第四章第一节微分方程的基本概念

1、第四章第一节微分方程的基本概念基本内容1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。习题选解1.试指出下列各微分方程的阶数（1）解：一阶（2）解：二阶（3）解：二阶。（4）

2、解：一阶（5）解：一阶（6）解：5阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解（1）， 解：因为，代入微分方程，得：左边=右边，所以是微分方程的解。（2）， 解：因为，代入微分方程，得：左边右边，所以是微分方程的解。（3），解：因为，代入微分方程，得：左边右边，所以不是微分方程的解。（4），解：由，得：，两边微分，得：，即。从而得，所以是微分方程的解。（5），解：因为，代入方程，得到左边右边，所以不是方程的解。（6），解：方程两边对求导，得：，解得，代入微分方程，得：左边=右边，所以是方程的解。3.在下列各题中，确定函数关系中的常数，使函数满足所给的初始条件（1）解：将代入方程，得：，所以

3、。函数为。（2），解：由，得：，将代入原微分方程，；代入，得：，所以。函数为。（3），；解：将代入原方程，得：，所以，又将代入，得：，从而，代入，得：。函数为，即。4.设函数是方程的通解，求。解：由，得：，代入微分方程，得：左右，从而，。5.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分解：设为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：，其中表示切线的坐标，令，得切线在轴上的截距为，即切线过点，令，得切线在轴上的截距为，即切线过点，由题意，切点是和两点的中点，所以有：（或），即所求微分方程为（2）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方解：设为

4、曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：，其中表示切线的坐标，令，得切线在轴上的纵截距为，即切线过点，由题意有：。（3）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标与纵坐标的平均值；解：设为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：，其中表示切线的坐标，令，得切线在轴上的纵截距为，即切线过点，由题意，有：。（5）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1。解：设为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：，其中表示切线的坐标，令，得切线在轴上的截距为，即切线过点，令，得切线在轴上的截距为，即切线过点，由题意，有：。第四章第二节一阶微分方程基本内容1. 可分离变量方程：如果一个一阶微分方程能

5、写成的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程。可分离变量方程求解方法为等式两边同时积分。2. 齐次方程：如果一阶微分方程化为，则称此方程为齐次微分方程。齐次方程求解方法为引入变量替换，代入齐次方程,到可分离变量方程。3. 一阶线性方程：称为一阶线性微分方程，如果 ，方程称为齐次的;如果不恒等于零，则方程称为非齐次的。齐次线性方程求解公式为；非齐次的线性方程求解公式为。4. 贝努利方程：形如的方程称为贝努利方程。当时,它是一阶线性非齐次微分方程；当时,它是一阶线性齐次微分方程。贝努利方程求解方法为等式两边同除以，得到。令 ，方程转化为关于的一阶线性非齐次微分方程。求出这方程的通解后,以代，便得

6、到伯努利方程的通解。习题选解1.求下列微分方程的通解（1）解：原微分方程为，分离变量，得：，两边积分，得到，即，。所以方程的通解为，其中。（2）解：原微分方程为，分离变量，得：，两边积分，得到方程的通解为：。（3）解：分离变量，得：，积分，得到，即，可得：，所以原方程的解为：，其中。（4）解：原方程为，分离变量，得到，两边积分，即，所以原方程的通解为，其中。（5）解：分离变量，得：，积分，得到，所以原方程的通解为，其中。（6）解：分离变量，得：，积分，得到，化简，得原方程的通解为：。（7）解：方程可化为，这是一个齐次方程，设，则，代入原方程，得到，分离变量，得：，等式两边积分，得到，即，其中，

7、。代入得原方程的通解为。（8）解：这是一个齐次方程，设，则，代入原方程，得：，分离变量，得到，积分，得：，即，其中，所以原方程的通解为。（9）解：方程两边同时除以，化简得：，这是一个齐次方程，设，则，代入原方程，得：，化简得：，分离变量，得到，积分，得：，代入，得到，即化简，也即其中。所以原方程的通解为。（10）解：由原方程，得：，将看成因变量，看成自变量，这是一个齐次方程，设，则，对求导，得：，代入原方程，得：，分离变量，得：，两边积分，得到，即=，其中，代入，得：，所以原方程的通解为。2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解（1）解：分离变量，得：，积分得通解为，代入初始条件，得，特解为，

8、即。（2），解：分离变量，得：，两边积分，得通解：，即，其中，代入初始条件，得：，所以特解为。（3），解：原方程是一个齐次方程，设，则，代入原方程，得：，分离变量，得：，积分，得到，代入初始条件，得到，所以原方程的特解为。（4），解：原方程可以化为=，这是一个齐次方程，设，则，代入原方程，得：，分离变量，得：，积分，由有理函数积分法，得到=，即，代入，得：，所以通解为，代入初始条件，得：，所以特解为。3.求下列微分方程的通解（1）解法一：原方程可以化为一阶非齐次线性方程：，先解对应的齐次方程：的通解，分离变量，得：，积分得：，化简，可得齐次方程的通解为，其中利用常数变易法，设函数为原方程的解，

9、则，代入原方程，得：，化简得：，积分，得：，代入得原方程的解为解法二：原方程化为一阶非齐次线性方程：，代入求解公式，得通解为 （2）解：这是一阶非齐次线性方程，代入求解公式，得通解为： 另外，也可以用常数变易法来解（如（1）中的解法一），以下各小题类似。（3）解：这是一阶非齐次线性方程，,代入求解公式，得通解为 （4）解：原方程可以化为：，这是一个以为自变量，为因变量的一阶非齐次线性方程，代入求解公式，得通解为化简，得通解为：，其中（5）解：原方程可以化为一阶非齐次线性方程 ，。代入求解公式，得通解为（6）解：这是的贝努利方程，两边同时除以，得设，则，代入原方程化为一阶非齐次线性方程：，代入求

10、解公式，得通解为：代入得原方程得通解为（7）解：这是的贝努利方程，两边同时除以，得到设，。代入原方程得到一阶非齐次线性方程。代入求解公式，得通解为代入得方程的通解为：（8）解：原方程可以化为：，这是的贝努利（Bernoulli）方程，两边同时除以，得到设，。代入原方程得到一阶非齐次线性方程代入求解公式，得通解为代入，得原方程的通解为：4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) ，解：原方程化为一阶非齐次线性方程，代入求解公式，得通解为：代入初始条件得：1所求特解为：（2）解：原方程为一阶非齐次线性方程，代入求解公式，得通解为：代入初始条件，得：所求特解为：（3）解：原方程可化为一阶非齐次线

11、性方程：代入求解公式，得通解为：代入初始条件，得所求特解为：。(4) 解：原方程为的贝努利方程，两边同时除以，得。设，代入原方程化为一阶非齐次线性方程：。代入求解公式，得通解为：从而。代入初始条件，得：所求特解5求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（）处的切线斜率等于。解：由题意，有得所得微分方程为一阶线性方程，代入求解公式，得通解：代入初始条件得所求曲线方程为：6设有一质量为m的质点做直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受到一与速度成正比（比例系数为）的阻力作用。求质点运动的速度与时间的函数关系。解：设质点的运动速度为，由题意，质点所受合外力为：由牛顿第二运动定律为加速度，有上式可化为一阶非齐次线性方程：，代入求解公式，得速度与时间的函数关系为：代入初始条件得，所以所求速度为。7用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，再求出其通解：