初二下数学分式方程经典例题及练习汇编

1、初二数学分式方程专题一、考点、热点回忆分式方程：含分式,并且分母中含未知数的方程一一分式方程.解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程.解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根.解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根.增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根.(验根：把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但

2、对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验.)分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,那么整式方程的解是原分式方程的解；否那么,这个解不是原分式方程的解.列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)歹U;(4)解；(5)答.应用题有几种类型；根本公式是什么？根本上有四种：(1)行程问题：根本公式：路程=速度X时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题根本公式：工作量=工时x工效.(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水.v逆水=v静水-v水.即时知识梳理1 .分式方程：分母中含有的方程叫分式方

3、程.2 .解分式方程的一般步骤：(1)去分母,在方程的两边都乘以,约去分母,化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根,把整式方程的根代入,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.(验根的方法：将所求得的未知数的知数的值代入)3 .列方程解决实际问题的步骤(D(2)(3)(4)(5)找出检验：是否是原方程的根；这个根在实际问题中是否有实际意义;典型例题题型一：分式方程题型例1解以下分式方程x+34-x；*=1；x-1(3)(4)6y122y-422.y-4y4y-4例2、Ex1解万程x2练习:x5x6x7x4(2)12X032x-3424x-2316X9+-+4x-3

4、89-87-45-(3)xx2x4x-；241-x1x1x1x,xT1x-k,【例2】1假设关于x的方程=工A有增根,x-x3x3x-3求增根和k的值2、m为何值时,关于x的方程2mx3-3.x-2x"4x2会产生增根?.2一_解：万程两边都乘以x一4,得2x+4+mx=3x-6整理,得m-1x=-10当m=1时,x=-m-1如果方程产生增根,那么x24=0,即x=2或x=2(1)假设x=2,那么0-=2二m=Mm-1一一,10(2)假设x=2,M-=2,m=6m-1(3)综上所述,当m=-4或6时,原方程产生增根说明：分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根2xmTx1、练习：1

5、.假设解分式方程=广生增根,那么m的值是()x1xxxA.-1或-2B.-1或2C.1或2D,1或-2分析：分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值.由题意得增根是：22乂=0或乂=一1,化简原万程为：2x(m+1)=(x+1),把x=0或x=-1代入解得m=1或-2,应选择D.【例3】1、当k为何值时,关于x的方程"3=k+1的解为非负数.x2(x-1)(x2)2、假设分式方程汾的解是正数'求a的取值范围2a1【例4】1、关于x的分式万程一a=a无解,试求a的值.x-12、假设关于的x的分式方程20+上mx=1无解,求m的值x-11-x【例5】列分式方程解应用题：为响应

6、承办“绿色奥运的号召,九年级1班全体师生义务植树300棵.由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨,实际工作效率提升为原方案的1.2倍,结果提前20分钟完成任务.请求原方案每小时植树多少棵？例6、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后,其平均价比原甲种原料每千克少3元,比乙种原料每千克多1元,问混合后的单价每千克是多少兀？分析：市场经济中,常遇到营销类应用性问题,与价格有关的是：单价、总价、平均价等,要了解它们的意义,建立它们之间的关系式.总价值价格数量甲2000元乙4800元混合X元解：设混合后的单价为每千克x元,那么甲种原料的单价为每千克x+3元,混合后

7、的总价值为2000+4800元,混合后的重量为2000.4800斤,甲种原料的重量为型00,乙xx3种原料的重量为丝00,依题意,得:x-12000480020004800+=,解得x=17,x3x-1x经检验,x=17是原方程的根,所以x=17.即混合后的单价为每千克17元.评析：营销类应用性问题,涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念,要结合实际问题对它们表述的意义有所了解,同时,要掌握好根本公式,巧妙建立关系式.随着市场经济体制的建立,这类问题具有较强的时代气息,因而成为中考常考不衰的热点问题.练习A、B两位采购员同去一家饲料公司购置同一种饲料两次,两次饲料的价格有变

8、化,但两位采购员的购货方式不同.其中,采购员A每次购置1000千克,采购员B每次用去800元,而不管购置饲料多少,问选用谁的购货方式合算？解：两次购置的饲料单价分别为每1千克m元和n元m>0,n>0,mwn,依题意,得：1000+1000+为采购员A两次购置饲料的平均单价为二元/千克,1000+100028004-800_2mn采购员b两次购置饲料的平均单价为800800-冽+线元/千克.mn而2m+n2邮+冲>0.也就是说,采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价,所以选用采购员B的购置方式合算.例5、某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共87

9、00元,乙、丙两2队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共9500兀,甲、丙两队合做5天完成全部工程的-,3厂家需付甲、丙两队共5500元.求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？假设工期要求不超过15天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.分析：这是一道联系实际生活的工程应用题,涉及工期和工钱两种未知量.对于工期,一般情况下把整个工作量看成1,设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天,y天,z天,可列出分式方程组.解：设甲队单独做需x天完成,乙队单独做需y天完成,丙队单独做需z天完成,依题意可得:116十一二1,xy11110十=1,yz得1+-1.1GX+

10、X+x6101111r一x1,得1=,即z=30,6z30_1r11r一X±,得'=,即x=10,10x10111r一X,得一=一,即y=15.5y15经检验,x=10,y=15,z=30是原方程组的解.设甲队做一天厂家需付a元,乙队做一天厂家需付b元,丙队做一天厂家需付c元,根据题意,得fe(a+b)=8700,k=800,«10(b+c)=9500,=<b=650,5(c+a)=5500.、c=300.由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队.此工程由甲队单独完成需花钱10a=8000元；此工程由乙队单独完成需花钱15b=9750元.所以,由甲队单

11、独完成此工程花钱最少.111评析：在求解时,把1,1分别看成一个整体,就可把分式方程组转化为整式方xyz程组来解.练习：今年某大学在招生录取时,为了预防数据输入出错,2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍,然后让计算机比拟两人的输入是否一致.教师甲的输入速度是教师乙的2倍,结果甲比乙少用2小时车完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩,那么教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩,依题意,得：26402640小.=-60x22x工,解得x=11经检验,x=11是原方程的解,且当x=11时,2x=22,符合题意.即教师甲每分钟能输入22名学

12、生的成绩,教师乙每分钟能输入11名学生的成绩.例5、轮船顺流、逆流各走48千米,共需5小时,如果水流速度是4千米/小时,求轮船在静水中的速度.分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度路程速度时间顺流48升x+4千米/小时48x+4逆流48升x-4千米/小时48x-4等量关系：顺流用时+逆流用时=5小时练习：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等,水流速度为2千米/时,求船在静水中的速度.分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间,设船在静水中的速度为x千米/时,又知水流速度,口30千米2

13、0千米即,一,工、,;:=；顺水航行速度逆水航行速度于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示,问题可解决.解：设船在静水中速度为x千米/时,那么顺水航行速度为x+2千米/时,逆水航行速度为x-2千米/时,依题意,得30L=20L,解得x=10.x2x2经检验,x=10是所列方程的根.即船在静水中的速度是10千米/时.三、实战练习选择题L以下约分正确的选项是A、6x32=Xxxyx2xy24x2y2、以下各式中,从左到右的变形正确的选项是C、x-yxyx-yxyx-yxy3、甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,那么汽车的速

14、度SA.abBS-avcS-av2SD.ab4如果关于x的方程-2一=1x-3x-3有增根,那么m的值等于A.-3B.-2C.-1D.35、有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900kg和1500kg,第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每填空亩收获蔬菜A.C.1.当xxkg,根据题意,可得方程9001500x300x9001500xx3001.时,分式有思义.3-x2.化简1-舟5+1的结果是3.化简：焉'-七*的结果为x+2x-2x-4B.D.x3.一、一4.分式2,当x=2时,分式无意义,那么x-5xa意义的x的值共有个.

15、9001500xx-3009001500x-300a=,当a<6时,使分式无15.当x=2时,分式的值x-1.14人6.当x时,分式有思义.3-xx_2,7.当x=时,分式的值为零.x28.化简:a2-b2.2a-2b-2-；2'''；a2abbab9.假设关于x的分式方程=1-有增根,那么m=x-3x-310解分式方程(1)14x2一一2一x24fx-2(2)237+=x322x6(3)x11""2"二一x-5x(4),3)0x-22-x(5)x-216x2z_27rx2x-4x-2(6)应用题1、南宁市2006年的污水处理量为10

16、万吨/天,2007年的污水处理量为34万吨/天,2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍,假设2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提升40%污水处理率=污水处理量污水排放量).1求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？结果保存整数2预计我市2021年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%,根据国家要求“2021年省会城市的污水处理率不低,.70%,那么我市2021年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的根底上至少.还需要增加多少万吨,才能符合国家规定的要求?2、我国“八纵八横铁路骨干网的第八纵

17、通道一一温州福州铁路全长298千米.将于2021年6月通车,通车后,预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时.福州至温州的高速公路长331千米,火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍.求通车后火车从福州直达温州所用的时间结果精确到0.01小时.3、进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：、源们是用9天完成4800丞pS加固600米后,采用新的加固iPY乒的大坝加固片务的？.式,这样每天加固长度是原来的2倍_通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.4、甲、乙两个施工队共同

18、完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程.乙队单独完成此项工程所需大,一4,-数是甲队单独完成此项工程所需天数的求甲、乙两个施工队单独完成此5项工程各需多少天?5、某超级市场销售一种计算器,每个售价48元.后来,计算器的进价降低了4%,但售价未变,从而使超市销售这种计算器的利润提升了5%.这种计算器原来每个进价是多少兀？利润=售价-进价,利润率父100%进价6、今年4月18日,我国铁路实现了第六次大提速,这给旅客的出行带来了更大的方便.例如,京沪线全长约1500公里,第六次提速后,特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用17小时.第六次提速后比第五次

19、提速8后的平均时速快了40公里,求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？分式方程稳固练习1以下各分式中,最简分式是A、x285xyx2yxy22y-xxy22x-y(x+y)22以下分式中,计算正确的选项是B、2(bc)A、a3(bc)a3C(a-b)2、(ab)2D>c222xy-x-yy-x2天完成总量的三3、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了1天,总量全部完成.那么乙队单独完成总量需要C. 3天D. 2天x台,根据题4、炎炎夏日,甲安装队为A小区安装66台空调,乙安装队为B小区安装60台空调,两队同时开工且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装2台.设乙队每天安装意,下面所列方程中正确的选项是6660B66_60xx-2x-2x