202X届高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量数量积与应用课件

1、A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组五年高考1.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A.B.C.D.3AEBE2116322516答案答案A本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,当t=-=时,取得最小值,()min=-+=.故选A.解法二:令=(01),由已知可得DC=,=+,=+=+,=(+)(+)=+|2

2、+2|233,2233AEBE33,22t32323322 134AEBEAEBE3163234322116DEDC3AEADDCBEBAAEBAADDCAEBEADDCBAADDCADBAADDCBADC=32-+.当=-=时,取得最小值.故选A.3232322 314AEBE2116方法总结方法总结向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.2.(2016天津理,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为()A.-B.C.D.AFBC5

3、81814118答案答案B建立平面直角坐标系,如图.则B,C,A,所以=(1,0).易知DE=AC,则EF=AC=,因为FEC=60,所以点F的坐标为,1,021,0230,2BC12141413,88所以=,所以=(1,0)=.故选B.AF15 3,88AFBC15 3,8818疑难突破疑难突破若利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,则可以考虑建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.评析评析本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积.考查了运算求解能力和数形结合思想.3.(2014天津理,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,

4、DC上,BE=BC,DF=DC.若=1,=-,则+=()A.B.C.D.AEAFCECF23122356712答案答案C以,为基向量,则=(+)(+)=+(1+)=4(+)-2(1+)=1.=(-1)(-1)=-2(-1)(-1)=-,由可得+=.ABADAEAFABADADAB2AB2ADABADCECFBCDC23564.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=.3BDAE答案答案-1解析解析本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考查学生数形结合思想的应用以及运算

5、求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30,又EA=EB,EAB=30,在EAB中,AB=2,EA=EB=2.以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示3则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,),33=(2,-),=(1,),=(2,-)(1,)=-1.解法二:同解法一,得AB=2,以,为一组基底,则=-,=+=-,=(-)=-+-=-=52-12-25=-1.BD3AE3BDAE333ABADBDADABAEABBEAB25ADBDAEADAB25ABADADAB2AB

6、25ABAD252AD75ABAD2AB252AD75332255.(2015天津理,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则的最小值为.BEBCDF19DCAEAF答案答案2918解析解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C,D.由=得E,由=得F.从而=+2=当且仅当=时,取等号.33,2213,22BEBC32,22DF19DC113,292AEAF32,22113,2921718292171813291823B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )

7、卷题组卷题组考点一数量积的定义及模、夹角运算考点一数量积的定义及模、夹角运算1.(2019课标理,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3ABACBCABBC答案答案C本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的思想方法.考查的核心素养为数学运算.=-=(1,t-3),|=1,t=3,=(2,3)(1,0)=2.BCACABBC221(3)tABBC思路分析思路分析先利用|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.BC2.(2019课标文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A

8、.B.2C.5D.5022答案答案A本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=,故选A.22( 1)12一题多解一题多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|=.故选A.222aa bb 132 1213 23.(2019课标理,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.632356答案答案B本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思想;考查的核心素养是数学建模

9、和数学运算.解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=,又知0,所以=,故选B.解法二:如图,令=a,=b,则=-=a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以AOB=,即=.故选B.123OAOBBAOAOB33思路分析思路分析本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.4.(2018课标理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案答案B本题考查平面向量的运算

10、.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.5.(2016课标理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案答案D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0.m=8.故选D.思路分析思路分析求出a+b的坐标,然后利用两向量垂直的充要条件列出关于m的方程,进而求出m.6.(2016课标理,3,5分)已知向量=,=,则ABC=()A.30B.45C.60D.120BA13,22BC3 1,22答案答案AcosABC=,所以ABC=30,故选A.| |

11、BA BCBABC32思路分析思路分析由向量的夹角公式可求得cosABC的值,进而得ABC的大小.7.(2016山东理,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-139494答案答案B因为n(tm+n),所以tmn+n2=0,所以mn=-,又4|m|=3|n|,所以cos=-=,所以t=-4.故选B.2nt| |m nmn243|m nn43t13评析评析本题主要考查了非零向量垂直的充要条件和夹角公式,属中档题.8.(2015课标文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B

12、.0C.1D.2答案答案C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=11+0(-1)=1.故选C.9.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.答案答案8解析解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法.ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0,m=8.易错警示易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.10.(2019课标理,13,5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=.5答案答案23解析解析本题主要

13、考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养.|a|=|b|=1,ab=0,ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,|c|=|2a-b|=3.cos=.5552(25 )ab224a5b4 5a b|a ca c23小题巧解小题巧解不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.5521 323方法总结方法总结利用数量积求解向量模的处理方法:a2=aa=|a|2或|a|=;|ab|=.a a2()ab11.(2017课标理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=

14、2,|b|=1,则|a+2b|=.答案答案23解析解析本题考查向量数量积的计算.由题意知ab=|a|b|cos60=21=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.12312.(2016课标理,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案答案-2解析解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,ab=m+2=0,m=-2.13.(2015浙江文,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2=.若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|=.12答案答案2 33解析解

15、析令e1与e2的夹角为,e1e2=|e1|e2|cos=cos=,又0180,=60.因为b(e1-e2)=0,所以b与e1、e2的夹角均为30,从而|b|=.121cos302 3314.(2015广东理,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x.(1)若mn,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.22,220,23解析解析(1)因为mn,所以mn=sinx-cosx=0,即sinx=cosx,又x,所以tanx=1.(2)易求得|m|=1,|n|=1.因为m与n的夹角为,所以cos=.则sinx-cosx=sin=.又因为x,所以x-

16、.所以x-=,解得x=.22220,2sincosxx22sincosxx33| |m nmn22sincos221 1xx1222224x120,24,4 4 465121.(2017课标理,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1PAPBPC3243答案答案B设BC的中点为D,AD的中点为E,则有+=2,则(+)=2=2(+)(-)=2(-).而=,当P与E重合时,有最小值0,故此时(+)取最小值,最小值为-2=-2=-.PBPCPDPAPBPCPAPDPEEAPEEA2PE2EA2AE232342PEPAPBP

17、C2EA3432方法总结方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用=-可快速求出最值.PAPD2PE2EA考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用一题多解一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1-x,-y)=2(x+1)+y=2+-.因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B.313,22PAPBPCPAPD13,22xy12x32y214x234y341434PAPBPC34322.(2015福建理,9,5分)已知,|=

18、,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.21ABACAB1tACAP|ABAB4|ACACPBPC答案答案A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-22=13,故的最大值为13,故选A.1,0tPBPC11, 4t14tt1,“ ”2t当且仅当时 取PBPC3.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a2BDCD32343432答案答案D=(+)=+=a2+a2=a2

19、.BDCDBCCDCDBCCD2CD12324.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|=6,|=4.若点M,N满足=3,=2,则=()A.20B.15C.9D.6ABADBMMCDNNCAMNM答案答案C依题意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故选C.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC5.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若=6,则的值是.ABACAOECABAC答案答案3解析解析本题考查平面向量基本

20、定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.过D作DFEC,交AB于F.D为BC的中点,F为BE的中点,又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=AD,=(+).=(+)12AO12AD1212ABACAOEC14ABAC13ACAB=.=6,=-+,=3,|=|,=.14222133ACAB ACABABACAOECABAC322AC122ABABAC2AB2ACAB3 ACABAC3一题多解一题多解由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系.则E,D,0,3c

21、,2 2b c易得lAD:y=x,lEC:+=1,联立得解得则O.由=6得6=0,cbxb3yc,1,3cyxbxycb,4,4bxcy,4 4b cABACAOEC,4 4b c,3cbc2=3b2,c=b,=.3ABAC36.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|=2,则的最小值为.EFAEBF答案答案-3解析解析本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0),=(1,m),=(-2,n).=-2+mn,又知|=2,|m-n|=2.当m=n+2时,=mn-

22、2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,取得最小值-3.当m=n-2时,=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3.当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,取得最小值-3.综上可知,的最小值为-3.AEBFAEBFEFAEBFAEBFAEBFAEBFAEBF7.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则的值是.BACABFCFBECE答案答案78解析解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=(-

23、)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,因为=4,所以=4,则=-+=-(+)=4-(+)=-1,所以+=,从而=BEBDDE12BC23DA12BC23AD12ACAB13ABAC16AC56ABCECDDE12CB23DA12CB23AD12ABAC13ABAC16AB56ACBFBDDF12BC13DA12ACAB16ABAC13AC23ABCFCDDF12CB13DA12ABAC16ABAC13AB23ACBACAABACBFCF1233ACAB1233ABAC19ABAC292AB292AC49ABAC59ABAC292AB2AC59292AB2AC2AB2AC292BECE1

24、566ACAB1566ABAC=-+=-(+)+=-+4=.5362AB5362AC2636ABAC5362AB2AC2636ABAC5362922636637278思路分析思路分析合理选择“基底”,把相关向量用“基底”表示出来,进而求得向量的数量积.一题多解一题多解=(+)(-)=-,同理,=-,=-,又因为E,F是AD上的两个三等分点,所以=9,=4,由-可得8=5,即=.由两式可得=+3=-1+=.BACAABACADDBADDB2AD2DBBECE2ED2DBBFCF2FD2DB2AD2FD2ED2FD2FD2FD58BECEBFCF2FD158788.(2016浙江文,15,4分)已

25、知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是.答案答案7解析解析由已知易得a,b所成角为60,如图.设向量e与a所成角为,e与b所成角为,则与的关系为=60-(e在区域)或=60+(e在区域)或=300-(e在区域)或=-60(e在区域).当=60-(e在区域)时,|ae|+|be|=cos+2cos=2cos+sin3=sin(+),其中tan=,则30,+60+,|ae|+|be|的最大值为.72 337同理可得另三种情况下所求最大值均为.故|ae|+|be|的最大值为.779.(2015安徽文,15,5分)ABC是边长为2的等边三

26、角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)a为单位向量;b为单位向量;ab;b;(4a+b).ABACBCBC答案答案解析解析=2a,|=2,2|a|=2,|a|=1,故正确.由=-=2a+b-2a=b,知正确,又|b|=|=2,故不正确.由ab=22=-1,知不正确.由(4a+b)=(2+)=2+=222+4=0,知正确.综上,结论正确的是.ABABBCACABBC12ABBC1212BCABBCBCABBC2BC12C C组教师专用题组组教师专用题组考点一数量积的定义及模、夹角运算考点一数量积的定义及模、夹角运算1.(2017浙江,10,4

27、分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3OAOBOBOCOCOD答案答案C解法一:因为AB=BC,ABBC,BCO=45.过B作BEAC于E,则EBC=45.因为AD45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角,所以DOC为钝角.故I10,I30.又OAOC,OB1),=-2(21),从而I3=12=12I1,又121,I10,I3I10,I3I10,nm.从而DBC45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角.故I10,I30

28、.又OAOC,OB1),=-2(21),从而I3=12=12I1,又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C.ODOBOCOAOCODOAOB2.(2015陕西理,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2不恒成立答案答案B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A恒成立;由向量的运算法则知C,D也恒成立;当b=-a0时,|a-b|a|-|b|,B不一定成立.故选B.评析评析本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力.3.(2014安徽理,10,5分)在平面直

29、角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,点Q满足=(a+b).曲线C=P|=acos+bsin,02,区域=P|0r|R,rR.若C为两段分离的曲线,则()A.1rR3B.1r3RC.r1R3D.1r3ROQ2OPPQ答案答案A根据题意不妨设a=(1,0),b=(0,1),=(a+b)=(,),=acos+bsin=(cos,sin),易知曲线C为单位圆,区域表示以Q为圆心,内径为r,外径为R的圆环,且C为两段分离的曲线,结合图形可知,单位圆与圆环的内外边界相交,即1rR4|a|2cos得5|a|2+4|a|2cos8|a|2cos,即x1y1+x2y2+x3y3+x4

30、y4所有可能取值中的最小值为8|a|2cos,依题意得8|a|2cos=4|a|2,从而cos=,又0,故=,选B.123评析评析本题考查平面向量的数量积,同时考查分析问题、解决问题的能力.解题时能分析出所有情况是解题的关键.5.(2014浙江理,8,5分)记maxx,y=minx,y=设a,b为平面向量,则()A.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|B.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2D.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2,x xyy xy,y xyx xy答案答案D在A中,取a=(1,0),b

31、=(0,0),则min|a+b|,|a-b|=1,而min|a|,|b|=0,不符合,即A错.在B中,设a=b0,则min|a+b|,|a-b|=0,而min|a|,|b|=|a|0,不符合,即B错.因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab,|a-b|2=|a|2+|b|2-2ab,所以当ab0时,max|a+b|2,|a-b|2=|a|2+|b|2+2ab|a|2+|b|2;当ab0,0,|b|sin=1,若确定,则|b|唯一确定,而|b|确定,不确定,故选B.2222224| |4| | co4|ababs a7.(2017课标文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).

32、若向量a+b与a垂直,则m=.答案答案7解析解析解法一:a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.解法二:由已知可得(a+b)a=aa+ba=1+4-m+2=0,解得m=7.解法三:如图,设a=,b=,a+b=,由于向量a+b与a垂直,可知COB为直角三角形,故|a|2+|a+b|2=|b|2,即1+4+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7.OBOAOC8.(2017课标文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m=.答案答案2解析解析ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),

33、-6+3m=0,解得m=2.9.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为.33答案答案6解析解析cos=,又0,a与b夹角的大小为.| |a bab133 12 232610.(2016课标文,13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x=.答案答案-23解析解析因为ab,所以ab=0,即x+2(x+1)=0,解得x=-.2311.(2016山东文,13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为.答案答案-5解析解析因为a(ta+b),所以a(ta+b)=0,即ta2+ab=0,又因为a=(1,-1

34、),b=(6,-4),所以|a|=,ab=16+(-1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.2方法总结方法总结正确利用两向量垂直的充要条件是构造关于t的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0.评析评析本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用1.(2016四川理,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|=|=|,=-2,动点P,M满足|=1,=,则|2的最大值是()A.B.C.D.DADBDCD

35、ADBDBDCDCDAAPPMMCBM434494376 34372 334答案答案B由|=|=|及=DBCA,DCAB,DACB,且ADC=ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设|=a,则a2cos120=-2a=2AC=2OC=3,如图建立平面直角坐标系xOy,则A(-,0),B(,0),C(0,3).由=P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|AP|=1(x+)2+y2=1,DADBDCDADBDBDCDCDADA333PMMC3令则即P(sin-,cos),M,|2=(sin-3)2+(3+cos)23sin ,cos ,xysin3,cos ,xy3sin3 3

36、cos,22BM143=37-(6sin-6cos)=(37+12)=.|2的最大值为.143143712sin614494BM4942.(2016浙江理,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|ae|+|be|,则ab的最大值是.6答案答案12解析解析对任意单位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b|,当且仅当a+b与e共线时,等号成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab,即ab的最大值为.661212考点一数量积的定义及模、夹角运算考点一数量积的定义及模、夹角运算三年模拟A A组组 20172019 2

37、0172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2019天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.2 234234答案答案A(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=3|a|2-2|b|2-ab=3|a|2-2|b|2-|a|b|cos=|b|2-2|b|2-|b|2cos=|b|2-|b|2cos=0,cos=,=,故选A.832 23232 232242.(2018天津南开三模理)ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+,且|=|,则向量在方向上的投影为()A.B.C.-D.-AOA

38、BACAOABABBC12323212答案答案D由ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+,且|=|,可得O为斜边BC的中点,BAC=90,ABC=60,|=|=1,则向量在方向上的投影为|cos120=1=-,故选D.AOABACAOABAOABABBCAB1212评析评析本题考查向量的投影的求法,注意运用中点向量表示以及直角三角形的判定和性质,属于基础题.3.(2018天津部分区二模文)已知向量与的夹角为120,|=5,|=2,若=+,且=-6,则实数的值为()A.-B.C.-D.ABACABACAPABACAPBC1212110110答案答案B=120,|=5,|=2,=+,=(+)(

39、-)=-+(-1)|cos120+=-25-5(-1)+4=-6,解得=.故选B.ABACABACAPABACAPBCABACACAB2ABABAC2AC12思路分析思路分析根据条件:=120,|=5,|=2,=+,即可得到=(+)(-)=-6,进行数量积的运算即可求出.ABACABACAPABACAPBCABACACAB4.(2018天津南开中学第三次月考,12)已知向量a与b的夹角为60,若a=(0,2),|b|=1,则|a+2b|=.答案答案23解析解析|a|=2,|b|=1,向量a与b的夹角为60,ab=|a|b|cos60=21cos60=1,|a+2b|=2.2(2 )ab2244

40、aa bb 2224 1 4 1 35.(2017天津南开三模,11)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,(a+b)a,则向量a,b的夹角为.3答案答案56解析解析(a+b)a,|a|=,|b|=2,(a+b)a=a2+ab=a2+|a|b|cos=3+2cos=0,cos=-,向量a,b的夹角的范围为0,向量a,b的夹角为.3332561.(2018南开中学月考文)直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,对角线AC与BD交于点M,点E和F分别在线段AM和BM上,且=,=(1-),若=,则的值为()A.B.C.D.AEAMBFBMDECF3414341535答

41、案答案B建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(1,2),设M(x,y),联立解得M,由=,解得=+=(-1,0)+=,由=(1-),得=+=(-2,0)+=,=,2 ,2,yxxy2 4,3 3AEAMDEDAAE24,233221,33BFBMCFCBBF2244,33334244,3333DECF34考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用+=,即162-40+21=0,解得=或=,由点E和F分别在线段AM和BM上知,01,=.故选B.213423323443334347434评析评析本题考查了平面向量的数量积应用问题,也考查了计算与转化能力,是中

42、档题.2.(2019天津部分区期末理)如图,圆O是边长为4的正方形ABCD的内切圆,PQR是圆O的内接正三角形,当PQR绕着圆心O旋转时,的最大值是()A.2+4B.1+2C.-1+2D.-2+4AQOR2222答案答案D建立平面直角坐标系如图所示,则点A(-2,2),O(0,0),设点R(2cos,2sin),则点Q,222cos,2sin33=,=(2cos,2sin),所以=2cos+2sin-22sin=4coscos+4sinsin-4sin+4cos=4cos-4sinAQ222cos2,2sin233ORAQOR22cos232323232324=4cos-4sin=-2-4si

43、n,所以的最大值为4-2.232424AQOR23.(2019天津七校联考理)在梯形ABCD中,ABCD,AB=BC=2,CD=1,BCD=120,P,Q分别为线段BC和CD上的动点,且=,=,则的最大值为.BPBCDQ16DCAPBQ答案答案76解析解析=,=,=(+)(+)=(+)=+=22cos120+21(-1)+22+21=5+-,易知1,BPBCDQ16DCAPBQABBPBCCQABBC616BCCDABBC616ABCD2BC1 66CBCD6161 66121325601,101,616设f()=5+-,则f()=5-,易知f()在上先减小再增大,132562131,16又f

44、=-,f(1)=,=1时,f()取得最大值,故答案为.1686767676思路分析思路分析根据平面向量的线性运算与数量积运算,求出的解析式,根据题意求出的取值范围,再利用导数求该解析式的最大值.APBQ评析评析本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,也考查了求函数在闭区间上的最值问题,是难题.4.(2018天津河北期末理)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD相交于点F,若AB=2,AD=,BAD=45,则的值为.2AFBE答案答案-12解析解析取FC的中点G,连接OG,则OGAF,E为OD中点,F为DG的中点,DF=DC,=(+)=(+)=(

45、-)=13AFBEADDF34BD13ADAB34BAAD3413ADABADAB34221233ADABAD AB=-,故答案为-.341222422332 1212评析评析此题考查了向量加减法,数量积等,难度不大.5.(2018天津一中第五次月考理)如图,在ABC中,已知BAC=,AB=2,AC=3,=2,=3,则=.3DCBDAEEDBEAC答案答案34解析解析在ABC中,=2,=3,=-=-=(+)-=-=-=(-)-=-,=-=-=,故答案为.DCBDAEEDBEAEAB34ADAB34ABBDAB34BD14AB3413BC14AB14ACAB14AB14AC12ABBEAC114

46、2ACABAC142AC12ABAC94643434思路分析思路分析根据题意,由向量的三角形法则可得=-,变形可得=-,进而由数量积的计算公式计算可得答案.BEAEABBE14AC12AB评析评析本题考查向量数量积的计算,涉及向量的加减运算,关键是掌握向量数量积的计算公式.6.(2018天津耀华中学二模)如图,在四边形ABCD中,ABBC,AB=6,BC=8,ACD是等边三角形,则的值为.ACBD答案答案14解析解析ABBC,AB=6,BC=8,AC=10,cosBAC=,又ACD是等边三角形,AD=AC=10,cosCAD=,=(-)=-=1010-106=14.故答案为14.2268351

47、2ACBDACADABACADACAB1235思路分析思路分析根据题意求得AD=AC以及cosCAD、cosBAC的值,利用平面向量的数量积求得的值.ACBD评析评析本题考查了平面向量数量积的运算问题,是中档题.B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间:45分钟分值:75分一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019天津和平二模理)在ABC中,AB=2AC=6,=,点P是ABC所在平面内一点,则当+取得最小值时,=()A.B.-C.9D.-9BABC2BA2PA2PB2PCAPBC272272答案答案D=|cosABC=|2,|cosABC

48、=|=6,即CAB=,以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),则+=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2,=3x2-12x+3y2-6y+45=3(x-2)2+(y-1)2+10,当x=2,y=1时,+取得最小值,此时=(2,1)(-6,3)=-9.故选D.BABCBABCBABCBACAAB22PA2PB2PC2PA2PB2PCAPBC2.(2019天津十二重点中学二模理)已知ABC为直角三角形,AC=BC=2,点D为斜边AB的中点,点P是线段CD上的动点,则的最小值为()A.-2B.-C.-D.0PAPB1412答案答案A根据题意,以

49、C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立坐标系,如图,则B(2,0),A(0,2),D为AB的中点,则D(1,1),点P是线段CD上的动点,设P(m,m)(0m1),则=(-m,2-m),=(2-m,-m),=(-m)(2-m)+(2-m)(-m)=2m2-4m=2(m-1)2-2,又0m1,当m=1时,取得最小值-2,故选A.PAPBPAPBPAPB思路分析思路分析根据题意,建立坐标系,求出A、B、D的坐标,设P(m,m)(0m1),求出向量、的坐标,由数量积的计算公式可得=2m2-4m,结合二次函数的性质分析可得答案.PAPBPAPB评析评析本题考查向量数量积的计算,涉及向

50、量的坐标计算,属于基础题,3.(2019天津河西二模理)在平行四边形ABCD中,|=2,|=4,ABC=60,E,F分别是BC,CD的中点,DE与AF交于H,则的值为()A.12B.16C.D.ADCDAHDE125165答案答案C过点F作BC的平行线交DE于G,则G是DE的中点,且GF=EC=BC,GF=AD,又AHDGHF,FH=AH,=,又=+=+=-,=-,又=+=-,12141414AH45AFAFADDFBC12ABBC12BAAH45AF45BC25BADEDCCEBA12BC=-=16-42-4=-=,AHDE4255BCBA12BABC252BA35BABC252BC2535

51、122532512585125故选C.4.(2019天津河西一模理)梯形ABCD中,ABCD且AB=5,AD=2DC=4,E在线段BC上,=0,则的最小值为()A.B.C.15D.-ACBDAEDE151395131513答案答案B梯形ABCD中,ABCD,则向量与的夹角和向量与的夹角相等,不妨设为.由=0可知,(+)(-)=0,整理得16-20cos+8cos-10=0,解得cos=,=60,即DAB=60,过点D向AB作垂线,垂足为O,建立如图所示的直角坐标系,则A(-2,0),B(3,0),D(0,2),C(2,2),设=(-,2)(01),则E(3-,2).ADABADDCACBDAD

52、DCADAB1233BEBC33=(5-,2),=(3-,2(-1).=(5-)(3-)+12(-1)=132-20+15,又01,当=时,取得最小值.AE3DE3AEDE10139513思路分析思路分析先利用=0求出DAB的度数,然后建立直角坐标系,确定一些必要点的坐标,用平面向量数量积的坐标表示建立函数关系,求出的最小值.ACBDAEDE二、填空题(每小题5分,共55分)5.(2019天津模拟)平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,点P是MD的中点.若|=2,|=1,DAB=60,则=.ABADAPCP答案答案-2516解析解析=(+),点P是MD的中点,=(+)=+,=-=-(+)=

53、-,=-4+21+1=-.AM12AC12ABADAP12AMAD14AB34ADCPAPAC1344ABADABAD34AB14ADAPCP1344ABAD3144ABAD3161016123162516评析评析本题考查向量数量积的计算,涉及向量加法的三角形法则,属于基础题.6.(2019天津十二重点中学二模文)在梯形ABCD中,ABCD,AB=BC=2,CD=1,M是线段BC上的动点,若=-3,则的取值范围是.BDAMBABC答案答案1,10解析解析设=(01),则=(+)(+)=(-)=4+-2=-3,所以=-8,又因为01,所以1,10,故答案为1,10.BMBCBDAMBCCDABB

54、M12BCBABCBA22BCBABABC282182BABC评析评析本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属中档题.7.(2019天津河东二模理)如图,已知|=|=|,AB=2,ABC=135,=2,则=.OAOBOCOAOBOBOC答案答案23解析解析因为|=2,所以|-|=2,即+-2=4,又|=|,=2,所以|=|=|=2,所以ABO=60,又ABC=135,所以OBC=OCB=75,所以BOC=30,所以=|cos30=2,故答案为2.ABOBOA2OB2OAOAOBOAOBOAOBOAOBOCOBOCOBOC338.(2019天津十二重点中学一模文)在梯形ABCD中,ABCD,A

55、B=2CD=2,BAD=,若=2,=,点F为边BC上的动点,则的取值范围为.3BABDCEEDFEFA答案答案1,14解析解析=,E为CD的中点,过D作DMAB,垂足为M,则=ABBDcosABD=2BDcosABD=2,BDcosABD=1,即BM=1,M为AB的中点.又BMCD,BM=CD=1,DMAB,四边形MBCD是矩形.BAD=,AM=AB=1,DM=,如图,建立平面直角坐标系,则E,A(-1,),设F(1,m),0m,CEEDBABD31231,0233=,=(-2,-m),=m2-m+1=+,FE1,2mFA3FEFA3232m14当m=时,取得最小值,当m=0或m=时,取得最大

56、值1.故答案为.32FEFA143FEFA1,14评析评析本题考查了平面向量的数量积运算,属于中档题.9.(2019天津部分区一模文)在ABC中,D为AB的中点,点O满足=2,OAOB,若AB=10,则=.COODACBC答案答案200解析解析如图,以D为原点,以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0),设C(x,y)由题意可知O,=,=,OAOB,=-25+=0,x2+y2=225,=(x+5,y),=(x-5,y),=x2+y2-25=200.11,33xyOA115,33xy OB115,33xyOAOB29x29yACBCACBC评析评析本题主要考查了平面向量

57、数量积的坐标表示的应用,属于基础题.10.(2019天津部分区一模理)已知菱形ABCD的边长为2,ABC=60,点E,F分别在边AD,DC上,=(+),=,则=.BE12BABDDF13DCBEBF答案答案223解析解析由=(+),=,可得点E为线段AD的中点,点F为线段DC上靠近点D的三等分点,由菱形ABCD的边长为2,ABC=60,得|=2,ABD=30,=(+)=-+=12-4+22=,故答案为.BE12BABDDF13DCBD3BEBF12BABD13BDBA122BD162BA13BABD12161333222322311.(2019天津河北一模文)在ABC中,AB=4,BC=6,ABC=,D是AC的中点,E在BC上,且AEBD,则=.2AEBC答案答案16解析解析以B为原点,BA、BC所在直线分别为x、y轴,建立直角坐标系,则A(4,0),B(0,0),C(0,6),因为D是AC的中点,所以D(2,3),所以=(2,3),设E(0,b),则=(-4,b),因为AEBD,所以=-8+3b=0,解得b=,又=(0,6),所以=0(-4)+6=1