202X届高考数学一轮复习2.6导数及其应用课件

1、2.6导数及其应用20102019年高考全国卷考情一览表 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26导数的概念及几何意义1.(2019全国2,文10,5分,难度)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为(C)A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0解析当x=时,y=2sin +cos =-1,即点(,-1)在曲线y=2sin x+cos x上.y=2cos x-sin x,y|x=2cos -sin =-2.曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-),即

2、2x+y-2+1=0.故选C.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点332.(2019全国3,理6文7,5分,难度)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (D)A.a=e,b=-1B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1解析y=aex+ln x+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.3.(2018全国1,理5文6,5分,难度)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为

3、(D)A.y=-2x B.y=-xC.y=2xD.y=x解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得曲线y=f(x)在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点334.(2016山东,理10,5分,难度)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(A)A.y=sin xB.y=ln xC.y=ex D.

4、y=x3解析当y=sin x时,y=cos x,因为cos 0cos =-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A. 本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点335.(2016四川,理9,5分,难度)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是(A)A.(0,1) B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)

5、考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点336.(2014全国2,理8,5分,难度)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(D)A.0B.1C.2D.3 利用导数的几何意义求切线方程,应注意两点:一是要检验点P(x0,y0)是否在曲线上.若点不在曲线上,则应该先设切点坐标,利用切线斜率列方程求切点坐标,然后再求解;二是要准确地把握切点的二重性既在切线上,又在曲线上.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点337.(2010全国,理3,5分,难度)曲线y=

6、在点(-1,-1)处的切线方程为(A)A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-28.(2010全国,文4,5分,难度)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为(A)A.y=x-1 B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2解析y|x=1=(3x2-2)|x=1=1,因此曲线在(1,0)处的切线方程为y=x-1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点339.(2019全国1,理13文13,5分,难度)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 解析由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2

7、+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.10.(2019天津,文11,5分,难度)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为x+2y-2=0. 命题点导数的几何意义.解题思路函数求导,求出k.点斜式求方程.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3311.(2019江苏,11,5分,难度)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是(e,1). 12.(2018天津,文10,5分,难度)已知函数f(x)=exln x,

8、f(x)为f(x)的导函数,则f(1)的值为e. 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3313.(2018全国2,理13,5分,难度 )曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x. 14.(2018全国2,文13,5分,难度)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2. 15.(2018全国3,理14,5分,难度)直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=-3. 解析设f(x)=(ax+1)ex,f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f(0

9、)=a+1=-2,a=-3.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3316.(2017全国1,文14,5分,难度)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为y=x+1. 17.(2017天津,文10,5分,难度)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为1. 解析f(x)=ax-ln x,f(x)=a- ,f(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3318.(2016全国2,

10、理16,5分,难度)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=1-ln 2. 两曲线切线相同也就是两切线的斜率相同且两切点都在此直线上.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3319.(2015全国1,文14,5分,难度)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=1. 解析f(x)=3ax2+1,f(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为 =5-a,5-a=3a+1,解得a=1. (1)f

11、(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在其上一点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.切线方程可利用点斜式表示,即y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)解决曲线的切线问题,关键是把握切点的两个性质:切点在曲线上;切点在切线上.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3320.(2015全国2,文16,5分,难度)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=8. 解析y=1+ ,k=y|x=1=2,切线方程为y=2x-1.由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知=a2-8a=0,解

12、得a=0或a=8.当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,a=0舍去,故a=8.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3321.(2015陕西,理15,5分,难度)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为(1,1). 22.(2012全国,文13,5分,难度)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0. 解析因为y=3ln x+4,故y|x=1=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.考点26考点27考点28考点29考点3

13、0考点31考点32考点33考点27导数与函数的单调性1.(2016全国1,文12,5分,难度)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是(C) 若f(x)在区间I上单调递增(减),则f(x)0(0)在区间I上恒成立.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点332.(2015全国2,理12,5分,难度)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是(A)A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)f(x)

14、为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,+)上,F(x)0,即当0 x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点333.(2014全国2,文11,5分,难度)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是(D)A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点334.(2017山东,理15,5分,难度)若函数exf(x)(e=2.71

15、8 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为. f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点336.(2019全国3,文20,12分,难度)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0a0,则由f(x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln

16、a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33 当导函数的解析式中含有参数时,此时需依据参数的取值不同讨论何时导数为正,何时导数为负,并得函数相应的单调区间.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点339.(2016北京,理18,12分,难度)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=

17、xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3310.(2012全国,文21,12分,难度)设函数f(x)=ex-ax-2.(1

18、)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=ex-a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增.若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)0,所以,f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+)单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)存在唯一的零点.故g

19、(x)在(0,+)存在唯一的零点.设此零点为,则(1,2).当x(0,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,+)的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3).由于式等价于kg(),故整数k的最大值为2.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3311.(2010全国,理21,12分,难度)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围.解(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f(x)=ex-1.当x(-,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,0)上单调减少,在(0,+)上

20、单调增加.(2)f(x)=ex-1-2ax.由(1)知ex1+x,当且仅当x=0时等号成立,故f(x)x-2ax=(1-2a)x,从而当1-2a0,即a 时,f(x)0(x0),而f(0)=0,于是当x0时,f(x)0.由ex1+x(x0)可得e-x1-x(x0).从而当a 时,f(x)ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当x(0,ln 2a)时,f(x)0,而f(0)=0,于是当x(0,ln 2a)时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,-1),(0,+)上单调增加,在(-1,0)上单调减少.(2)f(x)=x(ex-1-ax).令g(

21、x)=ex-1-ax,则g(x)=ex-a.若a1,则当x(0,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,则g(0)=0,从而当x0时g(x)0,即f(x)0.若a1,则当x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x(0,ln a)时,g(x)0,即f(x)0.综合得a的取值范围为(-,1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点28导数与函数的极值1.(2017全国2,理11,5分,难度)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(A)A.-1B.-2e-3 C.5e-3 D.1解析由题意可得,f

22、(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点332.(2017浙江,7,5分,难度)函数y=

23、f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 (D) 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33解析设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10 x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点333.(2016四川,文6,5分,难度)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(D)A.-4B.-2C.4D.2解析f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得

24、x=-2或x=2,易得f(x)在(-2,2)上单调递减,在(-,-2),(2,+)上单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33A.(-,-6)(6,+)B.(-,-4)(4,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-1)(1,+)考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点335.(2013全国2,理10文11,5分,难度)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(C)A.x0R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)

25、在区间(-,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0解析x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图象大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故C不正确.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点336.(2019全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.又当xx0时,f(x)x0时,f(x)0,f(x)单调递增.因此,f(x)存在唯一的极值点.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点

26、28考点29考点30考点31考点32考点337.(2019江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合-3,1,3中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M .解(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.(2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2

27、a+b)x-ab2,考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.(3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为00,则f(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).列表如下: 所以f(x)的极大值M=f(x1).考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33(解法一) (解法二)因

28、为00.所以f(x)在x=2处取得极小值.所以f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点339.(2017全国2,理21,12分,难度)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)2-2.(1)解f(x)的定义域为(0,+).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a- ,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g(x)=1- .当0 x1时,g(

29、x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3310.(2017山东,理20,13分,难度)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e2.718 28是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(aR),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解(1)由题意f()=2-2,又f

30、(x)=2x-2sin x,所以f()=2,因此曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程为y-(2-2)=2(x-),即y=2x-2-2.(2)由题意得h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2ex(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(ex-a)(x-sin x),令m(x)=x-sin x,则m(x)=1-cos x0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x0时,m(x)0;考点26考点27考点28考点29考

31、点30考点31考点32考点33当x0时,m(x)0,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a0时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),由h(x)=0得x1=ln a,x2=0.()当0a1时,ln a0,当x(-,ln a)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(ln a,0)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2,当x=0时h(x

32、)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,ln a=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33()当a1时,ln a0,所以当x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(0,ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.综上所述:当a0时

33、,h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0a1时,函数h(x)在(-,0)和(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3311.(2017江苏,20,12分,难度)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有极值,且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对

34、应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于- ,求a的取值范围.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33故f(x)的极值点是x1,x2.从而a3.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3312.(2016山东,文20,13分,难度)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调

35、区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.解(1)由f(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+).当a0时,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;所以当a0时,g(x)的单调增区间为(0,+);(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当x(1,+)时,f(x)0,f(x)0成立,求a的取值范围.解(1)由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+),令g(x)=2ax2+ax-a+1,x(-1,+).当a=0

36、时,g(x)=1,此时f(x)0,函数f(x)在(-1,+)单调递增,无极值点;当a0时,=a2-8a(1-a)=a(9a-8).f(x)0,函数f(x)在(-1,+)单调递增,无极值点;考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33所以当x(-1,x1)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增,当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增.因此函数有两个极值点.当a0,由g(-1)=10,可得x10,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减;所以函数有一个极值点.综上所述,当

37、a0,符合题意;当a1时,由g(0)0.所以x(0,x2)时,函数f(x)单调递减;因为f(0)=0,所以x(0,x2)时,f(x)0,不合题意;当ah(0)=0,即ln(x+1)x.可得f(x)x+a(x2-x)=ax2+(1-a)x,此时f(x)a,则af(x)max;若x0,使f(x0)f(x)min.若x,f(x)a恒成立,则af(x)min;若x,f(x)f(x)max.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3314.(2013全国1,文20,12分,难度)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+

38、4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2) .令f(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.从而当x(-,-2)(-ln 2,+)时,f(x)0;当x(-2,-ln 2)时,f(x)0.故f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=

39、4(1-e-2).考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点3315.(2013全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=-e-xx(x-2).当x(-,0)或x(2,+)时,f(x)0.所以f(x)在(-,0),(2,+)单调递减,在(0,2)单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.考点26考点27考点28考点29考

40、点30考点31考点32考点33(2)设切点为(t,f(t),则l的方程为y=f(t)(x-t)+f(t).由已知和得t(-,0)(2,+). 当x(-,-2)时,h(x)的取值范围是(-,-3). 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点29导数与函数的最值1.(2019全国3,理20,12分,难度)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间0,1的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考

41、点28考点29考点30考点31考点32考点33(2)满足题设条件的a,b存在.()当a0时,由(1)知,f(x)在0,1单调递增,所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.()当a3时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在0,1的最小值为-1,最大值为1.考点26考点27考

42、点28考点29考点30考点31考点32考点332.(2017北京,理19,12分,难度)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.考点26考点27考点28考点29考点30考

43、点31考点32考点33(1)求f(x)的导函数; 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33 研究函数的最值或取值范围,关键是分析函数的极值点及端点的函数值的大小,确定最值.最值可能出现在端点处,不要忘记列出.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33解(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+). 当且仅当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)单调递增.因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33

44、由(1)知,f(x)+a单调递增.对任意a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.当0 xxa时,f(x)+a0,g(x)xa时,f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33使得h(a)=. 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点335.(2016天津,理20,12分,难度)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x

45、1x0,求证:x1+2x0=3;(1)解由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f(x)=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f(x)=3(x-1)2-a0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33且3-2x0 x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.(3)证明设g(x)在区间0,2上的最大值为M,maxx,y表示

46、x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:所以M=a-1+|a+b|2. 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33所以f(x)在区间0,2上的取值范围为f(0),f(2),因此M=max|f(0)|,|f(2)|=max|-1-b|,|1-2a-b|考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点336.(2015全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33(2)由(1)知,当

47、a0时,f(x)在(0,+)无最大值; 令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+)单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点337.(2014全国2,理21,12分,难度)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值;(3)已知1.414 2 0,g(x)0; 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点3

48、1考点32考点338.(2012全国,理21,12分,难度)已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+ x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x) x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.解(1)由已知得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e.从而f(x)=ex-x+ x2.由于f(x)=ex-1+x,故当x(-,0)时,f(x)0.从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33(2)

49、由已知条件得ex-(a+1)xb. ()若a+10,则对任意常数b,当x0,且x 时,可得ex-(a+1)x0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g(x)=ex-(a+1).当x(-,ln(a+1)时,g(x)0.从而g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x) x2+ax+b等价于ba+1-(a+1)ln(a+1).因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(

50、a+1),则h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点339.(2012全国,文21,12分,难度)设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=ex-a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增.若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)0,所以,f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex

51、-1)+x+1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+)单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)存在唯一的零点.故g(x)在(0,+)存在唯一的零点.设此零点为,则(1,2).当x(0,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,+)的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3).由于式等价于k0),考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点332.(2013重庆,文20,12分,难度)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体

52、积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh元,底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.又据题意200rh+160r2=12 000,令V(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内

53、,舍去).当r(0,5)时,V(r)0,故V(r)在(0,5)上为增函数;由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33 导数的实际应用问题关键是依据题意建立数学模型.通过设置变量,便可列出解析式.最终利用导数求最值,一般情况下这类问题仅有一个极值点,且最值也出现在此处.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点333.(2011山东,理21,12分,难度)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求

54、容器的容积为 立方米,且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33当r=m时,y=0;当r(0,m)时,y0.所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.当r(0,2)时,y0,函数单调递减.所以r=2是函数y的最小值点.考点26考点27考点28考点29考点30考点3

55、1考点32考点33考点31利用导数解决恒成立(存在性)问题1.(2015全国1,理12,5分,难度)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是(D)考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33解析由已知函数关系式,先找到满足f(x0)0的整数x0,由x0的唯一性列不等式组求解.f(0)=-1+a0,x0=0.又x0=0是唯一的使f(x0)0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在“S点”,并说明理由.(1)证明函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f(x)=1,g(x)=2x

56、+2.由f(x)=g(x),且f(x)=g(x),因此,f(x)与g(x)不存在“S点”. 考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33(2)解函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x, 设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0),且f(x0)=g(x0),(3)解对任意a0,设h(x)=x3-3x2-ax+a.因为h(0)=a0,h(1)=1-3-a+a=-20,存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在“S点”.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点333.(2017全国3,理21,12分,难度)已知函数f(x

57、)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0.故a=1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点334.(2017全国2,文21,12分,难度)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33(2)f(x)=(1+x)(1-x

58、)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在0,+)内单调递增,而g(0)=0,故exx+1.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点335.(2017天津,文19,12分,难度)设a,bR,|a|1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,求证:f(x)在x

59、=x0处的导数等于0;若关于x的不等式g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范围.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33(1)解由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|1,得a0,可得f(x)1.又因为f(x0)=1,f(x0)=0.故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|1,故a+10,求a的取值范围.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33由x21和x1x2=1得x1

60、1,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)1时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33(3)由(2),当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.因此,h(x)在区间(1,+)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.考点26考点27考点28考点29考点30考点31考点32考点33 f(x)g(x)恒成立,可转化