物理奥林匹亚竞赛试题与解答

1、、解:(a)設桶內液面的截面積為 A,其下降的速率為 則由流體的連續方程式可知V桶邊洞口的截面積為a水噴出的速率為v.a ： ： A取地面的重力位能為零，應用白努利定律:1P / 川：gh = const，可得2Po 0 ；-gH =Po 1g H -y = v = 2gy水自洞口噴出後，到落抵地面的時間為t - 2(H y)/g所以水噴出的射程為 1 2 2x =vt =2、y(H -y) =2. (H/2) -(H/2-y)由上式可知當y = H/2時，射程最遠(b)假设洞口開在水面下深度為y處則由(a)題的結果，可得v = .2gy上式可改寫為水自洞口噴出後，到落抵地面的時間為t 二 2

2、(H h-y)/g所以水噴出的射程為x = vt = 2. y(H h - y)=2U J,2 2 y單從數學式來看，當y = (H+h)/2時，射程最遠續接下頁上式的函數曲線如下圖:依桶底面離地高度h的大小可分成三種情況討論: 假设h < H，則(H+h)/2 < H，即能噴水最遠的洞口在桶底面的上方。 在上圖中，y = H落在y = (H+h)/2的右邊，其對應的水射程不是最遠的假设h = H，則(H+h)/2 = H，即剛好開在桶底面的洞口，可噴水最遠。 在上圖中，y = H剛好落在y = (H+h)/2的位置，其對應的水射程極大。假设h > H，則(H+h)/2 &g

3、t; H，即y = H落在y = (H+h)/2的左邊，從上圖左半部的單調上升曲 線可看出，從桶底面洞口 (y = H)所噴出的水，可射得最遠(相較於0<y<H時的射程)。結論：需把水桶底面提離地面的高度 h,大於桶內所裝水的深度 H，才可保證愈接近桶底面 的洞口所噴出的水，會射得愈遠。二、解：(a)小球和金屬板的受力情形，如下圖所示:fl設a和a2分別為小球和金屬板的加速度，則f1 = miam2f2上式中，f J2(mi m2)g ;又題設在金屬板抽 出時，小球滑動，所以fimmg。小和分 別為小球與金屬板之間和金屬板與桌面之間的摩擦係數。解和兩式，得a _叭_必m1 r 1

4、yF 41iri1g 馬(m1 +m?)g a2設Xi和X2分別為小球和金屬板滑動的距離,t為金屬板完全抽出所經歷的時間，則X = at2x1a1a2F -2(m1 m)2)gmUJg)X2(8)由(7)式解得F = 7mp 打® m)2)g 叫m)2g M丿在(8)式中，代入的數據：叫二J2=0.1，m)1= 1.0kg，m0.5kg，和 x10cmX1，得F =0.1 1.0kg 10m/s20.1 (0.5 1.0)kg 10m/s220.1 0.5kg 10m/ s0.1m1I X1丿代入x1=1.0mm=0.001m,可得F=53N。從上式可看出小球移動的距離 X1和水平作

5、用力F的大 小有關。假设F愈大，則X1就愈小。(b)設小球與金屬板分離瞬間之速度為 V1,小球與桌面的摩擦力為f3，在桌面的滑動距離為X312 12f1X1m1V1 ，滑動停止時，動能已完全消耗掉，所以mw二f3X3 ，即f3 X3= f1 X12 2又題設 f3= f1，所以 X3= X1，題目所求 x= X1+ X3=2 X1=2.0mm=0.002m、如圖三所示，所有未畫上斜線局部的外表皆視同無摩擦力的光滑面，假設重力加速度為10%2，叫=3kg和m3 = 1kg原靜止，叶=2kg以v0 =15叹 速度向右運動與m2發生完全彈性碰撞：計算碰撞後m與m2的個別速度。m2經碰撞後經一 ，37

6、0斜坡向上，叫=0.25, L 4m，h, = 4m，通過一個有固定向右的 風力F =15N的S=3m隧道後，來到 一=0.3，L 2.5m的粗糙面，隨後 下坡經一 h2 -3m，-、二0.4，L3m，斜度，=53°的坡道，最後被一彈力係數k =2000 N m的彈簧 阻擋停下，試問彈簧被壓縮多少長度？®如果mi與m3發生碰撞為完全非彈性碰撞亦即m和m3在碰撞後結合在一起，之後上到坡度 370，0.1，L =3m的斜坡道，試問上升的最高高度為何？註：假設所有斜面與平面的交接處質點的運動是平穩流暢的，370,530,9O0之三角形邊長比為 3:4:53705530900圖三參

7、考解:S =-3m/s負號表向左:v2 = 12 m s正號表向右m1v0 =叶比m2v2依12121m1v0m1v1m2v22 2 2由功能定理 Wnet = kf -ki1 2 =(m2gcos)L1Fwind S、2(m2g)L2丄3(m2g co s儿3- ?kx=x= 0.40m#gw = MV 二四、假設地球的重力加速度為10m/s2如圖四長度為7.5m，質量50 kg的均勻木條上，A端以 樞鈕固定，另一端用鋼纜與水平線呈 53°角懸掛住，下面吊著一籃食物質量 30 kg, 隻體重 150 kg的饑餓的熊走在木條上，想要去拿另一端的食物吃(註：把熊視為一質點，(370,530,900)之三角形邊長比為3:4:5)5530_.-'37090产4當熊走到離樞鈕A端2.5m時，鋼纜的張力有多大？此時樞鈕 A的反作用力為何？如果鋼纜的最大負荷力道為2000N熊可以吃得到食物嗎？請說明理由。如果不行，熊最遠 可走到何處？J!A>VJi2.5mx圖四參考解：由' .=0= T =1312.5NFa 二 Fxi? Fy?-E=787.5N由送F =0二Fy =1250N07 5由於 7.5TmaxSin53 : 7.5 mfgmwg 7.5 "4207 5熊吃不到 7.5Tma