四）三次样条函数系数求解（四）三次样条函数系数求解 一、概述一、概述这里有这里有4n-4个待定系数，求解这些系数需要的方程个数为：个待定系数，求解这些系数需要的方程个数为： 4n-4个。个。3i2iii)(xdxcxbaxs) 1, 2 , 1,(1iinixxx这里这里n是插值点的个数，当是插值点的个数，当n比较小时，可以采用上次课的比较小时，可以采用上次课的方法进行求解。但是，当方法进行求解。但是，当n的取值较大时，求解过程必然的取值较大时，求解过程必然非常复杂且繁琐。非常复杂且繁琐。二、二、系数用系数用 表示的三次样条函数表示的三次

2、样条函数 ic3ii2iiiiii)()()()(xxdxxcxxbaxs ) 1, 2 , 1(1iinixxx； 3i2iii)(xdxcxbaxs) 1, 2 , 1,(1iinixxx为了讨论的方便，我们设三次插值多项式为：为了讨论的方便，我们设三次插值多项式为：由于这里的待定系数的个数较多，求解起来很不方便，我们设想可不可以将未知数的个数减少，这样势必可以大大降低计算的难度。 4n-4个待定系数个待定系数545052yxyx解方程组：解方程组：yx2554525yy3310yyx253325x这种解方程的方法称为消元法。这种解方程的方法称为消元法。三次样条函数的系数有三次样条函数的系

3、数有4组，我们在求解时也采用消元的组，我们在求解时也采用消元的方法，将其中的三组用一组表示，那么只需要求出这一组方法，将其中的三组用一组表示，那么只需要求出这一组的值就可以了。的值就可以了。这样必然可以减少计算量，降低计算难度！这样必然可以减少计算量，降低计算难度！1、iii2)(cxs 的函数表达式的函数表达式根据三次样条函数自身的特点：根据三次样条函数自身的特点：) 1, 2 , 1()() 1 (iiniyxs（2 2）插值区间上一阶、二阶导数及函数连续）插值区间上一阶、二阶导数及函数连续根据条件（根据条件（1）得：）得：3ii2iiiiii)()()()(xxdxxcxxbaxsiiy

4、a 3ii2iiiiii)()()()(xxdxxcxxbaxsiiii求得一组待定系数！求得一组待定系数！函数及二阶导数在函数及二阶导数在1ix点处连续，于是有：点处连续，于是有： 1ixix2ix第第i段段第第i+1段段)()()()(1i1i1ii1i1i1ii xsxsxsxs1i3i1ii2i1iii1iii)()()(yxxdxxcxxby3i1i2i1ii1ii1i)()()()(xxdxxcxxbaxsiiii31i11i21i11i1i11i1i11i)()()()(xxdxxcxxbaxsiiii注意下标的变化及表示的不同含义。注意下标的变化及表示的不同含义。根据根据i+1

5、点处函数连续：点处函数连续：根据根据i+1点处二阶导数连续：点处二阶导数连续： 1ixix2ix第第i段段第第i+1段段)()(1i1i1ii xsxs)(62)(iiixxdcxsi 3ii2iiiiii)()()()(xxdxxcxxbaxs1ii1iii2)(62cxxdc)(62)(1i1i1i1 xxdcxsi将将x=xi+1代入代入1i3i1ii2i1iii1iii)()()(yxxdxxcxxby1ii1iii2)(62cxxdc)(3i1ii1iixxccd)(3231(i1ii1ii1ii1iixxccxxyyb这样就将所有的这样就将所有的bi和和di用用ci表示了，只要能够

6、求出表示了，只要能够求出ci就可以了。就可以了。2、iii6)(cxs 的函数表达式的函数表达式)(3i1ii1iixxccd)(3231(i1ii1ii1ii1iixxccxxyyb在实际的应用中，为了使表达式简单，常令在实际的应用中，为了使表达式简单，常令iii6)(cxs 1i1i1i1ii6)()( cxsxs了。的就是原来31iicci1ii1ii1ii1ii)(3)(3xxccxxccd)(2(i1ii1ii1ii1iixxccxxyyb3ii1ii1i2iiii1ii1ii1ii1iii)()()()(2()(xxxxccxxcxxxxccxxyyyxs3ii2iiiiii)()

7、()()(xxdxxcxxbaxs三、求解三、求解系数系数 的方程的方程 ic1、一阶导数连续法、一阶导数连续法根据三次样条函数的特点，前面已经使用了函数、二阶导根据三次样条函数的特点，前面已经使用了函数、二阶导数连续，还剩余一阶导数连续的条件没有使用。数连续，还剩余一阶导数连续的条件没有使用。3ii1ii1i2iiii1ii1ii1ii1iii)()()()(2()(xxxxccxxcxxxxccxxyyyxs31- i1- ii1- ii21- i1- i1- i1- ii1- ii1- ii1- ii1- i1- i)()()()(2()(xxxxccxxcxxxxccxxyyyxs i

8、x1 - ix1ix第第i-1段段第第i段段一阶导数在一阶导数在i点连续点连续)()(iii1ixsxs)2)(x)2)(x1iii1i1i11ii1ii1i1ccxxxyyccxxxyyiiiiii)(2()(i1i1ii11ixxccxxyyxsiiiii2111111 - iii1 - i11i1)(3)(2)(2()(iiiiiiiiiiiiiixxxxccxxcxxccxxyyxs)(2 ()(i1i1ii11i1xxccxxyyxsiiiii整理得：整理得：)2)(x)2)(x1iii1i1i11ii1ii1i1ccxxxyyccxxxyyiiiiii整理：整理：11111ii1i

9、i1i1i1i1ii)()( 2)(iiiiiiiixxyyxxyycxxcxxcxx ix1 - ix1ix第第i-1段段第第i段段1 -nxnx第第n-1段段只有只有n-1个个cii+1=n-1i=n-211111ii1ii1i1i1i1ii)()( 2)(iiiiiiiixxyyxxyycxxcxxcxx)2, 3 , 2(ni这是关于这是关于ci的的n-3个方程，未知数的个数为个方程，未知数的个数为n-1个。个。2、三弯矩算法、三弯矩算法 3i2iiii)(xdxcxbaxs1iixxx) 1, 1(niiii26cxds 1iixxx) 1, 1(ni)()(1xMxEJ22)(1d

10、xydx)(22xMdxydEJ二阶导数可以表示某处的弯矩二阶导数可以表示某处的弯矩ii26)(cxdxMii26)(cxdxMii记某点的弯矩值为记某点的弯矩值为iMiM1iM1iM将相邻两点用直线段连接将相邻两点用直线段连接采用分段线性插值采用分段线性插值)(xMi1ii1i1ii1ixxxxMxxxxMi) 1, 1(1iinixxxi1ii1i1ii1i)(xxxxMxxxxMxsi 对上式进行不定积分二次，可以得到三次样条插值对上式进行不定积分二次，可以得到三次样条插值多项式：多项式：i1ii1i1ii1i)(xxxxMxxxxMxsi )(xsiiii1iii3i1ii31ii6)(6)(hxxhxxhxxMhxxM)