二次函数中存在性问题解决策略草稿

1、二次函数中存在性问题解决策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。例一、如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴

2、相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；(3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1二次函数的解析式为 (2）设点D的坐标为（m，0） (0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， DE=CDE的面积=××m=当m=1时，CDE的面积最大点D的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的

3、解析式为设y=0则 解得：x1=2 x2=1点B的坐标为（1，0） C（0，1）设直线BC的解析式为：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直线BC的解析式为: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=点B(1,0) 点C（0，1）OB=OC BCO=450当以点C为顶点且PC=AC=时，设P(k, k1)过点P作PHy轴于HHCP=BCO=450,CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）以A为顶点，即AC=AP=设P(k, k1)过点P作PGx轴于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2(2

4、k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) 以P为顶点，PC=AP设P(k, k1)过点P作PQy轴于点QPLx轴于点LL(k,0)QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) 综上所述： 存在四个点：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)1、如图，已知抛物线y=x2+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求点A、B、C的坐标。（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求BCM的面积。（3）连接AC，在x

5、轴上是否存在点P使ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（2009辽宁省锦州市）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由BAyOPECx如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B

6、，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；(3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.四、存在相似三角形已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；(3)连接OA、AB，如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的

7、坐标；若不存在，说明理由。AABBOOxxyy图图江苏苏州设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且ACB=90°(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标(3)在(2)的条件下，BDP的外接圆半径等于_解：(1)令x=0，得y=2 C(0，一2)ACB=90°，COAB, AOC COB,OA·OB=OC2；OB= m=408年湖南省湘潭已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.xyF-2-

8、4-6ACEPDB521246G（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得： 解得故抛物线的函数关系式为（2）在抛物线上，点坐标为（2，6），、C在直线上 解得直线BC的解析式为设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，

9、0）（3）存在P，使得 设P，故若要，则要或即或解得或又在抛物线上，或解得或故P点坐标为和10分（只写出一个点的坐标记9分）08江苏苏州如图，抛物线与轴的交点为直线与轴交于，与轴交于若两点在直线上，且，为线段的中点，为斜边上的高（1）的长度等于 ； ， DxyNOMPACBH（2）是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个点，直线与直线的交点是否总满足，写出探索过程解：（1）；，（2）设存在实数，使抛物线上有一点，满足以为顶

10、点的三角形与等腰直角相似以为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形若为等腰直角三角形的直角边，则由抛物线得：，的坐标为把代入抛物线解析式，得抛物线解析式为即若为等腰直角三角形的斜边，则，的坐标为把代入抛物线解析式，得抛物线解析式为，即当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，显然不在抛物线上，故抛物线上没有符合条件的其他的点当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直角三角形，又

11、，总满足当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，同理可证得：，总满足09湖南长沙如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由yOxCNBPMAyxOCBAD09辽宁十二市已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A、

12、B两点，交轴于点C，且对称轴为直线（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设PAD的面积为S，令Wt·S，当0t4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；图1探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由图2yxOCBAD（参考资料：抛物线对称轴是直线）解：（1）抛物线（）的对称轴为直线，（2）探究一：当时，有最大值yxOCBADMP抛物线交轴于两点，交轴于点，4分当时，作轴于，则， 6分7分当时，有最大值，8分探究二：存在分三种情况：当时，作轴于，则，yxOCBADMP1EP2，轴，轴，此时，又因为， ，当时，存在点，使，此时点的坐标为（0，2）10分（结论1分，过程1分）当时，则，与不相似，此时点不存在12分（结论1分，过程1分）当时，以为直径作，则的半径，圆心到轴的距离，与轴相离不存在点，使综上所述，只存在一点使与相似14分（结论1分，过程1分）（其它方法可参照此答案给分）yOCDB6Ax09青海矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，直线与边相交于点（1）求点的坐标；（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）