第二节三角形及其性质

1、 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 第四章第四章 三角形三角形第二节第二节 三角形及其性质三角形及其性质第一部分第一部分 考点研究考点研究 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定 考点精讲三角形及三角形及其性质其性质三角形及其三角形及其边角关系边角关系特殊三

2、角形的特殊三角形的性质及判定性质及判定三角形分类三角形分类三角形边角关系三角形边角关系三角形的重要线段三角形的重要线段 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录三角形分类三角形分类按边分按边分按角分按角分不等边三角形不等边三角形_等边三角形等边三角形锐角三角形锐角三角形_钝角三角形钝角三角形等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录三角形边三角形边角关系角关

3、系边的关系：两边之和边的关系：两边之和_第三边，两边第三边，两边之差之差_第三边第三边角的关系角的关系边角关系：同一个三角形中，等边对等角，边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对等角对_，大边对，大边对_内角和等于内角和等于_任意一个外角任意一个外角_和它不相和它不相邻的两个内角之和邻的两个内角之和任意一个外角大于任何一个和它任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角不相邻的内角大于大于小于小于180等于等于等边等边大角大角 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录三角形的重要线段三角形的重

4、要线段角平分线角平分线中线中线高线高线中位线中位线 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录角平分线：如图，角平分线：如图，AD是是ABC的角平分线，也的角平分线，也 可以有以下三种等价描述可以有以下三种等价描述 （1）AD平分平分_交交BC于点于点D （2）BADDAC12_ （3）BAC2BAD2 _11 11 BACBACDAC 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录中线：中线：如图，如图

5、，AM是是ABC的中线，也可以有以下的中线，也可以有以下三种等价描述：三种等价描述：（1）AM是是ABC中中 _边上的中线边上的中线（2）点）点M是是 _边的中点边的中点（3）BM _ _BC重心：三角形的三条中线的交点，到三角形顶重心：三角形的三条中线的交点，到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的点的距离等于它到对边中点距离的2倍倍12 12 13 13 14 14 15 15 BCBCMC12 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录高线：高线：如图，如图，AD是是ABC的高，也可以有以下

6、的高，也可以有以下两种等价描述：两种等价描述：（1）AD垂直于垂直于 _，垂足为，垂足为D（2）ADB90或或ADC90垂心：三角形的三条垂心：三角形的三条 高线的交点高线的交点16 16 BC 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录中位线：如图，中位线：如图，DE是是ABC的中位线，也可以有的中位线，也可以有 以下两种等价描述以下两种等价描述 （1）DE平行于平行于 _且且DE= _BC （2）点）点D是是AB边的边的 _，点，点E是是AC边的边的 _ 17 17 18 18 19 19 2

7、0 20 BC中点中点中点中点12 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定概念概念性质性质判定判定面积计算公式面积计算公式 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如 图图 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩

8、转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录性质性质1.两底角相等两底角相等2.两腰相等两腰相等3.它是轴对称图形，有一条对称轴它是轴对称图形，有一条对称轴4.顶角的顶角的 _，底边上的高和底边，底边上的高和底边的中线互相重合的中线互相重合21 21 角平分线角平分线 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录判定判定1.有两边相等的三角形是等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形2.有两角相等的三角形是等腰三角形有两角相等的三角形是等腰三角形 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精

9、讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录面积计算公式：面积计算公式：S= ah，其中，其中a是底边长，是底边长，h是是 底边上的高底边上的高12 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定概念概念性质性质判定判定面积计算公式面积计算公式 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录概念：三边都相等的三角形叫做等

10、边三角形，概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形， 如图如图 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录性质性质1.三边相等三边相等2.三角相等，且每一个角都等于三角相等，且每一个角都等于 _3.是轴对称图形，有是轴对称图形，有 _条对称轴条对称轴23 23 22 22 60三三 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录判定判定1.三边都三边都 _的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形2.三角都三

11、角都 _的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形3.有一个角是有一个角是 _的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形边三角形24 24 25 25 26 26 相等相等相等相等60 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录面积计算公式：面积计算公式：S= ah，a是三角形任意一边的是三角形任意一边的 长，长，h是任意边上的高是任意边上的高12 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录直角三角形的性

12、质与判定直角三角形的性质与判定性质性质判定判定面积计算公式面积计算公式 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录性质性质1.两锐角之和等于两锐角之和等于 _2.斜边上的中线等于斜边的斜边上的中线等于斜边的 _3.30角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，则有，则有a2+b2=c2，如图，如图5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的

13、一半，那么这条直角边所对的锐角等于一半，那么这条直角边所对的锐角等于3027 27 28 28 90一半一半 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录判定判定1.有一个角为有一个角为90的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形2.勾股定理逆定理：若勾股定理逆定理：若a2+b2=c2,则以则以a、b、c为为边的三角形是直角三角形边的三角形是直角三角形3.一条边的中线等于这条边的一半的三角形是一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形直角三角形4.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的

14、三角形是直角三角形 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录面积计算公式：面积计算公式：S= _= ch，其中，其中a、b为两为两 个直角边，个直角边，c为斜边，为斜边，h为斜边上的为斜边上的 高高1212ab29 29 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 重难点突破 特殊三角形性质求角度（特殊三角形性质求角度（高频）例例1（2015乐山乐山）如图，在等腰三角形）如图，在等腰三角形ABC中，

15、中，AB=AC，DE垂直平分垂直平分AB，已知，已知ADE=40，则，则DBC=_. 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 DE垂直平分垂直平分AB，AD=BD，AED=90，A=ABD， ADE=40，A=90-40=50， ABD=A=50， AB=AC,ABC=C= （180-A）=65,DBC=ABC-ABD=65-50=1512【解析解析】 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录

16、在特殊三角形中求角的度数，涉及的知识点在特殊三角形中求角的度数，涉及的知识点有三个：有三个： 等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质直角三角形的性质. 等腰三角形的性质是连接题中边角关系的重等腰三角形的性质是连接题中边角关系的重要桥梁，把边的关系转化成角的关系（如等边对要桥梁，把边的关系转化成角的关系（如等边对等角，等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的等角，等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的角平分线重合）是等腰三角形性质的本质所在角平分线重合）是等腰三角形性质的本质所在. 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训

17、营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以在等腰三角形性质的基础上，等边三角形每个内在等腰三角形性质的基础上，等边三角形每个内角是角是60，是解决角度问题时常用的性质，是解决角度问题时常用的性质. 在直角三角形中直角三角形的两个锐角互余在直角三角形中直角三角形的两个锐角互余以及含以及含30角或角或45角的直角三角形的性质在解角的直角三角形的性质在解题时常常会用到题时常常会用到. 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年

18、中招真题年中招真题 目录目录1. 如图，如图，AD是等边三角形是等边三角形ABC的中线，的中线，AE=AD,则则EDC=( )A. 30 B. 20C. 25 D. 15 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 AD是等边三角形是等边三角形ABC的中线，的中线，CAD=30，ADBC， AE=AD，ADE是等腰三角形，是等腰三角形，ADE=AED= （180-EAD）=75,ADBC,ADC=90,EDC=ADC-ADE =90-75=15.12【解析解析】 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训

19、营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录2. （2015菏泽菏泽）如图，）如图，ABC中，中，C=90，AE平平分分BAC,BDAE交交AE的延长线于的延长线于D.若若1=24 ，则则EAB等于等于( )A. 66 B. 33C. 24 D. 12 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 C=90，BDAE, CAE+AEC=90，1+BED=90， AEC=BED(对顶角相等）对顶角相等）.CAE=1=24， AE平分平分BA

20、C，EAB=CAE=24.故选故选 C【解析解析】 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 与直角三角形结合的动态问题与直角三角形结合的动态问题例例2（2015江西江西）如图）如图,在在ABC中中,AB=BC=4, AO=BO,P是射线是射线CO上的一个动点上的一个动点,AOC=60,则当则当PAB为直角三角形时为直角三角形时,AP的长为的长为_. 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 由于

21、点由于点P在射线在射线CO上运动，上运动，当当PAB为直为直角三角形时，有三种情况：（角三角形时，有三种情况：（1）当）当APB90时，时，如解图，当点如解图，当点P在线在线段段CO上时，上时，AB=BC=4，AO=BO，AO=2，PO=AO=2， AOC=60，APO是等边三角形，是等边三角形，AP=AO=2；解图解图【解析解析】 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录如解图所示，当点如解图所示，当点P在在CO的延长线上时，的延长线上时，AB=BC=4，AO=BO，AOC=60，OP=OA=

22、OB=2， POB=AOC=60，POB是等边三角形，即是等边三角形，即PB=OB=2，AP= ；2222422 3ABBP解图解图 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录（2）当）当ABP=90时，如解图所示，时，如解图所示，AB=BC=4，AO=BO，AOBO2，又又BOP=AOC=60，ABP=90，BP= ,在在RtAPB中，中，AP= = ; AP的长度为的长度为2或或 或或 .22AB +PB224 +(2 3) =2 72 32 2 3 3解图解图2 7 尾页尾页首页首页考点特训

23、营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 本题考查等腰三角形性质与直角三角形的判本题考查等腰三角形性质与直角三角形的判定定.解答此题的关键在于当解答此题的关键在于当PAB为直角三角形时为直角三角形时要分类讨论，并且当要分类讨论，并且当APB=90时要分点时要分点P在在CO上与点上与点P在在CO的延长线上两种情况的延长线上两种情况. 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录3. 如图，在如图，在ABC中，中，ABC90，A

24、B5，BC12，P是是BC边上一动点，设边上一动点，设BPx，若能在，若能在AC边边上找到一点上找到一点Q，使，使BQP90，则，则x的取值范围为的取值范围为_. 尾页尾页首页首页考点特训营考点特训营考点精讲考点精讲考点特训营考点特训营重难点突破重难点突破玩转河南玩转河南8年中招真题年中招真题 目录目录 当点当点P与与C重合时，以重合时，以BP为直径作圆与为直径作圆与AC交交于点于点Q1，则，则BQ1C90，此时，此时x=12是最大值；是最大值；当以当以O为圆心，为圆心，BP1为直径的圆与直线为直径的圆与直线AC、AB相切相切时，存在时，存在BQ2P1=90，AB、AC是是 O的切线，的切线， AQ2AB5，又，又 AC =13， CQ2=8，易