刘占国《利息理论》习题解答

1、利息理论习题详解第一章 利息的基本概念1、解：（1）又（2）（3）2、解：3、解：4、解：（1）（2）5、证明：（1）（2）6、证明：（1）又（2）由于第5题结论成立，当取时有7、解：（1）由单利定义有（2）由复利定义有8、解：（1）有单利积累公式建立方程有解得（2）由复利积累公式建立方程有解得9、解：（1）以单利积累计算（2）以复利积累计算10、解：设在第n期等价于5%的实际利率有又解得11、解：设该款项的金额为有（1）在第三个月单利利息为：在第三个月复利利息为：（2）在第六个月单利利息为：在第六个月复利利息为：12、解：设原始金额为有解得13、证明：（1）令有，又，即在是单调减函数，因此有

2、当时有，命题得证。（2）若有：，故命题得证。（3）由（1）知，当时有，所以，为单调增函数，所以当时有，命题得证。14、证明：设利率是i，则n个时期前的1元钱的当前值为，n个时期后的1元钱的当前值为又，当且仅当，等号成立。那么当和时命题成立。15、解：又16、解：（1）对于复利，所以（2）对于单利17、解：（1）对于复利所以（2）对于单利18、解：表示-1期取到的贴现金额，表示0期单位金额在-1期的现值，同理表示-时期取到的贴现金额，表示0期单位金额在-期的现值。和分别表示在0时刻投入单位金额在期和1期时获得的利息金额，和分别表示在0时刻投入单位金额在期和1期时获得的积累值。19、解：（1）（2

3、）20、解：（1），所以m=30（2），所以和（1）有类似的解答m=30。21、解：则有，又，即在是单调增函数，即，故有同前分析可知为单调减函数又，有，所以在是单调增函数，那么，即。类似构造函数可证明。综上所述有。22、解：，23、证明：（1）又，（2），由第5题结论得24、解：，25、解：设常数实际利率为i有解得26、解：（1），（2），（3），（4），27、解：（1），（2），故类似（1），将在i=0处泰勒展开有（3），故将在i=0处泰勒展开有（4），故将在处泰勒展开有（5），故将在d=0处泰勒展开有28、证明：，又，其中，原命题得证。29、解：，30、解：31、解：（1）1997年7月1

4、日到1999年7月1日实际经历了365×2=730天，1999年7月1日到1999年12月20实际经历了31+31+30+31+30+20=173天。共经历730+142=903天。（2）360×（1999-1997）+30×（12-7）+（20-1）=720+150+19=889天（3）按银行家法则计算的天数与实际计算天数一样是903天。32、解：（1）投资天数：25+31+31+8=95投资所得利息：10000×0.1×95/365=260.27397（2）投资天数：25+30+30+8=93投资所得利息：10000×0.1

5、15;93/360=258.33333（3）投资天数：25+31+31+8=95投资所得利息：10000×0.1×95/360=263.8888933、解：=0.025又34、解：35、解：，解得t=1.4328年36、解：设第十年末未付金额为x，有又解得x=657.837537、解：解得v=0.83333代v入求得X=1359.8438、解：39、解：故令有又因t>0,故T=0.414240、解：，解得j=0.07346541、解：，有42、解：43、解：解得i=0.05812744、解：，解得v=0.8711145、解：，解得i=0.12546、解：，又因47、解

6、：，解得j=0.148、解：解得i=0.05494149、解：，解得k=0.073303350、解：，解得j=0.044386651、解：，解得j=0.07910652、解：，解得i=0.73027453、解：，解得j=0.0756375第二章 年金1、 证明：，即原命题得证。2、 解：3、 证明：原命题得证。4、 解：实际月利率为，5、 解：，又，可得6、 解：，解得即，解得i=0.082997、 解：X取得的存款为：8、 解：，解得R=12968.719、 解：，解得R=15187.4810、 证明：，又，原命题得证。11、 证明：，原命题得证。12、 解：，代入解得K=1800.13、

7、解：，表示第一个10年期末投资1元的现值，表示第二个10年期末投资1元的现值，表示第三个10年期末投资1元的现值。总结起来就是连续30年期末投资1元的现值。14、 解：，解得15、 解：，16、 解：依题意得：，最接近，所以取n=9，领头差为2000-50×10.80211-50×26.85508=32.4117、 解：月利率为0.096/12=0.008，解得n=95.6取整数n=95，又，解得f=965.7518、 证明：所以将f（i）在i=0处泰勒展开有19、 解：设每年计息2次的名义利率为，依题意得：，查表有当时，；当时，所以，所以20、 解：21、 解：22、 解

8、：设第i期的存款本利和为，依题意得：又，23、 解：前6年为i=0.04的期末付款年金，后4年为付款频率低于计息频率年金，其中n=16，k=4，年金现值表示为。所以总年金现值为。24、 解：设第一次存款额为x，依题意得：该存款可以看作是两笔间隔期为1年的存款总和，第一笔是从1988年1月1日起存入，之后每年1月1日相继存入的存款；第二笔是从1988年7月1日起存入，之后每年7月1日相继存入的存款。第一笔年金存款额为，第二笔年金存款额为计算这两笔年金的利率为，故根据付款额成等比数列关系的年金公式知第一笔年金积累值可表示为，其中n=11。第二笔年金积累值可表示为，所以，解得x=166.75625、

9、 解：，又代入得，解得n=16.867。又，由拉格朗日定理知道，所以，解得26、 解：，解得i=0.04。27、 解：，解得i=0.06。28、 解：设3年的实际利率为j，有，又，解得i=0.195。29、 解：，又，即30、 解：，即31、 解：，32、 解：，又，即33、 证明：由第一章21题结论可知，所以，同理可证，故原命题得证。34、 解：，两式相乘有，解得：（舍去负值）35、 解：前n年的年金现值是，n年后永续年金的现值是，所以有36、 解：，即，解得i=0.062995537、 解：原每年末支付1元的年金现值为，第二年开始每隔2年多支付1元的年金现值为，所以总年金现值为38、 解：

10、，又，39、 解：，代入有又，40、 解：，41、 解：因为第六、第七次付款现值相等，所以有，即。由首期付款为P，以后每期比前一期增加Q的期末付永续年金公式有，这里P=1，Q=2，。所以42、 解：该存款可分为两部分，第一部分每年年初存1000元，共存5年；第二部分从第6年起存1000×（1+0.05）=1050元，之后每年递增5%，共存5年。第一部分积累值为，第二部分的积累值为，所以。43、 证明：44、 证明：，又，即，原命题得证。45、 解：，解得K=260646、 解：由付款频率高于计息频率的年金公式知，解得R=472.05714。又，解得，所以。47、 解：48、 解：，4

11、9、 解：（1）（2）50、解：，有，第三章 收益率1、 解：，解得v=，所以i=2、 解：3、 解：，解得，所以i=0.19764、 解：，解得v=0.95238或v=0.97087，所以i=0.05或i=0.03。5、 解：，又，6、 解：，又，即，解得v=0.92，所以i=0.086887、 解：设股票年收入价格为P，依题意得，解得v=0.8929，所以i=0.119958、 解：，解得k=0.141179、 证明：设每年投资款项为R，有，即10、 证明：11、 解：，解得i=0.061612、 解：，解得i=0.115，乙的投资本利和为13、 解：，14、 解：，其中，15、 解：，即

12、，16、 解：，解得j=0.0443817、 解：解得k=979.9218、 解：，当资金收入的平均时间为时，19、 解：（1），（2），20、 解：，又，解得i=0.04521、 解：同理可求得，22、 解：，所以选择第一种付款方式23、 解：，解得i=0.29524、 解：由题意有方程组，解方程组后得25、 解：，A=273000，B=372000，I=1800，代入有k=0.66667所以12×0.66667=8个月，投入或收回净资金的时间是9月1日。26、 解：以1990年首次付款为例有一年后的两年期远期利率满足，解得f=0.0815三年后的两年期远期利率满足，解得f=0.0

13、8627、 略第四章 债务偿还1、 解：用过去法有2、 解：一次性还款利息为，均衡还款的利息为，所以，解得X=7003、 解：设最初贷款额为X，有，解得X=165144、 解：年利率为i，每年还款中本金部分为，则，同理当年利率为2i时，有等式，解方程组得i=0.0695、 解：（1） 过去法：（2） 未来法：6、 证明：，（1）（2），这里因为贷款余额越来越小，所以，即有7、解：本问题属于有n=10个计息期，每个计息期偿还贷款m=12次问题。第40次还款的贷款余额为8、解：9、解：设在第k次还款时利息部分与本金部分最接近，有，即，解得k=12.96，取整数有k=13。10、解：，由解得，11、

14、解：，所以最后5次还款中的本金部分为，代入得12、证明：因为在第7次还款时额外还了第8次的本金，那么第8次还款就不需要，这样就省掉了第8次需要还的利息，以后的还款继续从第9次开始，所以总共节省了利息。13、解：解方程组有P=144，v=0.9057，14、解：设L、N的贷款总额为B，L每次还款额为，N每次还本金，当成立时有，取整数有t=1315、解：按还款额成等比数列的公式有，其中，解得P=493.8516、解：没半年还款一次，总共还款10次，所以第8次还款中本金部分为17、解：依题意得第3次还款中本金部分为3000-2000=1000，即，其中，代入解得，所以第6次还款中本金部分为18、解：

15、本问题是付款次数多于计息次数的问题，所以利息收入为19、解：设每月利息为j，则，所以每月还款额为，又，解得k=120。所以整个还款期利息支出为20、解：21、证明：，即22、证明：，所以第6次还款中利息值为23、解：（1）用过去法有（2）用（1）方法求得，所以第3次还款中的本金为24、解：，解得i=0.0425、解：26、证明：因为贷款余额用过去法和将来发计算得到的结果相等，即，27、解：因为每年还款余额呈线性关系由1减至0，所以第t年的贷款余额可以表示为。（1）前5年还款中本金部分为（2）前5年还款中利息部分为28、解：第13次付款中的净利息为，第9年偿债基本增长额为，两者之和为355.69+328.61=684.3029、解：每次偿还本金值为，第5次还款前的累积还款基本额为，所以第5次还款总数为30、解：（1）由于采用偿债基本，所以第11次还款中的利息为10000×0.1=1000（2）第11次还款中的本金为1500-1000=500（3）第11年的净利息支出为1000-5000×0.08=600（4）第11年的净本金支出额为1500-600=900（5）第11年末的偿债基金积累值为5000（1+0.08）+500=590031、证明：，32、解：，解得X=676.4333、解：设贷款额为X，依题意得，