九年级数学下册三角函数的计算同步练习

3三角函数的计算

知识点1利用计算器求三角函数值

1•用计算器求cos9°，以下按键顺序正确的是（）

4恒回日8.网|必|「=|

C国回叵］日。回国国目

图1一3一1

2.［2019•威海］为了方便行人推车过某天桥，市政府在10小高的天桥一侧修建了40/〃

长的斜道（如图1一3一1所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按

键顺序是（）

4亚的回日回回日

8.|.5||2〃/啊|"1回15后］

C画］同口回国臼

O.［亚|施］回口回回日

3•用计算器求tan26°，cos2V，s〃?28°的值，它们的大小关系是（）

A-tan260<cos210<sin2Sz

B-tan260Vs加280<cos270

C,s/7/28°<tan260<cos27°

D-coslTVs加28°<tan260

4•用计算器求下列式子的值（结果精确到0.0001）：

s”?48°30'28"+。。§53°26'34"+S〃32”.

知识点2利用计算器由三角函数值求角

5•已知cos0=0.2534，则锐角0约为（）

A-14.7°B.14°V

C-75.3°D.75°3'

6•在/?/AABC中，ZC=90c，BC：AC=3:4，运用计算器计算NA的度数为(精确

到1°)()

A•30°B.37°C.38°D.39°

7•根据卜列条件求锐角B的大小.（精确到1"）

⑴s加0=0.3247;（2）cos0=0.8607；

（3）s〃0=0.8790;0=9.2547.

知识点3利用三角函数解决实际问题

8•如图I-3一2所示，两条宽度都是1的纸条交叉重叠放在一起，且夹角为28°，则

重登部分的面积约为（）

A-2.1B,1.1C.0.47D.1

9•一出租车从立交桥头直行了500m，到达立交桥的斜坡上高为25冶处，那么这段斜

坡路的倾斜角约为.（精确到1"）

图1-3-2

10•如图1—3—3所示，某名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车

线路到另外一山峰C处.若AC长为1800m，两山峰底部BD相距900小，则由A观看C

的俯角Za=.

11•若太阳光线与地面成37。角，--棵树的影长为10m，树高为h〃？，则h的范围最

接近的是（）

A•3<hW5B.5<h<10

C-10<h<15D.h>15

图113一4

12.如图1一3—4，在&Z\ABC中，NC=90°，/ABC=30°的中点，则

NDBC的度数约为()

4•16°1'4.15°

C-16.1°D.15.1°

13•将45°的NAOB按图1―3—5所示方式摆放在一把刻度尺上，顶点0与尺下沿的

端点重合，0A与尺下沿重合，0B与尺上沿的交点B在尺上的读数为2c”若按相同的方式

将37°的/AOC放置在该刻度尺上，则0C与尺上沿的交点C在尺上的读数约为

结果精确到0.1cm）

14，在RAABC中，ZC=90°，计算下列各题：［边长精确到0.01，角度精确到1〃）

(l)AC=3，BC=2.4，求/A，ZB；

(2)AB=9，BC=5.5,求AC和NB.

15•如图1一3一6，伞不论张开还是收紧，伞柄AM始终平分同一平面内两条伞架所成

的角NBAC，当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，E，D在同一条直线上.已知部

分伞架的长度如下（单位：cm）：

伞架DEDFAEAFABAC

长度363636368686

（1）求AM的长；

（2）当NBAC=104。时，求AD的长（结果精确到1cm）.

图1-3一6

16如图1—3一7，某人在C处看到远处有一凉亭B在凉亭B正东方向有一棵大树A，

这时此人在C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东35°方向上.又测得A，C

之间的距离为100〃?，求A，B之间的距离.（结果精确到1m）

图1一3一7

17如图1一3—8所示在aABC中，/B=30°，P为AB上的一点，且BP：PA=1：2，

PQJ_BC于点Q，连接AQ，你能否根据题目中的L知条件，确定出NAQC的度数？若能，

请给出求解过程：若不能，请给题目加一个合适的条件，再给出求解过程.（结果精确到1°）

图1-3-8

详解详析

1.A2.A3.C

4•［解析］注意按键的先后顺序及精确度.

解：原式心1.3448.

5•C［解析］利用计算器求解.

6-B

7•［解析］注意计算器的使用方法.

解：(1)18°56'51".(2)30°36'17".

(3)41°18'56".(4)83°49'59".

8-A

25I

9•2°5y58"［解析］设斜坡路的倾斜角为N。，则sin。=示=看，利用计算器求

出Na.

10•60°

11-B［解析］如图所示，在Rt△48c中，N44c=37°，4C=10m»AC=htn.

VtanZJ5C=^>/.A=10tan370.

Vtan30c<tan370<tan45°，

・••最接近的范围是5〈辰10.

x

.2

12-C［解析］设AC=x，则AB=2x>BC=g，CD=2，因此ianZDBC=^=6

利用计算器可求得N。8cM6.1°.

13•2.7

BC24

14•解：(1)•「tart4=一—0.89

**VxD

/.ZJ^38°39'35”，N8心51°20'25〃.

(2)JC=^J52-Z?C2=^/92-5.52^7.12，

BC=5:5

VcosB=~AB=~

・・・N8252°19'48".

15•解：(1)当伞收紧时，动点。与点“重合，

二4"=/E+。七=36+36=72(cm).

(2)J£)=2X36cos52°^2X36X0.6157^44(cm).

16♦解：过点。作CD_L4?于点。.

在RtAJCD中，

VZACD=35°，4C=100m，

/.AD=1OOsinNACD=100X0.574=57.4(m)，

CZ)=100cosZJCZ)^100X0.819=81.9(m).

在RtABCD中，•・•Z5CD=45°，

・・・8Z)=C681.9m.

则48=4。+8。-57.4+81.9-139(1力).

答：A，4之间的距离约为139m.

17，解：能.过点力作力。_L8c于点。，

■:PQLBC3.AD〃PQ，

.改—竺」PQBPBP1

**QD=AP=2，AD=AB=AP-\-PB=5，

：,QD=2BQ，AD=3PQ.

在RtAPBQ中，Z5=30°，

：.BQ=^PQ，，0O=24PQ.

在RtA^Z)£＞中，由勾股定理可得/1Q=/P0，

0Q_2小尸0_2巾

cosZAQC=Q0.7559.

AQ_gPQ_7

，N/QC-41

课时课题：第一章第三节三角函数的有关计算第二课时

课型：新授课

教学目标：

（1）经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，能够运用计算器辅助解决含三角

函数值以及角度计算的实际问题，进一步体会三角函数的意义；

（2）借助计算器解决含三角函数值计算的实际问题，提高解题效率，提高用现代工具

解决实际问题的能力；

（3）发现实际问题中的边角关系，并运用三角函数定义解决有关计算问题，在解决简

单的应用题基础上体会三角函数方法独特意义，感受三角函数值随角度变化而连续变化

的过程.

教法及学法指导：

本节应用五环教学模式：创设情境一感知探究一合作交流一拓展应用一总结升华.通过

第1节的学习，学生」经会用计算器求出锐角的三角函数值了，本节课是要由三角函数值利

用计算器求出锐角的大小，并学会解决实际生活中的相关问题.对于计算器多数学生很聪明

不用交就会，因而就由他们去教部分还不会的同学，主要以学生的自主活动、主动探究为主.

根据新课程要求，在实际教学中，尽可能采取学生自主探索、合作交流，通过分析交流，

总结规律及建立数学模型妁经验.

课前准备：

教师准备：课件、计算器

学生准备：计算器、预习新课

教学过程：

一、创设情境

师：大家听说过“扛着竹竿过城门”的故事吗？

生：有一个鲁国人扛着一根长长的竹竿进城去卖.他横着、竖着

比划了半天，就是进不了城门.有个老头对他说：将竹竿从中间截成

两段不就可以亳不费力地进城了？于是他找来锯子，将竹竿锯成两段，然后进了城门.可是,

这个卖竹竿的人在城里转了一天，竹竿就是卖不出去.因为他没想到，锯短的竹竿虽然是扛

进了城，但是由于其用途不大，无人问津，所以几乎成了废品.

生：这则寓言既讽刺了鲁国人的愚套可笑，更嘲笑了那个自以为见多识广、喜欢乱出主

意、好为人师的老头.正是类似这老头的一些人的瞎指点，使许多好事都办糟了.

师：如果是你的话，你会怎样建议这个人?

生：将竹竿按行进的方向进去就可以了.

生：如果竹竿不是很长，沿着对角线应该也可以的.

师：如果城门宽8米，高6米的话，竹竿有9米的话，可不可

以按你的建议进去？

生：可以.如图，根据勾股定理，可得对角线力A长为10米,

只要不超过10米就可以进去了.

师：请根据三角函数的定义，分别说出NA的正切值、正弦值、余弦值.

443

生：tanA=—,sinA=—,cosA=-

355

师：那么NA是多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.

【设计意图】从讲笑话引入，让学生感到可笑的同时，切入直角三角形复习三角函数的

定义，井求锐角的三角函数值，设置问题问学生能否知道锐角的值，对于这个问题待学完用

科学计算器求锐角时再来解决，让学生带着不会的问题来学习会更有主动性.

【实际效果】学生都在笑话这个鲁人，从中悟出了对待问题解决的思路很是关键.对于

三角函数的定义学生很明确，由于起点较低，所以学生很容易入手.对于利用计算器求NA

的度数，有些预习的学生能够说出，也可以用这些学生来讲解，调动大家的积极性.

二、感知探究

1.探究利用计算器由三角函数值求角度

师：请大家根据课本第19-20页和计算器说明书，求出NA的度数，看结果是否和课本

上的一致？

生：学生根据课本和说明书，自己探究如何操作.

按键顺序显示结果

®回©回

sinA=0.9816(Z)sin'0.9816=78.99184039

回CD回目

丽的何CD®

cosA=0.8607cos'O.8607=30.60473007

CD(D(U(H)

回画回日卬

tanA=0.1890tan'O.1890=10.70265749

CD(3d](3

画画⑤

tanA=56.78CDCDtan'56.78=88.99102049

CD(DE]

显示结果是以“度”为单位的.再按画画键即可显示以

说明“度、分、秒”为单位的结果.以后在用计算器求角度时如果没有

特别说明，结果精确到即可.

师：请大家总结已知三角函数值求锐角时，按键的大致顺序?

生：第一步：按“Shift”键或“2IKT键；

第二步：按相应的三角函数键，即按下“sin,cos或tan”键；

第三步：按己知的三角函数值；

第四步：按』”键得到相应角度；

第五步：按回国键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.

【设计意图】相信学生完全可以通过自学、互助，求锐角的度数，因而由学生讲解调动

其主动性，尤其让那些动手能力强的来做这项工作.然后再总结利用计算器由三角函数值求

锐角的按键顺序，让学生学会及时总结规律，为进一步的学习与应用做好基础.

【实际效果】学生对动手操作很感兴趣，很快能求用相应的锐角的度数，但还欠缺总结

归纳能力.由于部分学生的计算器型号不一样，更大地调动了学生的主动性，通过互助和阅

读说明书，也学会了利用计算器求角的度数.

2.实践操作利用计算器由三角函数值求角度

师：根据下列条件求锐角。的大小：（课本第22页第I题）

(1)tan6=2.9888；(2)sin=0.3957：

(3)cos6=0.7850；(4)tan6=0.8972；

(5)sin^=—；(6)

2d2

生：⑴71。30'2”；（2）23°18'35M：（3）38°16'46"：（4）41°53'54M.

生：（5）30°;（6）45°.我用完计算器才发现是特殊角.

师：大家再回头算一下，刚开始我们提出的问题：若sinA=2,NA的度数？

5

生：ZA=53748”.

【设计意图】巩固训练学生能够通过计算器熟练地由三角函数值求锐角的度数，后面两

道题是特殊角的三角函数值，让学生感受到这些值是不需要使用计算器，直接口算即可.最

后，解决上课开始提出的问题.

【实际效果】学生基本上都能够准确熟练地操作计算器，但部分学生对转化为度、分、

秒的形式还没有掌握.后面两题利用计算器计算完之后才发现

是特殊角.

3.解决实际应用题

【例1】如图，工件上有一V形槽,测得它的上口宽20mm,

深19.2mm,求V形角（匚力C8）的大小？（结果精确到1°）

师：结合图形分析已知条件，并说出如何求角大小？

生：由题意可得，AABC是等腰三角形，作可得RtAACD.

1An

生：在RtAACD中，AD=-AB=\0,CD=19.2,因而要选择tan/ACD=——来

2CD

求NACO的大小，再乘以2就可以求出V形角（匚4C8）的大小.

生：解：□tan□JCD=—=—=0.5208,

CD19.2

□HC627.5。,

□TJCT=2JCD^2x27.5°=55o.

生:我也可以利用勾股定理求出4c的长，利用cos/ACO=±C±D求出NACO的大小，

AC

再乘以2也可以求出V形角（口力。8）的大小.

生：可以，但是不如上一种方法简单，绕着有点远了，能够用己知的两边选择相应的三

角函数求出角就可以了.

【设计意图】这是一道实际应用问题，想知道V形角的大小，而直接测量存在一定的

困难，因而通过测量长度通过三角函数值来求角的大小，是很实用的一种方法，要让学生

体会到数学的实用价值.

【实际效果】由于给出了示意图，学生很容易找到直角

三角形，并利用三角函数值去求角的度数，除了课本上的方

法，学生还给出了不同的解法，把问题交给学生会得到更多

的方法，由学生分析每个方法的优劣.

【例2】如图，•名患者体内某重要器官后面有•肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最

大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下63cm

的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角？

师：这是作为医生在开刀之前必须要掌握的角度，请大家务必仔细认真，事关人命！

生：根据图示很简单，知道：在RtMBC中，/C=6.3cm,8C=9.8cm,选择tan8=—,

BC

即可求出射线与皮肤的夹角.

解:如图，在Rt匚48C中，4c=6.3cm,8c=9.8cm,

□tan8=2^=—==0.6429.

BC9.8

匚於32。44'13".

因此,射线与皮肤的夹角约为32。44，13”.

生：平时常听老师说：“生活处处有数学”，通过这道题，我的感触最深了，“数学不仅

就在我身边，还与我的生命息息相关”！

【设计意图】这道实际应用题更加体现了本节课知识的实用性，确实需要知道角度，而

且角度又不易测量，可以充分使学生感受到建立直角三角形（数学模型）的重要性、计算的

重要性和学习“直角三角形边角关系”的重要性.

【实际效果】学生对这个问题感到很新奇，对于所学基本的数学知识来解决神秘的医学

问题特高兴，同时也让学生课下上网多了解这方面的知识.

三、交流提高

1.让学生以小组为单位交流例题心得.

师：通过这两道实际应用题，大家认为如何将生活中的数学问题，用所学知识米解决？

生：首先要将实际问题化归为数学问题，即构造直用三角形.

生：然后根据条件边的情况，确定要用三个三角函数中的哪一个.然后将数据代入，利

用计算器求出即可.

生：如果是特殊角的三角函数值，直接写出特殊角，就不用计算器了.

2.归纳解直角三角形的基本理论依据

师：在RtL48c中，ZC=90°,所对的边分别为。，4c.请大家总结一

下边角之间有哪些关系？

生：边的关系：勾股定理）；

生：角的关系：NA+/笈=90°；

生：边角关系：siiiA=—,cosA=—,tart4=—,sinB=—,cosB=—,tanB=

ccbcc

b

【设计意图】总结这些边角关系，为解直角三角形奠定基础，完善学生的知识结构，有

利于学生系统全面了解直角三角形的边角关系，最终解决综合应用题.

【实际效果】对「边角关系，学生只想到了刚刚学到的三角函数关系，把最基础的边的

关系和角的关系给漏掉了，经总结后学生的知识得到了系统归纳.

四、拓展应用

师：同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图是某公园新增设的）或、

一台滑梯，该滑梯高度47=2米，滑梯AB=3.8米.若规定、

NA8C不超过30。时属于安全滑梯，请说明这架滑梯是否符合8C

要求.

生：在RIA48C中，己知AC=2,AB=3.8,选择三角

函数正弦求出NA8C的度数，只要不超过30。就安全了.

解：在RtMBC中，AC=2,AB=3.8,

2

□sin8=——=——=0.5263,

AB3.8

□□欣31。45'20”>30°,

□这架滑梯不符号要求.

生：由“直角三角形中30。所对的直角边生于斜边的一半”可得

当N43O30。时，滑梯高度4c=2米，滑楞A8应该为4米，

为了安全，NA6c不超过30。，所以滑梯48=3.8<4米，

匚这架滑梯不符号要求.

师：那请大家思考：若要符合要求，滑梯A8应该再加长多少？

生：由第二种方法，可知至少要加长0.2米.

【设计意图】这是一道距离学生很近也很熟悉的实际应用题，也涉及到安全问题，让学

生用所学知识来检验，是“学有用的数学”最好的体现.

【实际效果】学生很感兴趣，有的说这个周末就去公园去检测一下里面的滑梯是否安全,

极大地调动了学生的积极性.

五、总结升华

生：我看课本自己就学会了利用计算器由三角函数值求锐角的度数.

生：我是通过看说明书学会的.

生：对于一些特殊角的三角函数值，我们还是多记点，不需要借助计算器了.

生：通过例2,我深切感到了数学的应用价值.

生：我们系统地总结了三角形的边角关系，为解决应用题奠定了基础.

【设计意图】让学生小组交流，总结本节课的收获与感想，教师适当点拨与肯定.鼓励

学生大胆发表见解，让学生不仅总结知识，更重要的是要通过本节课总结情感体验上的收获,

进一步认识数学的应用价值，对学生的触动很大.

【实际效果】学生在这一环节能大胆发言，畅谈自己的收获与疑问，脸上露出了获取知

识的喜悦.学生通过回顾本节课的学习过程，体会到“学有用的数学，学有价值的数学”，

越发感到数学的亲切！

六、当堂反馈

1.根据下列条件求锐角。的大小：

(1)sin6M).829O；(2)cos6M),8780；(3)tan用2.8266.

【考查知识点】利用计算器由三角函数值求锐角

2.在AAAC中，NA,N8均为锐角，且有|tan|+(2sin4-省产=0,试判

断AA3C的形状..

【考查知识点】非负数的性质、特殊角的三角函数值//1

3.一辆汽车沿着一11坡行驶了1()00米，其铅直高度上升了50米.求//I

山坡与水平面所成锐角的大小.

2.5

【考查知识点】由正弦值求角度

4..一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯

子与地面所成的锐角？

【考查知识点】构造直角三角形、由余弦值求角度

七、作业设置

1•【基础】课本第22页“知识技能”第1题.

【考查知识点】利用计算器由三角函数值求锐知

2.【提升】课本第22页“问题解决”第3题.

【考查知识点】比例尺、利用计算器山三角函数值求锐角

3.【拓展】课本第22页“联系拓广”第4题.

【考查知识点】利用计算器由三角函数值求锐角、探究规律

1五

4.【链接中考】(2012•济宁)在AA8C中，若NA,满足|cosA--|+(sinA-J)、。，

22

则NC=.

【考查知识点】非负数的性质、特殊角的三角函数值

板书设计：

13三角函数的有关计算(2)

一、按键的大致顺序：二、典例分析：例2

例1

教学反思:

本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三

角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生住建模

能力及转化思想.将现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓

励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又

渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认

识的桥梁.

缴期麴意翻遂幽的K榭S硼蹴卿幽酸I他册船腌弱懒酶物磔的牖制嫩麒趣激嫄婚髭㈱

L3三角函数的有关计算

一、选择题

1.在aABC中，ZC=90°,a=5,c=17“用科学计算器求NA约等于)

A.17.6°B.17’6'C.17°16'D.17.16°

2.一个直角三角形有两条边长分别为3,4,则较小的锐角约为)

A.37°B.41°C.37°或41°D.以上答案均不对

3.如图，在AA5C中，AC=3»BC=4,43=5,则tan3的值是()

4

（IBc，ID.

-I5

4.在用AABC中，ZC=90,AC=-AB,则cosA等于（）

3

A.述B,1

C.2>/2

33

5.如图，已知正方形A8CO的边长为2,如果将线段50绕着点8旋转后，点。落在C8

的延长线上的点。'处，那么tanNBA。等于（

7

A.1B.y/2叵D.

c2

二、填空题

6.计算tan46°.（精确到0.01）

7.在AABC中,NC=90若tanB=2,〃=1,。则人二

8.在用AA8c中，BC=3,AC=6ZC=90,则ZA=

9.在AABC中，ZC=90,tanA=2,则sinA+cosA=

4

10.在用AA3C中，ZC=90\sinA=-,BC=20,则AABC的面积为

5

三、解答题

11.在等腰直角三角形48c中，NC=9O,AC=1O,。是AC上一点，若tanNOBC=，,

5

求AO的长.（9分）

12.如图，学校的保管室里一，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角

为45°,如果梯子的底端。固定不动，顶端靠在对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60,

求此保管室的宽度48的长.（10分）

图1•48图1-49图1•50

13.如图1一48所示，一测量员站在岸边的A处，刚好正对河岸另一边B处的一棵大树，这

位测量员沿河岸向右走了50m到达C处，一在C处测得/ACB=38°,求河的宽度.（精确到

0.01m,tan38°比0.7813）

14.如图1一49所示，两建筑物的水平距离为24m,从A点测得D点的俯角为60°,测得

C点的仰角一为40°,求这两座建筑一物的高.（、后叱1.732,tan400n0.8391,精确到0.01

m）

15.如图1—50所示，一个能张开54°的圆规，若两脚长均为15cm,则该圆规所画的圆中

最大的直径是多少？（sin27。^0.4540,精确到0.01uui）

16.如图1一51所示的是一辆自行车的,侧面示意图.已知车轮直径为65cm,车架中AC的

长为42cm,座杆AE的长为18cm,点E,A,C在同一条直线上，后轴轴心B与中轴轴心

C所在直线BC与地面平行，ZC=73°,求车座E到地面的距离EF.（结果精确到1c