微分中值定理的证明与应用

1、微分中值定理的证明与应用B09030124孙吉斌一中值定理及证明：1 .极值的概念和可微极值点的必要条件：定理(Fermat)设函数f在点x。的某邻域内有定义，且在点小可导，若点选为f的极值点，则必有f(x。)=。罗尔中值定理：若函数f满足如下条件:(1) f在闭区间a,b上连续；(ii)f在开区间(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点己，使得f*(O=。证明：因为f在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m，则f在a,b上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m<M,则因f(a)=f(b),使得最大值M

2、与最小值m至少有一个在(a,b)内某点己处取得，从而己是f的极值点，由条件(ii)f在点己处可导，故由费马定理推知f(')=。.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的士称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。xx,|x|<1例如：F(x)=0,-2<x<-1I1,1MxM2易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)WF(2),即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在(-2,2)内存在点己，满足F'K

3、)=。注3:罗尔定理结论中的士值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：4.21xsin；x=0f(x)=*在-1,1上满足罗尔定理的条件，显然0,x-04x3sin2X_2x2sin?cos?1f(x)=在(-1,1)内存在无限多个cn=(nwz)0,x=02n二使得f(cn)=0。2、拉格朗日(Lagrange)中值定理：若函数？满足如下条件：i)?在闭区间a,b上连续；ii)?在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点己，使得f()_-(a)b-a证明此定理要构造辅助函数F(x),使得F(x)满足罗尔定理的条件(i)-(iii)且F(x)=f(x)一fb一L(a)从而

4、推得F(x)=f(x)-f(a)一他)一(xa),xwa,bb-ab-a证明：作辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)(x-a)b-a显然，F(a)=F(b)(=0),且F在a,b上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点己w(a,b),使得FK)=fY)_f(b)_f(a)=0即f«)=f(b)-fb-ab-a注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理f(a)=f(b)时的特例注2。几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点P伐，f伐)，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入的辅助函数F(x),正是曲线y=f(x)与直

5、线AB,y=f(a)+f(b)-f(a)(xa)之差,事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标b-a系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新x轴(F(a)=F(b)。注30此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4。拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：f(b)f(a)=f()(ba),(a,b)f(b)-f(a)=fai(b-a)(b-a),E三(0,1)f(ah)-f(a)=

6、f(a1h)h,E三(0,1)注50拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f在(a,b)可导可以推出？在(a,b)连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数f(x)在(a,b)可导且f(x)在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1函数f(x)在区间I上可导且fx)三0,二f(x)为I上的常值函数.证明：任取两点x1,x2W|(设x1cx2),在区间x1,x2上应用拉格朗日中值定理，存在七三(为？2)UI,使得f(x2)f(x1)=f')(x2-x1)=0推论2函

7、数f(x)和g(x)在区间I上可导且f(x)=g(x),=f(x)=g(x)c,xI.推论3(导数极限定理)设函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续，在U0(x0)内可导，且极限limf'(x)存在，则f在点x0可导，且f'(xo)=limf'(x)X>X0x>x0证明：分别按左右导数来证明上式成立(D任取xWu°Mx0),f(x)在Xo,X上满足拉格朗日中值定理条件，则存在f(x)-f(x)一、(W(x。,x),使得=f(D由于Xo<E<X,因此当xTXo时随之有x-Xo己一X，,对上式两边取极限，使得f(Q叫f2nxim0f(x00

8、)0同理可得f'(x)=f'(x-0)因为limf'(x)=k存在，所以uuXX0f'(X0+0)=f(x00)=k,从而f*(x0)=f：(x0)=k即f'(x0)=k注1°由推论3可知：在区间I上的导函数(x)在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2。导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4(导函数的介值性)若函数f在闭区间a,b上可导，且f(a)f_(b):二0,=3(a,b),3f仁)=0.(证)二应用举例：1可微函数单调性判别法：1.1一阶函数与单调性的关系：(1)设函数f(x)在区间(a,

9、b)内可导.则在(a,b)内f(x)/(或、u在(a,b)内f'(x)>0(或40).证一)二)(证f*x)之0.)(2)设函数f(x)在区间(a,b)内可导.则在(a,b)内f(x)/(g)xMi>对寸xja,b),有f'(x)之0(或M0);ii>在(a,b)内任子区间上f(x)：0.2可微极值点判别法：极值问题：极值点，极大值还是极小值，极值是多少.可微极值点的必要条件：Fermat定理函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点，可疑点的求法.极值点的充分条件：对每个可疑点，用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.(充分条件I)设函数f(x)在点x0连续，

10、在邻域(x°-6,x°)和(5,x°+6)内可导.Mi>在(x0-&,x°)内f'(x)<0,在(x°,x0+6)内fx)a0时，=x0为f(x)的一个极小值点；ii>在(x0&,x0)内f'(x)>0,在(x0,x0+6)内f'(x)<0时户x0为f(x)的一个极大值点；iii>若f(x)在上述两个区间内同号，则%不是极值点.(充分条件H)设点xo为函数f(x)的驻点且f“(Xo)存在.则i>当f"(X。)<0时，%为f(x)的一个极大值点；ii

11、>当f"(x0)>0时，x。为f(x)的一个极小值点.f(x)-f(x。)f(x)证法一f(x。)=lim=lim.X%x-x0.1证取f(x)=,(x>0).f(x)=2>0,=在0,+30)内f(x)/1x(1x)2于是，由|a+b以a|+|b|,就有f(|a+b|)«f(|a|+|b|),即|ab|<|a|b|二|a|.|b|<|a|.|b|.1|ab|1-|a|b|1|a|b|1|a|b|1-|a|1|b|不等式原理：设函数f(x)在区间a,+电)上连续，在区间(a,+g)内可导，且f'(x)>0;又f(a)之0.则

12、xa时，f(x)>0.(不等式原理的其他形式.)2.4.1凸性的定义及判定:1。x-x0当f”(x0)<0时，在点x0的某空心邻域内工<0,nf'(x)与x-x0异号，x-x0证法二用Taylor公式展开到二阶，带Peano型余项.(充分条件m)设f'(%)=f"0)=f(n4/)=0，而f(n)(%)¥0.则i>n为奇数时，不是极值点；.ii>n为偶数时，R是极值点.且f(x0)>0对应极小；f(x0)<0对应极大.利用单调性证明不等式：原理1：若f/则对Va<P,有不等式f(。)Ef(B).例4证明：对任意

13、实数a和b,成立不等式la+bl<|a|+W.1+|a+b|1十|a|1十|b.(1)凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义设函数f(x)在区间a,b上连续.若对Vx1,x2wa,b,恒有X1+x2)f(x1)+f(x2)I2<2J24j'x+x2f(x1)+f(x2)或fI<<2J2则称曲线y=f(x)在区间a,b上是凹(或凸)的.若在上式中，当xi#x2时，有严格不等号成立，则称曲线y=f(x)在区间a,b上是严格凹(或严格凸)的.凹和凸也分别称为上凸和下凸.(2)凸性的几何意义：倘有切线，与切线的位置关系；与弦的位置关系；曲线的弯曲

14、方向.2.4.2利用二阶导数判断曲线的凸向：设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，则在(a,b)内f”(x)<0,二f(x)在(a,b)内严格上凸；f"(x)>0,二f(x)在(a,b)内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”.证法一(用Taylor公式)对Vx1，x2w(a,b),设x0="xx2,把f(x)在2点x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式，有,f(l)2f(xi)=f(x0)f(x°)(xi-X。)xi-x0),f(x2)uf(x0)f(x0)(x2-x0)f(2)(x2-x0)2.其中和亡2在x1与x2之间.注意

15、到x1-x0=-(x2-x0),就有f(xi)+f(x2)=2f(x0)十1fVi)(xi-x0)2十f"('2)(x2x0)21于是2若有f"(x)<0,二上式中8<0,=f(xi)+f(x2)<2f(%),即f(x)严格上凸.若有f"(x)>0,二上式中4>0,nf(xi)+f(x2)>2f(x0),即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f"(x)>0,则有fx)/不妨设XXcXiex2,并设X0=，分别在区间xi,Xo和xo,X2上应用Lagrange中值je22理，有(Xi

16、,X0),f(X0)-f(Xi)=f(1)(X0-Xi),(x0,X2),f(x2)-f(x0)=f(2)(x2-x0).有X1<匕<X0<巴2<X2,二f'(、)<f'(t2),又由x0X1=X2-x0A0,3f(0)(X0Xi)<f(2)(X2X0),口f(X0)-f(Xi)<f(X2)-f(X0),即f(Xi)+f(X2)A2f(x0)=2fJLi,f(x)严格下凸.<2J可类证f“(X)<0的情况.凸区间的分离：f”(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.2.4.3曲线的拐点：拐点的定义.，,、，、

17、N例8确定函数f(x)=xe"的上凸、下凸区间和拐点.解f的定义域为(-。0,+q0),22f'(x)=e/(12x2),f"(x)=2x(2x23)e7.令f"(x)=0,解得Xi=-gX2=O,X3=g在区间(一B1),(-.11,0),(0,J3),(R+s)内”符号依次2222为一,十,+,=.拐点为：1e2卜(°,0),：4，/3e2.倘若注意到本题中的f(x)是奇函数，可使解答更为简捷.3函数的最值：设函数f(x)在闭区间a,b上连续且仅有有限个可疑点Xi,X2，.则maxf(x)=maxf(a),f(b),f(x1),f(x2),f(Xn);x.a,bminf(x)=min(f(a),f(b),f(Xi),f(x2),f(Xn).x.a,b函数最值的几个特例：i单调函数的最值：ii如果函数f(x)在区间a,b上可导且仅有一个驻点，则当x0为极大值点时，X0亦为最大值点；当X0为极小值点时，X0亦为最小值点.iii若函数f(x)在R内可导且仅有一个极大(或小)值点，则该点