202X届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3抛物线及其性质课件

1、10.3抛物线及其性质高考数学高考数学 (浙江专用)A A组自主命题组自主命题浙江卷题组浙江卷题组五年高考1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.| 1| 1BFAF22|1|1BFAF| 1| 1BFAF22|1|1BFAF答案答案A过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知=,故选A.BCFACFSS1| | sin21| | sin2CBCFBCFCACFBCF|CBCA|BN

2、AM| 1| 1BFAF2.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案答案9解析解析设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点M到y轴的距离为9.3.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点

3、A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-.所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,于是m=.2p24 ,1yxxsy212,tt221tt 212tt212tt2t2232,1ttt22ttm2222231ttttt2221tt 所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的

4、横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).思路分析思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果.评析评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.考点一抛物线的定义和标准方程考点一抛物线的定义和标准方程B B组统一命题、省（区、市）卷题组组统一命题、省（区、市）卷题组1.(2017课标全国理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的

5、焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案答案6解析解析如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.方法总结方法总结当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用.思路分析思路分析过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过

6、双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案答案22解析解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-(p0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.2p2p22p223.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.解析解析本题主要考查抛物线、直线和圆的基本概念,重点考查直线与抛物线的位置关系,考查学生对数形结合思想的

7、应用以及逻辑推理能力,通过直线与抛物线的位置关系考查了数学运算的核心素养.(1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k0).由得x2+4kx-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,21,4ykxxy 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,直线OM的方程为y=x.令y=-1,得点A的横坐标xA=-.同理得点B的横坐标xB=-.11yx11xy22xy设点D(0,n),则=,=,=+(n+1)2=+(n+1)2=+

8、(n+1)2=-4+(n+1)2.令=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).DA11, 1xny DB22, 1xny DADB1212x xy y12221244x xxx1216x xDADB1.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.825考点二抛物线的几何性质考点二抛物线的几何性质答案答案B不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|O

9、D|,得+8=+5,解得p=4.故选B.22(2 2)2p4p24p22p2.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案答案(1,0)解析解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2),B(1,-2),故|AB|=4=4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).aaa3.(2018课标全国理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB

10、=90,则k=.答案答案2解析解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=+1,设A,B,将直线方程与抛物线方程联立得整理得y2-y-4=0,从而得y1+y2=,y1y2=-4.M(-1,1),AMB=90,=0,即+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则-得-=4(x2-x1),从而k=.yk111,yyk221,yyk21,4 ,yxkyx4k4kMAMB12yk22yk2112224 ,4,yxyx22y21y2121yyxx124y

11、y设AB的中点为M,连接MM.直线AB过抛物线y2=4x的焦点,以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切.M(-1,1),AMB=90,点M在准线l:x=-1上,同时在M上,准线l是M的切线,切点为M,且MMl,即MM与x轴平行,点M的纵坐标为1,即=1y1+y2=2,故k=2.122yy124yy42疑难突破疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.4.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程

12、,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.10,2解析解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.121,04141221,2ykxyx21kk214k因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的

13、坐标为.因为y1+-2x1=22yx2 112,y xxx2 12y xx122 11222y xy xx xx=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.122112211222kxxkxxx xx122121(22)()2kx xxxx22211(22)42kkkkx2 12y xx方法总结方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示易错警示在设直线方程时,若设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.考点一抛物线的定义和标准

14、方程考点一抛物线的定义和标准方程三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线y2=4ax的焦点坐标为()A.(a,0)或(-a,0)B.(a,0)C.(-a,0)D.(|a|,0)答案答案B当a0时,抛物线的焦点为(a,0),当a0)的焦点为F.若抛物线上存在点A,使得线段AF的中点的横坐标为1,则|AF|=.答案答案2解析解析解法一:设点A的坐标为(x,y),由题意得,+x=2,所以x=2-,因为抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离,所以|AF|=x+=2-+=2.解法二:过点

15、A作x轴的垂线,交x轴于点G,由题意得F,设A(x,y),因为线段AF的中点的横坐标为1,所以x=2-,所以|FG|=|2-p|,y2=2px=2p=4p-p2,所以|AF|2=|FG|2+y2=(2-p)2+4p-p2=4,则|AF|=2.2p2p2p2p2p,02p2p22p5.(2019浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M(-2,8),且|MF|=4.(1)求抛物线的方程;(2)设A,B是抛物线上的两点,当F为ABM的垂心时,求直线AB的方程.5解析解析(1)由题意得|MF|=4,解得p=4或p=-12(舍去),所以抛物线的方程为y2=8

16、x.(5分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为F是ABM的垂心,所以MFAB,所以kMFkAB=-1,故kAB=,(7分)所以设直线AB的方程为x=2y+n,与y2=8x联立得y2-16y-8n=0.令0,有n-8.y1+y2=16,y1y2=-8n.(10分)22642p512因为F是ABM的垂心,所以MAFB.即x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0,同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0,+得2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0.(13分)所以n2-8n-68=0,解得n=42,又因为n-8,所以直线AB的方程为x-2y-42=0.

17、(15分)21211.(2018浙江杭州二中期中,8)已知点A(4,4)在抛物线y2=2px(p0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为E,则EAF的平分线所在的直线方程为()A.2x+y-12=0B.x+2y-12=0C.2x-y-4=0D.x-2y+4=0考点二抛物线的几何性质考点二抛物线的几何性质答案答案D由题意知,所求直线即为在点A处的切线4y=4,即x-2y+4=0,故选D.42x2.(2019浙江金华十校高三上期末,17)已知点F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,点A在抛物线上,点B在抛物线的准线上,且A,B两点都在x轴的上方.若FAFB,tanFAB=,

18、则直线FA的斜率为.13答案答案34解析解析y2=2px(p0)的焦点为F,准线方程为x=-,如图,设A在x轴上的射影为N,准线与x轴的交点为M,02p2pFAFB,tanFAB=,可设|AF|=3t,|BF|=t,易得AFN=FBM,则sinAFN=sinFBM=,即有yA=3p,xA=p,|BFAF133Aytpt92则直线AF的斜率为=.故答案为.2AAypx 34pp3434解后反思解后反思本题考查抛物线的方程和性质,注意在直角三角形中,运用正弦和正切的定义解题,属于中档题.先求得抛物线的焦点坐标和准线方程,再在直角三角形中,运用正弦和正切的定义,求得A点的坐标,最后由斜率公式计算求得

19、直线FA的斜率.3.(2019浙江新高考调研模拟卷(五)(绍兴一中),21)已知抛物线C1的方程为y2=4x,直线x=-1上有一动点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B.(1)证明:直线AB过定点;(2)如果圆C2的方程为(x-2)2+y2=4,直线AB与圆C2交于C、D两点,求|AB|CD|的最小值.解析解析(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(-1,t),则kPA=,直线PA:y-y1=(x-x1),将P(-1,t)代入,得t-y1=(-1-x1),即ty1-=2(-1-x1).因为=4x1,所以2x1-ty1-2=0,同理有2x2-ty2-2=0,从而(x1,y

20、1),(x2,y2)是直线2x-ty-2=0上的两个点,所以直线2x-ty-2=0经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,即直线AB:2x-ty-2=0,所以直线AB过定点(1,0).(2)联立方程得y2-2ty-4=0,故=4t2+160,y1+y2=2t,y1y2=-4,|AB|=x1+x2+2=+2=+2=+2=t2+4,|CD|=2=2=2(d为圆心(2,0)到直线AB的距离),所以|AB|CD|=(t2+4)2=2=48,当且仅当t=0时取到等号,故|AB|CD|的最小值为8.12y12y12y21y21y24 ,220yxxty22124yy21212()24yyy y2484

21、t 24d22244t224124tt224124tt22(412) (4)tt22(3) (4)tt334.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,21)如图,已知直线PA,PB与抛物线x2=4y分别相切于点A,B.(1)若点P在直线y=-1上,求证:直线AB过定点;(2)若点P是半椭圆+=1(y0,即b-2,由根与系数的关系得y1+y2=-8,y1y2=-8b,且x1+x2=4b-2(y1+y2)=4b+16,x1x2=4b2.(1)令A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,(x1-1)(x2-1)+=0,x1x2-(x1+x2)+b2+1=0,则

22、4b2-12b-15=0,b=,24 ,12yxyxb 212()16y y112xb212xb5412b32 62故直线l的方程为y=-x+.(2)由弦长公式得|AB|=,设点M到直线AB的距离为d,则由点到直线的距离公式得d=,SMAB=2|1+2b|(b0),1232 6256432b|21|5b22b令f(b)=(2+b)(1+2b)2(-2b1),直线AP与x轴相交于点Q,记PAB,QAB的面积分别是S1,S2.(1)若APPB,求点P的纵坐标;(2)求S1-5S2的最小值.解析解析(1)因为kAP=,kBP=.由APBP,得kAPkBP=-1,即y2-y-1=0,得y=或y=(舍去

23、).(2)解法一:设直线AP:y-1=k(x-1),则Q,由y1,知0k1),则kAP=,所以直线AQ:y-1=(x-1),则Q(-t,0).又直线AB:x+y-2=0,|AB|=3.则点P到直线AB的距离d1=,点Q到直线AB的距离d2=,所以S1-5S2=|AB|(d1-5d2)=(t-2)2-24.故当t=2时,S1-5S2有最小值-24.1252121222212511kkkkk23(1)1kk32212kk5k3222761kkk32213k1311t 11t 22|2|2tt 222tt |2|2t 22t 123 222251022ttt 329.(2019浙江嵊州高三上期末,2

24、1)已知抛物线y2=2x,P(1,0),M(0,a),其中a0,过点M作抛物线的切线,切点为A(不同于原点O),过点A、P作直线交抛物线于点B,过点M、P作直线交抛物线于点C、D.(1)直线MA、MP的斜率之积为定值;(2)若BCD的面积为,求实数a的值.2716解析解析(1)证法一:设A(2m2,2m)(m0),则kAM=,所以直线AM:y=x+a,即x=(y-a),(1分)与抛物线方程联立得y2-y+=0,(3分)因为直线AM与抛物线相切,所以=-=0,解得m=a,(5分)所以A(2a2,2a),所以kMAkMP=-,为定值.(7分)证法二:把抛物线的标准方程化为x=y2,则x=y,设A(2m2,2m)(m0),(1分)则=2m,所以kAM=,化简得m=a,所以A(2a2,2a),(5分)所以kMAkMP=-,为定值.(7分)(2)易得kCD=kMP=-a,所以直线CD:y=-ax+a,即x=-y+1,222mam222mam222mma242mma242m ama4216(2)mma2162m ama2220aaa00 1a12121AMk12m222mam2220aaa00