基本不等式与最大小值

1、3.2基本不等式与最大(小)值学习目标：1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重点)2.会用基本不等式解决实际问题(重点、难点)自 主 预 习·探 新 知不等式与最大(小)值阅读教材P90P91“例2”以上部分，完成下列问题x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.思考：(1) 函数yx的最小值是2吗？提示不是，只有当x0时，才有x2，当x0时，没有最小值(2)设a0,2a取得最小值时，a的值是什么？提示2a22，当且仅当2a，即a时，取得最小值基础自测1判断正误(1)

2、两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值()(2)函数ysin x的最小值为2.()(3)函数y的最小值为2.()解析(1)错误，这两个数可能不相等，如当x(0，)时，sin x与的积为定值，但sin x；(2)错误，sin x0时，函数不存在最小值(3)错误，因为只有，即x241，x23时才能取到最小值，但x23不成立，故(3)错答案(1)×(2)×(3)×2当x0时，x的最小值为_解析因为x0，所以x26，当且仅当x，即x3时等号成立答案63当x(0,1)时，x(1x)的最大值为_. 【导学号：91022247】解析因为x(0,1)，所以1x

3、0，故x(1x)2，当x1x，即x时等号成立答案合 作 探 究·攻 重 难利用基本不等式求最值(1)已知t0，则函数y的最小值为_(2)已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_(3)已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值 C最大值1 D最小值1解析(1)yt4242，当且仅当t，即t1或t1(舍)时，等号成立，y的最小值为2.(2)xy12·12·12·3，当且仅当，即x，y2时，等号成立，xy的最大值为3.(3)f(x)1.当且仅当x2，即x3时，等号成立答案(1)2(2)3(3)D规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是

4、寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.跟踪训练1(1)已知x0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x3，求f(x)x的最大值解(1)因为x0，所以f(x)3x212，当3x，即x2时，f(x)的最小值为12.(2)当x3时，x30，f(x)x333，因为3x24，当3x，即x1时，f(x)431.基本不等式在实际问题中的应用某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次

5、面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？思路探究先以购买面粉间隔天数为自变量，平均每天支付的总费用为函数值建立函数模型，再利用基本不等式求最值解设该厂每隔x天购买一次面粉，则其每次购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管费及其他费用为3×6x6(x1)6(x2)6×19x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)9006×1 8009x10 809210 80910 989，当且仅当9x，即x10时等号成立故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把

6、要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)写出正确答案.跟踪训练2.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3­3­2，设池塘所占总面积为S平方米图3­3­2(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值解(1)由图形知，3a6x，a.S·a

7、2aa1 832.即S1 832(x>0)(2)由S1 832，得S1 83221 8322×2401 352，当且仅当时等号成立，此时，x45，即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米基本不等式的综合应用探究问题1(1)当x0时，有最大值，还是最小值？(2)当x0时，有最大值，还是最小值？提示(1)当x0时，x22，当x1时等号成立，即有最小值2.(2)当x0时，因为x2，所以，故有最大值.2(1)设a0，b0，(ab)的最小值是什么？(2)设a0，b0，且ab1，的最小值是什么？提示(1)(ab)332，当b2a时等号成立；(2)由于ab1，所以(ab)23，

8、当b2a，即a，b时，的最小值为32.(1)若对任意的x0，a恒成立，求a的取值范围(2)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，求的最小值. 【导学号：91022248】思路探究(1)在中，分子、分母同时除以x，求得的最大值，可得a的范围(2)由条件求得a与b的关系式，可求的最小值解(1)设f(x)，x0，x2，f(x)，即f(x)max，a.(2)由题意得，3a·3b()2，即ab1，(ab)2224，当且仅当，即ab时，等号成立母题探究：1.(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求的最小值(2)在例3(2)中，把条件换为“和的等差中项是”，求2ab的最小值

9、解(1)由3是3a与3b的等比中项，得3ab32，即ab2，故(ab)1，所以(ab)2，当ab1时等号成立(2)由于和的等差中项是，则1，故2ab(2ab)5529.当ab3时等号成立母题探究：2.(变条件)把例3(2)的条件换为“a0，b0，且abab1”，求ab的最小值解abab1，得b0，故0a1，故abaaa1a122222，当a1，即a1时等号成立规律方法最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f(x)a恒成立af(x)min.(2)f(x)a恒成立af(x)max.当 堂 达 标·固 双 基1下列函数中，最小值为4的函数是()AyxBysin x(0x)Cyex4exDylog3xlogx81CA中x1时，y54，B中y4时，sin x2，D中x与1的关系不确定，选C.2设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是() 【导学号：91022249】A6B4C2D8Bab3，2a2b2224.3函数f(x)x(33x)，x(0,1)，的最大值为_解析f(x)3x(1x)3×2，当x1x，即x时等号成立答案4一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400