第二十讲-矩形、菱形、正方形

1、第二十讲第二十讲矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 禹城市华奥学校中学数学组禹城市华奥学校中学数学组基础知识导航基础知识导航考点考点1 1矩形矩形 矩形定义矩形定义 有一个角是有一个角是_的平行四边形叫做矩形的平行四边形叫做矩形 矩形的矩形的性质性质 对称性对称性 矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴 矩形是中心对称图形，它的对称中心就是矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点对角线的交点定理定理 (1)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_角；角；(2)矩形的对角线互相平分并且矩形的对角线互相平分并且_ 推论推论 在直角三角形中，斜边上的中线等于在直

2、角三角形中，斜边上的中线等于_的一半的一半 直角直角 直直 相等相等 斜边斜边 矩形的矩形的判定判定 (1)定义法定义法 (2)有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线对角线_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形 拓展拓展 (1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；角形；(2)矩形的面积等于两邻边的积矩形的面积等于两邻边的积 相等相等 考点考点2 2菱形菱形 菱形菱形定义定义 有一组有一组_相等的平行四边形是菱形相等的平行四边形是菱形 菱形的菱形的性质性质 对称性对称性 菱形是轴对称图形，两条对角线所在

3、的直线是菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴它的对称轴 菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点角线的交点 定理定理(1)菱形的四条边菱形的四条边_；(2)菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相_平分，并且平分，并且每条对角线平分每条对角线平分_ 邻边邻边 相等相等 垂直垂直 一组对角一组对角 菱形的菱形的判定判定 (1)定义法；定义法；(2)四条边四条边_的四边形是菱形；的四边形是菱形；(3)对角线互相对角线互相_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形 菱形菱形面积面积 (1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积底由于菱形是平行

4、四边形，所以菱形的面积底高；高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的积的_ 相等相等 垂直垂直 一半一半 考点考点3 3正方形正方形 正方形正方形的定义的定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形做正方形 正方形正方形的性质的性质 (1)正方形对边正方形对边_ (2)正方形四边正方形四边_ (3)正方形四个角都是正方形四个角都是_ (4)正方形对角线相等，互相正方形对角线相

5、等，互相_，每条对角线平，每条对角线平分一组对角分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点有四条，对称中心是对角线的交点 平行平行 相等相等 直角直角 垂直平分垂直平分 正方形正方形的判定的判定 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形 判定正方形的思路图：判定正方形的思路图：（1 1）平行四边形平行四边形有一组邻边相有一组邻边相等有一个角是直角等有一个角是直角（2 2）矩形矩形一组邻边相等一组邻边相等（3 3）菱形

6、菱形一个内角是直角一个内角是直角（4 4）对角线互相垂直平分且相等）对角线互相垂直平分且相等四边形四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质从边、角、对角线、对称性方面对比对边相等，对边平行对边相等，对边平行对边相等，对边平行对边相等，对边平行对边相等，对边平行；对边相等，对边平行；四边都相等四边都相等边边对边相等，对边平行；对边相等，对边平行；四边都相等四边都相等对角相等，邻角互补对角相等，邻角互补对角相等，邻角互补对角相等，邻角互补四个角都是直角四个角都是直角对角相等，邻角互补对角相等，邻角互补角角对角相等，邻角互补对角相等，邻角互补四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角线互相平

7、分对角线互相平分且对角线互相平分且相等相等对角线互相对角线互相垂直垂直平分，且平分，且每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角对角线互相对角线互相垂直垂直平分，平分，相相等等，且，且每条对角线平分一每条对角线平分一组对角组对角轴对称轴对称图图 形形中心对中心对称图形称图形对称对称轴轴对称对称中心中心否否是是是是是是是是是是无无两条两条两条两条对角对角线的线的交点交点是是是是四条四条平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系考点考点4 4中点四边形中点四边形 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是顺次连接菱形各边

8、中点所得到的四边形是_顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是_顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是常见结论常见结论顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形中点四边形 定义定义 菱形菱形 矩形矩形 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是_ 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是_ 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是形是_ 顺次

9、连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是四边形是_ 正方形正方形 菱形菱形 菱形菱形 矩形矩形 考考 点点 探探 究究探究一矩形的性质及判定的应用探究一矩形的性质及判定的应用 命题角度：命题角度：1. 矩形的性质；矩形的性质；2. 矩形的判定矩形的判定例例1 1 2013白银白银 如图如图251，在，在ABC中，中，D是是BC边边上的一点，上的一点，E是是AD的中点，过的中点，过A点作点作BC的平行线交的平行线交CE的延长线于点的延长线于点F，且，且AFBD，连接，连接BF.(1)线段线段BD与与CD有何数量关系，为什么？有何数量关系，为

10、什么？(2)当当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？是矩形？请说明理由请说明理由图图251解：解：(1)BDCD.理由如下：理由如下：AFBC，AFEDCE，FAECDE.又又E是是AD的中点，的中点，AEDE.AFE DCE.AFCD.又又AFBD，BDCD.(2)ABC满足满足ABAC时，四边形时，四边形AFBD是矩形是矩形理由如下：理由如下：AFBC，AFBD，四边形四边形AFBD是平行四边形是平行四边形ABAC，BDCD，ADBC.ADB90.四边形四边形AFBD是矩形是矩形命题角度：命题角度：1. 菱形的性质；菱形的性质；2. 菱形的判定菱形的判定例例2

11、 2 2013泰安泰安 如图如图252，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABAD，CBCD，E是是CD上一点，上一点，BE交交AC于于F，连接，连接DF.(1)证明：证明：BACDAC，AFDCFE；(2)若若ABCD，试证明四边形，试证明四边形ABCD是菱形；是菱形；(3)在在(2)的条件下，试确定的条件下，试确定E点的位置，使点的位置，使EFDBCD，并说明理由，并说明理由探究二菱形的性质及判定的应用探究二菱形的性质及判定的应用 图图252解：解：(1)ABAD，CBCD，ACAC，ABC ADC.BACDAC.ABAD，BAFDAF，AFAF.ABF ADF.AFBAFD.又又CFEA

12、FB，AFDCFE.所以所以BACDAC，AFDCFE.(2)ABCD，BACACD.又又BACDAC，DACACD，ADCD.ABAD，CBCD，ABCBCDAD.所以四边形所以四边形ABCD是菱形是菱形方法点析方法点析 在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形若是任意四边形，则需证四条边都四边形还是任意四边形若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明边相等来证明(3)当当BECD时，时，EFDBCD.理由：理由：

13、四边形四边形ABCD为菱形，为菱形，BCCD，BCFDCF.又又CF为公共边，为公共边，BCF DCF.CBFCDF.BECD，BECDEF90.EFDBCD.探究三正方形的性质及判定的应用探究三正方形的性质及判定的应用 命题角度：命题角度：1. 正方形的性质；正方形的性质；2. 正方形的判定正方形的判定图图253例例3 3 2013龙岩龙岩如图 253，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，连接 BD 并延长交EG 于点 T，交 FG 于点 P，则 GT()A. 2B22C2D1B解析解析BD、GE 分别是正方形 ABCD，正方形 CEFG的对角线，AD

14、BCGE45，GDTBDC45，DTG180GDTCGE180454590，DGT 是等腰直角三角形两正方形的边长分别为 4，8，DG844，GT22422.探究四特殊平行四边形的综合应用探究四特殊平行四边形的综合应用 命题角度：命题角度：1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2. 矩形、菱形、正方形的关系转化矩形、菱形、正方形的关系转化例例4 4 2013梅州梅州 如图如图254，在四边形，在四边形ABFC中，中，ACB90，BC的垂直平分线的垂直平分线EF交交BC于点于点D，交，交AB于点于点E，且，且CFAE.(1)求证：四边形求证：四边形BECF

15、是菱形；是菱形；(2)若四边形若四边形BECF为正方形，求为正方形，求A的度数的度数图图254解：解：(1)证明：证明：BC的垂直平分线的垂直平分线EF交交BC于点于点D，BFFC，BEEC.又又ACB90，EFAC.BE ABDB BC.D为为BC中点，中点，DB BC1 2，BE AB1 2，E为为AB中点，即中点，即BEAE.CFAE，CFBE，CFFBBECE，四边形四边形BECF是菱形是菱形(2)如图，如图，四边形四边形BECF为正方形，为正方形，BEC90.又又AECE，A45.探究五中点四边形探究五中点四边形 命题角度：命题角度：1. 对角线相等的四边形的中点四边形；对角线相等的

16、四边形的中点四边形；2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形对角线互相垂直的四边形的中点四边形例例5 5 2013恩施恩施 如图如图255所示，在梯形所示，在梯形ABCD中，中，ADBC，ABCD，E、F、G、H分别为边分别为边AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形的中点求证：四边形EFGH为菱形为菱形 图图255证明：连接 AC、BD.E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点，EHBD，FGBD，EHFG12BD，HG12AC.四边形 EFGH 是平行四边形在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCD，BDAC，EHHG，平行四边形 EFGH 是菱形方法点析方法点析 依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直相等、