2018浙教版九上3.4《圆周角》教案

1、3.4圆周角1.圆周角的定义圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的叫做圆周角。【注意】（1）圆周角必须具备两个特征：顶点在圆周上；除顶点外，角的两边分别与圆还有另一个交点，不能仅从顶点是否在圆上来判断圆周角，如图1中的ABC是圆周角。例1 如图2所示，指出图中的圆周角。图22.圆周角定理及其证明（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【注意】定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等圆心角的一半；不能丢掉“同一条弧所对的”这个条件而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”。【说明】圆的任意一条弧所对的圆心角只有一个，但圆的任意一条弧所对的圆周角从位置上看有无数个

2、，从数值上看只有一个。（2）定理证明：因为在中，同一条弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有（如图3所示）三种情况：圆心在圆周角的“一边上”“内部”“外部”，证明时应分三种情况进行讨论，在这三种情况下，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以圆周角的顶点为端点的直径作为辅助线。图3已知：如图3所示，在中，所对的圆周角是BAC，圆心角是BOC。求证：BAC=BOC。【说明】定理的证明方法叫做枚举法，它体现了两种数学思想：分类讨论思想和由特殊到一般的思想；因为圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。例2 如图

3、4所示，AB为半圆O的直径，OCAB，OD平分BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则AEO的度数是 。图4例3 如图5所示，在中，ACB=34°，则AOB的度数是（ ）A、17° B、34° C、56° D、68°图5 图6例4 如图6所示，在中，弦AB、CD相交于点P，若A=30°，APD=70°，则B等于（ ）A、30° B、35° C、40° D、50°3.圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。【说明】在解题过程中，

4、一般情况下，当条件中有直径时，往往作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件。如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。该推论也是证明弦是直径常用的方法。推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。【说明】（1）推论2主要有两大作用，一是用来证明角相等，从而进一步证明两个三角形相似或全等；二是角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求；（2）不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况，一般情况下两个圆周角不相等，如图7中的1与2. （3）“相等的圆周角所对

5、的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这一前提条件，结论不成立。如图7中虽BND=AMC，但与不相等。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【说明】推论的实质是直角三角形的斜边中线等于斜边的一般的逆定理。例5 如图8所示，AB是的直径，C是上的一点，若AC=8，AB=10，ODBC于点D，则BD的长为（ ）A、1.5 B、3 C、5 D、64.在圆中，计算有关弦所对的弧的度数时要考虑两种情况圆的任意一条弦均把圆周角分成两条弧，弦若不是直径时，这两条弧的度数是不相等的。故圆内任意一条弦所对的圆周角从位置上看有两个，分别位于弦的两侧；则会两个圆周角之和等于180°，如图9中的C和D，且C+D=180°。例：点A、B、C在半径为2cm的上，若BC=cm，求A的度数。图9例6 若O为ABC的外心，且BOC=60°，则BAC= 。5.圆周角在生活中的应用日常生活中，有很多物品设计成圆形，而很多有关圆的问题用圆周角的知识来解决都很方便。例如：现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）。请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤。例7 已知如图10表示一个暗礁区，它的边缘是以AB为弦的