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文档简介

1、第五章大数定律和中心极限定理§1 大数定律设X1,X2,.Xn,.是一随机变量列，a1,a2,.an,.是一常数列，令Yn= n=1,2,.,，所谓大数定律就是研究(Yn-an)收敛到0的定理。按收敛意义的不同，有弱大数定律和强大数定律。我们主要介绍弱大数定律，弱大数定律也称大数定律。契比雪夫不等式设R.V.X，其都存在，则对任意均有或一、大数定律定理5.1:(契比雪夫大数定律）若X1,X2,.Xn,.相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，即E(X i)=mi,D(Xi)=si2£C(常数） i=1,2,.则对任意的e>0，均有PêYn-E(

2、Yn)ï<e=1 (5.1)其中Yn=定理5.2（伯努利大数定律）设伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，m为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则对任意的e>0，均有 (5.2)定理5.3 （辛钦大数定律）若X1,X2,.,Xn,.相互独立同分布，其数学期望存在，即E(Xi)=m,i=1,2,.，则对任意的e>0，均有 (5.3)例:设X1,X2,.,Xn,.独立同分布，且X i的k阶矩m k=E(X ik)存在（k为正整数），则对任意的e>0，均有二、中心极限定理定理5.4 (林德贝格-莱维定理）若X1,X2,.,Xn,.相互独立同分

3、布，其数学期望和方差均存在且方差大于零，即E(Xi)=m,D(Xi)=s2>0, i=1,2,.则的标准化随机变量的分布函数对于任意的x满足即的分布函数.当很大时近似公式.例:为了把问题简化，假定在计算机上进行加法计算时，对每个数都取最接近它的整数（即取整）再相加。设n个数取整之后的误差依此为它们相互独立，都在-0.5，0.5上服从均匀分布。求（1） 1200个数相加时，误差总和的绝对值小于10的概率。（2） 多少个数相加时，误差总和的绝对值小于15的概率大于0.9。定理5.5:（德莫佛-拉普拉斯积分极限定理）设伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，m为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则对任意的x,均有应用：当n充分大，.例:有一大批种子其中良种占20%，从中任取5000粒，试问这些种子中良种所占比例与（即20%）之差小于0.01的概率。注：* 可认为是有放回抽取。例.设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦).因检修等原因,每台机床平均只有60%的时间在运转.试问,配电室至少要供给这个车间多少电.才能

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