导数在研究函数中的应用 2

1、 导数在研究函数中的应用1函数的单调性、极值都是定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的性质时，首先要研究函数的定义域，再利用导数f(x)解决2通过判断函数定义域被导数为零的点或不可导点所划分的各区间内导数f(x)的符号，来判断函数f(x)在该区间上的单调性；f(x)>0(或f(x)<0)在区间(a，b)上成立只是f(x)在这个区间上递增(递减)的充分条件，而不是必要条件，因此，由函数单调性求其所含参数的取值问题时，对于导数值为零的点需要单独验证，以免出错3根据极值的定义，导数为0的点只是可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才

2、是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数也不一定为零，还要考察函数在该点处的导数是否存在4一般地，要证明不等式f(x)>g(x)在区间I上恒成立，则可构造函数h(x)f(x)g(x)，通过讨论h(x)在区间I上的取值范围，判断出函数h(x)的单调性，然后由函数h(x)在区间I上的一个初始值，证得不等式成立5.函数单调性的讨论往往归结为一个不等式，特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行，即分类讨论的标准是，先二次项系数、再根的大小在指定区间上不等式的恒成立问题可转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间

3、上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案方法指导 1.利用函数的导函数的正负性确定函数的单调性2两个单调递增(或递减)区间不能“并”起来函数的单调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在定义域范围内进行3函数的极值点必须满足在该点左右两侧导数值异号当函数的导数可以归结为一个二次三项式时，这个二次三项式的判别式是否大于零，决定这个函数是否有极值点，而且研究函数的极值也应在定义域范围内进行4综合作答有下列规则：(1)当分类对象是问题的主元(或所求对象)时，综合作答时应将分类子集及子问题的答案分别“合并”；(2)当分类的对象不是问题的主元(或所求对象)，

4、而是参变元时，再现各子问题的答案的形式或形状是否相同，则“合并”分类的子集作答；(3)否则，由问题所求的对象而定需比较大小或优劣时，则应比较各子问题的答案作答(此时应“合并”分类的各子集)，其他情况均分别作答；(4)当出现多级分类讨论时，在第一级下，不同类中的第二级分类的某个子集相同，此时的答案应作合并，注意这里的“合并”有两种：其一是合并子问题的答案，其二是合并分类的子集5在闭区间a，b上的连续函数yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值(1)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的一般步骤是：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b

5、)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)极值与最值的区别：函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值函数在定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有(3)f(x)>m恒成立等价于_；f(x)<m恒成立等价于_6求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题

6、；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证探究点1利用导数研究函数的单调性 例12011·北京卷 已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围探究点2利用导数研究函数的极值 例2已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值探究点3导数在方程、不等式中的应

7、用 例32011·烟台调研 已知f(x)xlnx，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有lnx成立探究点4导数方法求解函数的最值问题 例1设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值变式题 已知函数f(x)x2eax，其中a0，e为自然对数的底数(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的区间0,1上的最大值点评 计算简单定积分的步骤：把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)f(x)；利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；计算所求定积分的值注：求函数f(x)在某个区间上的定积分