高中数学 第33讲等差的概念及基本运算课件 新人教A版必修5

1、1.理解等差数列的概念理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n项项和公式和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题问题.4.了解等差数列与一次函数的关系了解等差数列与一次函数的关系.1.已知数列已知数列an，那么，那么“对任意的对任意的nN*，点点P(n,an)都在直线都在直线y=-x+2上上”是是“数列数列an为等差数列为等差数列”的的( )BA. 必要不充分条件必要不充分条件 B. 充分不必要条件充分不必要条件C. 充要条件充要条件 D. 既不充分也不

2、必要条件既不充分也不必要条件 当通项为当通项为an=-n+2时，可推出数列时，可推出数列an为等差数列，反之不成立，故为充分不必为等差数列，反之不成立，故为充分不必要条件要条件.2.在数列在数列an中，若中，若a1=1，a2= ， = + (nN*),则该数列的通项为则该数列的通项为 .1212na1na21naan=1n 由由 = + (nN*)知，知， 为为等差数列等差数列,且首项且首项 =1,公差公差d= - =1,所以所以 = +(n-1)d=n，所以，所以an= .12na1na21na1na11a21a11a1na11a1n3.an为等差数列，且为等差数列，且a7-2a4=-1,a

3、3=0,则公则公差差d= .12- a7-2a4=-1，得，得a3+4d-2(a3+d)=-1，即即2d-a3=-1，又，又a3=0，则，则d=- .124.在数列在数列an中，中，an=2n- ，a1+a2+a3+an=an2+bn，nN*，其中，其中a、b为常数，则为常数，则1000a+10102b= .122010 因为因为an=2n- ，所以，所以an是首项为是首项为a1= ，d=2的等差数列，的等差数列，所以所以Sn=na1+ d=n2+ n=an2+bn,所以所以a=1，b= ,所以所以1000a+10102b=2010.1232(1)2n n12125.在数列在数列an中中,a1

4、=15,3an+1=3an-2(nN*),则该数列中乘积为负值的相邻两项则该数列中乘积为负值的相邻两项是是 ,前前 项和取得项和取得最大值最大值.第第23项、第项、第24项项23 由已知得由已知得an+1-an=- ，a1=15，所以所以an=a1+(n-1)d= ,显然，显然，a230，a24a2a3a230a24,所以前所以前23项和取得最大值项和取得最大值.234723n等差数列等差数列(1)等差数列定义等差数列定义 .(nN*),这是证明这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如由前若干项，如a3-a2=a2-a1=d(常数常数),就就说

5、说an是等差数列这样的错误，判断一是等差数列这样的错误，判断一个 数 列 是 否 是 等 差 数 列个 数 列 是 否 是 等 差 数 列 , 还 可 由还 可 由an+an+2=2an+1,即即an+2-an+1=an+1-an来判断来判断.an+1-an=d(常数常数)(2)等差数列的通项为等差数列的通项为 .可可整理成整理成an=nd+(a1-d),当当d0时，时，an是关于是关于n的的一次式，它的图象是一条直线上一次式，它的图象是一条直线上n为自然数为自然数的点的集合的点的集合.(3)对于对于A是是a、b的等差中项，可以表示的等差中项，可以表示成成 .( 4 ) 等 差 数 列 的 前

6、等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式项 和 公 式 Sn= = ,可以整理成可以整理成Sn= n2+(a1- )n,当当d0时时,Sn的一个常数项为的一个常数项为0的二次式的二次式.an=a1+(n-1)d2A=a+b12naana1+ d(1)2n n2d2d例例1 已知数列已知数列an满足满足an=2an-1+2n-1(n2),且且a4=81. (1)求数列的前三项求数列的前三项a1,a2,a3; (2)求证求证:数列数列 为等差数列为等差数列,并求通项并求通项an.12nna (1)由题意，得由题意，得n=4时，时，a4=2a3+24-1=81，解得，解得a3=33；同理，同理，a

7、3=2a2+23-1=33，解得，解得a2=13；a2=2a1+22-1=13，解得，解得a1=5.所以前三项所以前三项a1=5,a2=13,a3=33.(2)因为因为an=2an-1+2n-1，即，即an-1=2(an-1-1)+2n,两边同除以两边同除以2n,得得 = +1.令令 =cn，即，即cn=cn-1+1，即即cn是以是以c1为首项为首项,以以1为公差的等差数列为公差的等差数列.所以数列所以数列 是以是以 =2为首项，以为首项，以1为公差的等差数列为公差的等差数列,所以所以 =2+(n-1)1=n+1，即即an=(n+1)2n+1.12nna 1112nna12nna 12nna

8、112a 12nna 证明一个数列为等差数列的基本方法证明一个数列为等差数列的基本方法有两种：（有两种：（1）利用等差数列的定义证明，）利用等差数列的定义证明，即证即证an+1-an=d(nN*)；（；（2）利用等差中项）利用等差中项证明证明,即证即证2an=an+k+an-k(n,kN*,nk)；有时；有时根据根据an=an+b，Sn=an2+bn(a,b为常数）也可为常数）也可判定为等差数列判定为等差数列.在选择方法时，要根据题在选择方法时，要根据题目的特点，如果能求出数列的通项，常用目的特点，如果能求出数列的通项，常用定义法定义法.例例2 在等差数列在等差数列an中中,a16+a17+a

9、18=a9=-36,其前其前n项的和为项的和为Sn. (1)求求Sn的最小值，并求出的最小值，并求出Sn取最小值时取最小值时n的的值；值； (2)求求Tn=|a1|+|a2|+|an|. a16+a17+a18=3a17=-36 a17=-12.又又a9=-36,所以公差所以公差d= =3.首项首项a1=a9-8d=-60,所以所以an=3n-63.(1)(方法一方法一)设前设前n项的和项的和Sn最小最小, an0 3n-630 an+10 ,nN*, 3(n+1)-630, nN*n=20或或21.所以当所以当n=20或或21时，时，Sn取最小值，取最小值，最小值为最小值为S20=S21=-

10、630.179179aa则则即即(方法二方法二)Sn=-60n+ 3= (n2-41n)= (n- )2- .因为因为nN*,所以当所以当n=20或或21时，时，Sn取最小取最小值，最小值为值，最小值为S20=S21=-630.(2)由由an=3n-630 n21,所以当所以当n21时，时，Tn=-Sn= (41n-n2)；当当n21时时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an =Sn-2S21= (n2-41n)+1260.(1)2n n32324123224123232 1.本题本题(1)的方法一是基于等差数列本的方法一是基于等差数列本身的特性身的特性,从定性的角度考虑和研究从定性的角度

11、考虑和研究;方法二方法二则是基于函数思想则是基于函数思想(数列的本质特性数列的本质特性:定义在定义在N*或其子集上的函数或其子集上的函数),从定量的角度从定量的角度,建立建立Sn关于关于n的函数，再归结为求函数的最大的函数，再归结为求函数的最大(小小)值问题值问题.这是处理有关等差数列前这是处理有关等差数列前n项和最大项和最大(小小)值问题的两种基本思想值问题的两种基本思想,应很好地理解应很好地理解. 2.本题本题(2)中有两点值得注意中有两点值得注意:一是分类讨一是分类讨论思想论思想,对对n21和和n21两种情形加以讨论两种情形加以讨论;二二是转化思想是转化思想,将求将求Tn问题仍然转化为求问题仍然转化为求Sn的问的问题题.1.等差数列的判定方法等差数列的判定方法.定义法：对于数列定义法：对于数列an,若若an+1-an=d(常常数数)，则数列，则数列an是等差数列；是等差数列； 等 差 中 项 法 ： 对 于 数 列等 差 中 项 法 ： 对 于 数 列 an , 若若2an+1=an+an+2，则数列，则数列an是等差数列是等差数列.2.在熟练应用基本公式的同时，还要会在熟练应用基本公式的同时，还要会用 变 通 的 公 式 ， 如 在 等 差 数 列 中 ，用 变 通 的 公 式 ， 如 在 等 差 数 列 中 ，a