线性代数教案(正式打印版)

1、第（1）次课 授课时间（）教学章节第一章第一、二、三节学时2学时教材和 参考书1线性代数（第4版）同济大学编1. 教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算；掌握逆序数的疋义，并会计算； 掌握n阶行列式的定义；2. 教学重点：逆序数的计算；3. 教学难点：逆序数的计算.1教学内谷：一、二阶行列式的疋义；全排列及其逆序数；n阶行列式的疋义2时间安排：2学时；3教学方法：讲授与讨论相结合；4教学手段：黑板讲解与多媒体演示.1备注基本内容第一节二、三阶行列式的定义、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。设二元线性方程组aiXi+au b821X2 + 日22%2 = b?用消元

2、法,当aiia22 -ai2a2i-0时，解得a22bi ai2b2Xi ,X2aiia22 一 ai2a21aii b2 - a2i baiia22 一 ai2a21aiiai2021 a 22二印忆22 - ai,称为二阶行列式，则#如果将D中第一列的元素aii,a2i换成常数项bi,b2 ,则可得到另一个行列式,用字母Di表示,于是有Di 二bia2b2 a22按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：bia22-b2a2i,这就是公 式（2）中xi的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a i2,a 22换 成常数项bi,b2 ,可得到另一个行列式，用字母D2表示,于是有aii biD2

3、=.a? 1 b?按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：aiib2 -a2id,这就是公式（2）中x2的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为Dix-iD 其中D学0D2X2D3x- - 2x2 - 12例1.解线性方程组2x1 x2 =1同样,在解三元一次方程组a-i'a21x1a12x2a13x3 二 b1X1 - a?2X2 a23X3我时，要用到3831X1 ' 832X2 ' 833X3 =匕3阶行列式”，这里可采用如下的定义、三阶行列式的定义#a x + a2 X2 + a3 X3 = b 设三元线性方程组1X1 +a22X2 +a23X3 = b

4、2a31X1+a32x2*a33x3=b3用消元法解得=_妇也】声33 +先衍鸟+旬舟盘32 对勺旳2 M 口鸟逢菊盘这勺為為角必3 +如吗病+席13如勺2 知角3如如勺1知如如亀1_ 旳為切+垃幻如+ 13213 码】角血如角弓如玄的1兀1 112233 + 牝也卫巧 1 + 132152 12332 ° 122133 132231的心0 +如也+£"1佝也弼爲主ana2i> 对如如盘1角撐33 +总】护加昭L +如A泌卫11232 知包1咳上如曲卫叫L定义 设有9个数排成3行3列的数表a11a12a13D =a21a22a23a31a32a33=ana2

5、2a33 ' 312023331 ' a13a21a32 _a13a22a31一 a11 a23 a 32 - a12a21a33 5a11a12a13a21a22a23a31a32a33称为二阶行列式，则丑鸟如二阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆:的al2対 夠】22鸟 31碍2钱5从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元 素取负号,即_2x + y + z = _2例4.解线性方程组x+y+4z = 03x - 7 y 5z = 5#解先计算系数行列式#2 1 114 =10 + 12 7 3 565 = 69 式 075再计算 D1, D

6、2,D3-21 1-2-21-212D=014= -51, D2 104= 31，D3 =110=55-7 53553-75D117D231D35y,z 二D23D69D69得x第二节全排列及其逆序数引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复的三位 数？一、全排列把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(简称 排列).可将n个不同元素按1 n进行编号，则n个不同元素的全排列 可看成这n个自然数的全排列.n个不同元素的全排列共有n!种.二、逆序及逆序数逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素 的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称有一个逆序.通常取从小到大的

7、排列为标准排列，即1 n的全排列中取123 (n -1)n为标准排列.逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.例1：讨论1,2,3的全排列.全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇逆序数的计算：设P1P2Pn为123-(n1)n的一个全排列，则其n逆序数为 t啦1 * t2 =為ti .其中ti为排在Pi前，且比Pi大的数的个数例2 :求排列54321的逆序数.n解: t = 0,t2 =1,t3 = 2,t4 =3,t5 =4,t =' ti = 10

8、.(对于逆序数的计算介绍另一种算法)第三节n阶行列式的定义F面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式.二阶行列式311 312321 322311822 £12821311a12321322-311322 - 312321 -( T) 31 P1 32 P2 .其中:P1 P2是1,2的全排列,t是P1P2的逆序数，匕是对所有1,2的全排列求和.三阶行列式a11D = a?iai2a22ai3a23=811822833 +812823831 *813821832a31 a32a33一813822831 一 811823832 一 812821833其中: P1 P2P3 是1,2,3的

9、全排列，t是 P1 P2 P3 的逆序数,匸是 对所有1,2,3的全排列求和.8118218318128 22832813823833=0 81 P1 82p2 83'Pn .7#其中:P1P2Pn 是 1,2, ,n的全排列,t是P1P2Pn的逆序数,匕是对所有1,2, ,n的全排列求和.例1.计算对角行列式0 0 2 0(24)03004000例2.证明对角行列式(其对角线上的元素是i,未写出的元素都为0)i.J.ji.J.Z-2+人2,几2d1九nn n -1#证明：按定义式#1 -to1 -|o 1= (-1) (-1) ?2n"=】一12 T2,例3.证明下三角行列

10、式a11a21a22-alla22annan1an2ann9#证明:按定义式得D =a11a22a32I-a33* +0an a22a33a439+03n2an3 annan3 an4 annaa 22 ann#以上，n阶行列式的定义式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.#回顾和小结小结：1. 二三阶行列式的定义；2. 全排列及其逆序数；3. n阶行列式的定义。复习思考题或作业题思考题：1 -2 31. 计算三阶行列式D = 7 -8 94-5耳2. 求排列54321的逆序数.作业题：习题一：第 1 （ 1,3 ）、2 （ 2,4,6）实施情况

11、及分析1. 通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列 及的定义概念,会计算二、三阶行列式；2. 对其逆序数等方面的应用有待加强.11第（2 ）次课授课时间（）教学章节第一章第四、五节学时2学时教材和 参考书线性代数（第4版）同济大学编1. 教学目的：掌握对换的概念；掌握 n阶行列式的性质，会利用n阶行列式的性质计算n阶行列式的值；2. 教学重点：行列式的性质；3. 教学难点：行列式的性质.1. 教学内容：对换；行列式的性质；2. 时间安排：2学时；3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示.备注基本内容第四节对换对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动

12、， 这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.例：al abbb 印 al bahb.定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列（逆序数为0）,因此知推论成立定理2:n阶行列式为:a11ai2ai313#八（一1）$山耳22apnn.an1an2an1其中t为P1P2P的逆序数.#（以4阶行列式为例，对证明过程作以说明）（补充）定理3 n阶行列式也可定义为aiia21aniai2a22an2ai3ani二 '

13、（一1） aPiqiap2q12a Pnqin其中Pi P2Pn和422 qn是两个n级排列,t为行标排列逆序#数与列标排列逆序数的和练习：试判断 ai4a23a3ia42a56a65和-a32a43ai4a5ia25a66 是否都是六 阶行列式中的项.第五节转置行列式的定义行列式的性质aiia2iain记D =a2ia22 "a2nanian2annaiia2ianidt =ai2a22 an 2（DJaina2nann行列式Dt称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）一、n阶行列式的性质性质i:行列式与它的转置行列式相等由此知，行与列具有同等地位关于行的性质，对列也同样成立，反

14、之亦然.Dt以A表示第i行，Cj表示第j列.交换i, j两行记为r交换 i,j两列记 作 Ci I Cj .性质2 : 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论：行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.性质3 : 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k,等于 用数k乘以该行列式.推论：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.性质4 :行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.性质5 :若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.a11a12（a1i 十务)a1n即若D =a21a22(a? +a；i )a2nanla.2-(ani +

15、a；i ).-annaiia12-a1ia1nana12-Fa1i则D =a21aa22aa2i-a2n+a21aa22-9a2ian13n2aniannan1an2a；ai na2n: ann性质6:把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该行列式不变.二、n阶行列式的计算：152例1计算D5-57-9-61 2-1 42 71 24#解:2-5121-5221-522D =-37-14-17-342旳02-165-9272-9573-211401134-6121-6420-1201-5221-5222 卡42342400360-120卡4 -003300300-12000

16、03例2.a bbabbbb1卄2卄3卄4a +3bba +3b aa +3bba +3bbD =bbabbbabbbbabbba1r1 a 3b1 b(a+3b【bb111111一bibbi10a b00=(a +3bLabi£3,400a b0ba000a b1 a b b#=(a 3b)(a b).（推广至n阶，总结一般方法）p +qq + r+ pPq例3.证明：q1 +11 + P1=2P1q11P2 +q2q2 +22 + P2P2q22第一列Pq +Pq q+ p证明：左端点性质5P1q1 +11 +P1+q1 q1 +11 + P1P2q2 +2 2 +P2q2 q2

17、 +22 + P2Pq +q + pPq q P=P141卄11+q111 + P1=P1q11+q11P1P2 q2+2 2q222 + P2P2 q2 2q22P2Pq =2P1q11P2q22例4.计算2n阶行列式.abab+ia bnD=(adbc)nc d- +cdcd(利用递推法计算)aii aik*:0例5. D=a"孤，ci1 Gk5 bnaaai-Gl bM 0na“ a1k5blnDi =det(aj) = ：:, D2 = detQ )=：:.弘akkSibnn证明：D=DiD2.回顾和小结小结：对换和n阶行列式的性质与计算1. 对换的定义及两个定理；2. n阶

18、行列式的性质与计算；复习思考题或作业题思考题：1.把排列54132作一次对换变为24135,问相当 于作几次相邻对换？把排列12345作偶数次对 换后得到的新排列是奇排列还是偶排列？0 a b a2计算：a 0 a b .D =b a 0 aa b a 0作业题：习题一：第 3，4(2，4),5(2,4,5)实施情况及分析1. 通过学习学员掌握了 n阶行列式的定义和对 换的概念；2. 对利用n阶行列式的定义和对换等方面的应 用有待加强.1919第（3 ）次课 授课时间（）教学章节第一章第六节学时 2学时教材和 参考书1.线性代数（第4版）同济大学编；1. 教学目的：了解余子式和代数余子式的概念

19、；掌握行列式按行（列）展开；2. 教学重点：行列式按行（列）展开；3. 教学难点：行列式按行（列）展开.1. 教学内容：行列式按行（列）展开；2. 时间安排：2学时；3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示.21备注基本内容第六节 行列式按行（列）展开定义 在n阶行列式中，把元素aj所处的第i行、第j列划去, 剩下的元素按原排列构成的ni阶行列式，称为aj的余子式，记为Mj ;而A =（-1）jMj称为aj的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除aj外其余元素均为零，即:aiiaijani则:D - aj Aj .a11先证简单情形:a21a22a2nania

20、n2ann2i2i再证一般情形:i 一阳丿定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代2i2i数余子式乘积之和，即2i2i按行:aii Ajiai2Aj2ainAjn2i2i按列:aii Ai j ' a2i A2jani Anj2i证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）01°120ln°11020ln01 00+0020°11 °12耳102Qna11+ 0%耳200.2aina3i13|20lnD J01 40平400110坦ma0 半"40pn0nn23#= QiAi无人2ainAn(i =1,2,口).31-12例

21、1： D =-513-4201-11-53-3解:31-12-84一 6-804-6檢鄂二列棊弄21-1=1x(-1)21-16-27160-27 22-1241-160202-1例 2： Dn =#2 -1#2-121001+1半2中"*-12匕+ *+2-12-1-12-122 -11 2按號一布理平-1 2 -1-1 , -+1x(-1)-.'.12 -1-1 2-1 2H-1从而解得Dn二n 1.例3 .证明范德蒙行列式1Xi2Dn = X1n丄X11X22X2n 1X2XnXnn4Xnn (x-Xj).n丄j其中，记号行”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为d2

22、 =X11=X2 - 人=口 (为-Xj )X22总登所以，当n = 2n=2时，（4）式成立.现设（4）式对n-1时成立，要证对n时也成立.为此，设法把Dn降阶；从第n行开始,后行减去前行的x1倍,Dn =1000X2X2 X2 - X1IIIX3 一为X3 X3 -为0x； (x2)n -2X3X3 - X1IIIIIIIIIIIIIIIXn 一洛Xn Xn - 为IIIn-2Xn人 一 X1（按第一列展开，并提出因子Xi - X1 )25=x2 x!X3 xiI I. Xn x!X2X31Xnn1阶范德蒙行列式n_2X2n/X3n/Xn#由假设x2 X3 11人| xi定理的推论 行列式

23、一行(列)的各元素与另一行(列)对应 各元素的代数余子式乘积之和为零，即 ai1Aj1 ' ai2Aj2 ainAjn =0i = j按列：a1iA1j a?A2j aniAnj =0 i=j结合定理及推论，得nn1 (i = j)送 aikAjk =D6ij,送 akiAj=D6ij,，其中 ®kz!k£.0(1 = j)53-1172例4.计算行列式D =0-230-4-10232 05 21 0的值4 05 0回顾和小结小结：行列式按行（列）展开。1.余子式和代数余子式的概念；2行列式按行（列）展开；复习思考题或作业题123n1200思考题：设:Dn=i 0

24、30,999+9100n求第行各元素的代数余子式之和作业题：习题一:第 7（2，3，5，6）实施情况及分析1. 通过学习学员理解了余子式和代数余子式的 概念，掌握行列式按行（列）展开；2. 对利用行列式按行（列）展开的方法计算行 列式等方面的应用有待加强.第（4 ）次课授课时间（）教学章节第一章第七节学时2学时教材和 参考书线性代数（第4版）同济大学编1. 教学目的：了解克拉默法则的内容，了解克拉默法则的证明，会利用克拉默法 则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；2. 教学重点：克拉默法则的应用；3. 教学难点：克拉默法则的应用.1. 教学内容：克拉默法则；2. 时间安排：2学时；3.

25、 教学方法：讲授与讨论相结合；4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示.27备注基本内容第七节克拉默法则含有n个未知数x1,x2,.,xn的n个方程的线性方程组§11为 +a12X2 +amXn =b(1)a21X1 *£22X2a2nX2 = Ib2 an1X1 - an2X2 annXn =b29#与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示.定理1 (Cramer法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于#alna n1a nn则方程组(1)有且仅有一组解：DnD1D2X1, X2 :DD其中Dj j =1,2,., n是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组

26、右端的常数列代替，而其余列不变所得到的n阶行列式a,j丄baJ+anj 1还十Qn4, j 1齢Qna021On(证明在第二章)当b，b2，.，bn全为零时，即a11X<ha12X'i a1nxn =0a21X1a22x2a2nx2 二 0 an1X1 an2X2 annXn =0#称之为齐次线性方程组.显然，齐次线性方程组必定有解(X1 =0,X2 =0,.,Xn =0 ).根据克拉默法则,有1 .齐次线性方程组的系数行列式 D=0时，则它只有零解（没有非零解）2 .反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D".例1 .求解线性方程组X2-5X3X4:=8-3x

27、2-6x4 =92X2X3j-2x4 =二-54冷-7X3 6x4 =02xiXiXi解:系数行列式21-51-331-30_6=02-12-7-220-10D =同样可以计算D1Ds89-5021011-3241-324-50-1789-501-6261-626=81D2 =210189一501626-10821011 -5-302 -14-78950= 27,所以X1D2-4 D,X3D3D 一1"："注意:1.克莱姆法则的条件:n个未知数,n个方程,且d = o2.用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程31组。3. 克莱姆法则具有重要的理论意义。4. 克来

28、姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的 依存关系.例2.用克拉默法则解方程组3X1 +5x2 +2xs +X4 =3,3X2 +4X4 =4,"Xi +x2 + x3 + x4 =11 6,X x2 - 3x3 +2x4 =5/6.例3.已知齐次线性方程组"（5 - &）x +2y + 2z = 0<2x + （6 扎）y=012x + （4 - k）z = 0有非零解，问人应取何值？解系数行列式D =（5-九）（2 -人）（8 -叮由：D = 0 ,得人=2、九=5几=8.回顾和小结小结：克拉默法则.1. 内容；2. 应用.复习思考题或作业题思考题

29、：当线性方程组的系数行列式为零时，能否 用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解 为何？作业题：习题一第 8（2）、9（2,4）实施情况及分析1. 通过学习学员理解了解克拉默法则的内容，了解克拉默法则的证明，会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的 解；2. 对利用克拉默法则等方面的应用有待加强.3331教学章节第二章第一、二节学时 2学时教材和参考书1.线性代数（第四版）同济大学编；2.同济大学 胡一鸣编线 性代数辅导及习题精解；3.孙建东等编线性代数知识点与典型 例题解析。1. 教学目的：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算；2. 教学重点：矩阵的概念和矩阵的运算；3. 教学

30、难点：矩阵的概念和矩阵的运算。1. 教学内容：矩阵；矩阵的运算；2. 时间安排：2学时；3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示。第（5）次课授课时间（)#基本内容备注第一节矩阵37#、矩阵的定义称m行、n列的数表#aiia21ai2a22aina2nam1am2a mn#为m n矩阵，或简称为矩阵；表示为ai1a21ai2a22aina2nlam1am2amn或简记为A = (a ij )m n ，或 A =(aj )或 Am n ；其中aj表示A中第i行，第j列的元素。其中行列式D二ai1a21ai2a22ai na2n为按行列式的运算规则所得到amiam2a

31、mn#的一个数；而m n矩阵是m n个数的整体，不对这些数作运算。例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。矩阵，当0"2,酬；尸12同设 A=(aj)mn， B=(bj)mn 都是 m n则称矩阵A与B相等，记成A二B。二、特殊形式#n阶方阵：n n矩阵行矩阵:1 n矩阵（以后又可叫做行向量），记为A =佝2, an)列矩阵m 1矩阵（以后又可叫做列向量），记为b2零矩阵:所有元素为0的矩阵,记为0对角阵:对角线元素为'1,'2,.,'n,其余元素为D的方阵，记为单位阵:对角线元素为入丿1,其余元素为0的方阵，记为三、线性变换的系数矩阵线性

32、变换的定义:设变量y1,y2,.,ym能用变量X1*，x.线性表示,y = a11x1a12x2a1nXny2 二 a21X1a22 X2a2niym - am1X1am2 X2amnXn这里aij i =1,2/ ,m; j =1,2/ ,n为常数。这种从变量捲必，.兀到39变量yi, y2,ym的变换称为线性变换。线性变换由m个n元函数组成，每个函数都是变量的一次幕，故而称之为线性变换。上式的系数可构成一个m n矩阵aiia2iai2a22ai na2nam2amn丿aiia2iai2a22aina2n称之为线性变换的系数矩阵。#amnam2线性变换和系数矩阵是对应的#如，直角坐标系的旋转

33、变换（变量（x,y）到变量（x: y ）的变换）x'= cosx + sin ByN= - sin 日x + cos%的系数矩阵为'cos 日si n 旷isin 日 cos 日 j恒等变换的系数矩阵为(1同样,齐次线性方程组与系数矩阵A=ana21a12a22V_am1am2非齐次线性方程组'与增广矩阵A二ana21a12a22y1y2ym二 X1=x2=XmanX1a2X2 aXn 二 0a21x + a22x2 + a2nxn = 0am1X1am2X2 amnXn 二 0a1 na2namn，也是对应的.a11X1a12X2a1 nXn = b1a21X1822

34、X2a2nXn 二 b2am1 X1am2 X2amnXn - bma1n 4a2n b2也是对应的。am2amn bm 第二节矩阵的运算一、加法设A =(3j)m n， B =(bj)m n,都是m n矩阵,则加法定义为41ai bi a?ib?iai2a22bi2b22ai n + bina2n * b2nam1bm1am2bm2amnbmn#显然, A B 二 B A，(A B) CA (B A)#二、数乘设是数，A =佝）m n是m n矩阵,则数乘定义为ai2Z &22a m2人Sin入a2n扎amn J显然跻丄a _，a ,泸曾LA ,.A B ： A B三、乘法乘法运算比较

35、复杂，首先看一个例子设变量tt到变量旨,卞2彳3的线性变换为x2 二 b21t1b22t2yi变量Xi, X2, X3到变量yi, y的线性变换为=SiiXi * aX? + Si3 X3二 a2iXia22 X2a23X3那么，变量ti,t2到变量yi,y2的线性变换应为y=Sii (biiti + 02七2)+ Si2(b2iti+ »22七2)+ Si3 (bgiti+ »32七2)yiS2i biiti bi2t2 S22b2iti b22t2 S23 b3iti b32t2% = (dllDl* ai2b21+ ai3b31人 * (ailbl2+ 印2鸟2*ai

36、3b32 *2yi =(a2ib!1* a22b21* 3231L *(a2lbl2+ a22b22+3232 2定义矩阵a21b11bja12a13和b21b22a22a23lb31b32 J43#的乘积为fb11 b12zi"Xa11a12a131 a11 b11 + a12 b21 + a13b31a11 b12 * a12 b22 * a13 b32!b21 b22=1& 21a22a23 丿lb31b32 JIa21 b11 + a22b21 + a23 b31a21b12 + a22b22 + a23b32 按以上方式定义的乘法具有实际意义.由此推广得到一般定义设

37、A=(aj)ms, B=(bj)sn,则乘法定义为其中 C - (cij ) m np =1,2-i j =1,2，,nsCij = aii bi j ai2b2ja is bsj = ' aik bkj心注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数； 乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。例：设A二*10,2 13 -10 2丿03111 0 2丿4-12111030314-12111030314，则2 1 1 1 0 0 2 32 0川1 3川0 1 2 4勺

38、 乂4+0江（一1 ）+3汉2+（1 卜1 1 疋1+0疋 1+3疋0+ （1 卜3 IkO+OB + ShI+（_1其4） 2汉4 +1 汉（一1 ）+0汉2 +2x19 -2 -V®911例:设A二-214、-2丿2-3求AB及BA。45#广 24 丫一 24、*0 0、-3 -n 1-2J<0 0BA 二AB = BA ,由此发现：（1 ）（不满足交换律）（2）-0，但去卩有BA = O。解：AB =f24 ¥ 24J16 -32、1J一2 人一3 一6 丿<8 16 >#一个必须注意的问题1 .若Ams ,Bsn, 则Ams Bs n 成立，当mn

39、 时,BsnAms 不成立;Bn m，则Am n Bn m是m阶方阵,而Bn m Am n是n阶方阵;n：.m3.如果A, B2 -16-32 '5 <8162 .即使Amn ,都是n阶方阵,例如A二，而 BA -214-2，2-34，一6，则综上所述,一般ABBA （即矩阵乘法不满足交换率）F列性质显然成立: ABC 二ABC，AB 二 A A B , A B C尸 AB AC , B C BA CA几个运算结果：#彳b21 . (a,a2,，a" ： =aQ+a2b2 +anbn ；/a1b1a1b2 ab ”2.b2，a?,an )=azDa2b2 a2bn 7心

40、丿<anb1a4anbn 丿3 .若A为m n矩阵,E是m阶单位阵，则EA = A；若E是n阶单位阵，则AE = A ；4线性变换的矩阵表示:yaiiXi62X2 a1nxn! 丫2 =821X1 +822X2 + a2nXn 设< ym 二 am/ am2X2 amnXna11ai2a1nX1y1a21a22a2n,X =X2*,y =y2.am1am2amnA5 .线性方程组的矩阵表示:a1 X1a2 X2a1nXn 二 b1a21 X1a22X2a2 nXn = b2"ana12am、f、X1'b1、A =a21a22a2n,X =X2,b =b2<a

41、m1am2amn JlXnlbm丿.am1 X1am2X " amnXnm' cos 日sin日1' cos n 日sin n 日l_sin 0cosO 丿, sin nTcos n日丿例证明nn 1A= AA 一矩阵的幕：A?二 AA, A3 二 AA2,证明用归纳法:cos日.sin 日sin r coskr cost -sinkrsinkr coskrcosvcoskv -sin sinkv sin rcoskv -cossincoss ink 日 +sin 8cosk8 sinT sin k。+ cos日 cosk6 丿n =1时,显然成立，假定n = k时成

42、立则n = k 1时'cos 0sin& 'lv T'COS0sin 0 Y cosOsin& 'l_sin 9cos日丿l_sin 日cos日人s in日cos日丿47#tos(k +1)日 sin(k +1)日 ' i-sin(k+1)日 cos(k+1)B 丿从而结论成立.,z cosBsin 0、由于 口口】是直角坐标旋转0角度变换的系数矩阵，故而(sin日 cos日丿sin、,sin 日cos& 丿是旋转了 "角度变换的系数矩阵#四、转置勺11a12a1n勺11a21Xan1设A =a21a22a2n，记 at =a12a22an2lan1an2ann® na2nann丿则称A是A的转置矩阵显然,A T