相似存在性问题

1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流相似存在性问题.精品文档. 相似存在性问题解析相似存在性问题分析思路（1）定方向：直角三角形相似；等腰三角形相似；一般三角形相似（2）定分类： 结合已知选用恰当的分类方法进行分类。（SSS、SAS、AA）（3）定解法：（1）无角相似；恰当的选择相似三角形对应边的比建立方程求解（2）有角解直；出现特殊角度的可以考虑解直角三角形。（4）定结果：将结果汇总。模型一：直角三角形相似问题例1：如图，矩形在平面直角坐标系中位置， ，直线与边相交于点（1）求点的坐标；（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点

2、，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标 yOCDB6AxAMP1P2分析：（1）定方向：OCD是两条直角边分别为3和4的直角三角形。则为直角三角形的相似问题。（2）定分类：如上图，POM与RtOCD已经有一对内错角PMO=COD。所以POM只要还有一个直角就可以利用AA判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：OPM=90°和POM=90°（3）定解法：求P点坐标，横坐标为3，只需要求纵坐标。由于是RtPOM斜边的一部分。所以利用直角边和斜边对应成比例建立方程求解。（4）定结论：两种情况汇总。解：（1）点的坐标为 （2）抛物线的表达式为 （3）情形

3、一：当OPM=90°时，易证：抛物线的对称轴，点的坐标为 yOCDB6AxAMP1P2情形二：当POM=90°时，由可得：则设则；OD=5，OC=3，CD=4RtDOC；解之：点的坐标为，RtODC；解之：综上所述：，练习1：已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；答案：（1）（2）点在第四象限， EDBCOA点在第四象限，综上所述：；点睛：若去掉“点在第四象限”这个条件，则还有两种情况，它们都位于x轴的上方。可以利用对称性求解

4、更为简洁。例2：如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；分析：（1）定方向：OAC是两条直角边分别为2和4的直角三角形。则为直角三角形的相似问题。（2）定分类：OAC是一个直角三角形。只要夹直角的两条对应边成比例就可以利用SAS判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：PM长边、AM短边和PM短边、AM长边。但是由于P点位置不确定，所以P点又有三种情况，如下图。所以共有6种情况。（3）定解法：求P点坐标，由于PM和AM易于表示且是RtP

5、AM两条直角边。所以利用两条直角边对应成比例建立方程求解。（4）定结论：两种情况汇总。解：（1）（2）存在设情形一：当时，；AO=4；OC=2。 若PMACOA 若PMAOCA则情形二：当时，；AO=4；OC=2。 若PMACOA 若PMAOCA则情形三：当时，；AO=4；OC=2。 若PMACOA 若PMAOCA则综上所述：、练习2：如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C过点A作APCB交抛物线于点P（1）求A、B、C三点的坐标CPByA（2）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由

6、分析：GMCByPAGMCByPA答案：（1）A B C（2）存在，M点的坐标为，模型二：等腰三角形相似问题例3：如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使EAB与ABC相似？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由分析：（1）定方向：ABC是等腰三角形。则为等腰三角形的相似问题。（2）定分类：OAC是一个直角三角形。只要夹直角的两条对应边成比例就可以利用SAS判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：PM长边、AM短边和PM短边、AM长边。但是由于P点位置不确定，所以P点

7、又有三种情况，如下图。所以共有6种情况。（3）定解法：求P点坐标，由于PM和AM易于表示且是RtPAM两条直角边。所以利用两条直角边对应成比例建立方程求解。（4）定结论：两种情况汇总。解：（1）y=(x-4)2（2）由（1）得：A(1，0)，B(7，0) ，C(4，)易证：AC=BC,且ACB=120°。情形一：AB为腰：以A为圆心，AB为半径构造BEAABC,则AE=AB=6，BAE=120o，在RtAEG中：AE=6，EAG=60o EG=3，AG=3，此时点E(-2，)， 经检验:E(-2，)都在抛物线上 情形二：AB为腰：以B为圆心，BA为半径构造BEACBA则BE=AB=6

8、，ABE=120o，在RtAEG中：BE=6，EBG=60o EG=3，BG=3，点(10，)经检验:E(10，)都在抛物线上 情形三：AB为底：当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)，综上所述，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)点睛：由于E的坐标可能不在抛物线上，所以“经检验”必不可少。练习3：如图，抛物线与轴的交点为M、N直线与轴交于P(2，0)与y轴交于C，若A、B两点在直线上且AO=BO=，AOBOD为线段MN的中点。OH为RtOPC斜边上的高 (1)OH的长度等于 ；k= ，b= (2)是否存在实数a，使得抛物线上有一点F满足以D、N、E为顶点的三角形与AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式答案：OH=1,（2）AOB为等腰直角三角形。情形一：DN为腰：以D为圆心，DN为半径构造等腰直角EDNAOB,点E(2，3)则情形二：DN为底：以B为圆心，BA为半径构造等腰直角BEACBA点E(3.5，1.5)则综上所述，或例1：抛物线的图像如图所示，直线x=3与抛物线相交于点B，过原点O