专题特殊平行四边形课后练习及详解

1、特殊平行四边形课后练习主讲教师：傲德题一：下列说法中，正确的是()A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B对角线相等的四边形是平行四边形 C四条边相等的四边形是菱形D矩形的对角线一定互相垂直题二：如图，四边形 ABCD 中，ABCD则下列说法中，不正确的是( A当 AB=CD，AO=DO 时，四边形 ABCD 为矩形B. 当 AB=AD，AO=CO 时，四边形 ABCD 为菱形C. 当 ADBC，AC=BD 时，四边形 ABCD 为正方形D. 当 ABCD，AC=BD 时，四边形 ABCD 为等腰梯形)，在四边形 ABCD 中，点 E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=FD题三：(1)

2、若四边形 AECF 是平行四边形，求证：四边形 ABCD 是平行四边形；(2) 若四边形 AECF 是菱形，那么四边形 ABCD 也是菱形吗？为什么？(3)若四边形 AECF 是矩形，试四边形 ABCD 是否为矩形，不必写理由题四：如图，任意四边形 ABCD，对角线 AC、BD 交于 O 点，过各顶点分别作对角线 AC、BD 的平行线，四条平行线围成一个四边形 EFGH试想当四边形 ABCD 的形状发生改变时，四边形 EFGH 的形状会有哪些变化？完成以下题目：(1) 当 ABCD 为任意四边形时，EFGH 为；当 ABCD 为矩形时，EFGH 为；当 ABCD 为菱形时，EFGH 为；当 A

3、BCD 为正方形时，EFGH 为；(2) 请对(1)中你所写的结论进行证明(3) 反之，当用上述方法所围成的平行四边形 EFGH 分别是矩形、菱形时，相应的原四边形 ABCD 必须满足怎样的条件？第 - 1 - 页题五：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=5cm，BC=8cm，M 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一动点(P 与 B，C 不重合)，连接 PM 并延长交 AD 的延长线于 Q(1) 试说明PCMQDM；(2) 当 P 在 B、C 之间运动到什么位置时，四边形 ABPQ 是平行四边形？并说明理由题六：如图，矩形 ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，动点 M 从点

4、 D 出发，按折线 D-C-B 方向以 2cm/s的速度运动，动点 N 从点 D 出发，沿 DA 方向以 1cm/s 的速度向点 A 运动动点 M、N 同时出发， 当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动(1)若点 E段 BC 上，且 BE=4cm，经过几秒钟，点 A、E、M、N 组成平行四边形？(2)动点 M、N 在运动的过程中，线段 MN 是否经过矩形 ABCD 的两条对角线的交点？如果线段 MN过此交点，请求出运动的时间；如果线段 MN 不过此交点，请说明理由题七：在矩形 ABCD 的各边 AB，BC，CD 和 DA 上分别选取点 E，F，G，H，使得 AE=AH=CF=CG，如果 A

5、B=60，BC=40，求四边形 EFGH 的最大面积题八：已知：在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=12，四边形 EFGH 的三个顶点 E、F、H 分别在矩形ABCD 边 AB、BC、DA 上，AE=2(1) 如图 1，当四边形 EFGH 为正方形时，求GFC 的面积；(2) 如图 2，当四边形 EFGH 为菱形，且 BF=a 时，求GFC 的面积(用含 a 的代数式表示)；第 - 2 - 页(3)在(2)的条件下，GFC 的面积能否等于 2？请说明理由题九：ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点(点 D 不与点 B、C 重合)，ADE 是以AD 为边的等边三角形，过点

6、E 作 BC 的平行线，分别交射线 AB、AC 于点 F、G，连接 BE(1) 如图 a 所示，当点 D段 BC 上时求证：AEBADC；探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；(2) 如图 b 所示，当点 D 在 BC 的延长线上时，直接写出(1)中的两个结论是否成立；(3) 在(2)的情况下，当点 D 运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由题十：两块完全相同的三角板(ABC) 和三角板(A1B1C1) 如图 放置在同一平面上(C=C1=90°，ABC=A1B1C1=60°)，斜边重合若三角板不动，三角板在三角板所在的平面上向右滑动，图是滑动

7、过程中的一个位置(1) 在图中，连接 BC1、B1C，求证：A1BC1AB1C；(2) 三角板滑到什么位置(点 B1 落在 AB 边的什么位置)时，四边形 BCB1C1 是菱形？说明理由题十一：如图，已知，在四边形 ABCD 中，ADBC，BD 平分ABC，A=120°，CD= 4，ABC=DCB，求 BC 的长第 - 3 - 页题十二：已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3求：四边形 ABCD的面积第 - 4 - 页特殊平行四边形课后练习参考题一： C详解：A对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误； B对角线互相平分的

8、四边形是平行四边形，故本选项错误； C四边相等的四边形是菱形，故本选项正确； D矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选C 题二： C详解：选项A 的结论正确，AB=CD 可判定为平行四边形，AO=DO 可判定对角线相等，故是矩形；选项B 的结论正确，AB=AD 可判定ABD 为等边三角形，AO=CO 可判定CDB 也为等边三角形，故是菱形； 选项C 的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；选项D 的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形； 故选C题三： 见详解详解：连 AC，设 AC、BD 相交于点 O，(1) 四边形 AECF 是平行四边形，OE=OF，OA=OC，BE

9、=FD，OB=OD四边形 ABCD 是平行四边形；(2) 四边形 AECF 是菱形，OE=OF，OA=OC，ACBDBE=FD，OB=OD四边形 ABCD 是菱形；(3) 四边形 ABCD 不是矩形题四： 见详解详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形；(2) 结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为 AC、BD当 ABCD 为任意四边形时，EFGH 为平行四边形EHACFG，EFBDGH，四边形 EFGH 为平行四边形若 ABCD 为矩形，则 EFGH 为菱形EHACFG，EFBDGH四边形 EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH 均为平行四边形EH=AC=F

10、G，EF=BD=GH四边形 ABCD 为矩形AC=BDEH=AC=FG=EF=BD=GH四边形 EFGH 为菱形(3) 当平行四边形 EFGH 是矩形时，四边形 ABCD 必须满足：对角线互相垂直 当平行四边形 EFGH 是菱形时，四边形 ABCD 必须满足：对角线相等题五： 见详解详解：(1)ADBC，QDM=PCM，M 是 CD 的中点，DM=CM，第 - 5 - 页DMQ=CMP，PCMQDM；(2)当四边形 ABPQ 是平行四边形时，PB=AQ，B=AD+QD，8-CP=5+CP，CP=(8-5)÷2=1.5 ，当 PC=1.5 时，四边形 ABPQ 是平行四边形 题六： 见

11、详解详解：(1)点 N 只在 AD 上运动，当点 M 运动到 BC 边上的时候，点 A、E、M、N 才可能组成平行四边形， 即 2.5t7.5，设经过 t 秒，四点可组成平行四边形分两种情形：当 M 点在 E 点右侧，如图：此时 AN=EM，则四边形 AEMN 是平行四边形，DN= t，CM=2t -5，AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)，10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1，2.5t7.5，t =1 舍去；当 M 点在 B 点与 E 点之间，如图， 则 MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t，ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t

12、 -11=10-t，解得 t =7，此时符合，当 t =7 秒时，点 A、E、M、N 组成平行四边形；(2)动点 M、N 在运动的过程中，线段 MN 能经过矩形 ABCD 的两条对角线的交点，此时 M 在 BC 上，如图，四边形 ABCD 是矩形，OA=OC，ADBC，NAO=MCO，在ANO 和CMO 中，NAO=MCO，AO=OC，AON=COM，ANOCMO(ASA)，AN=CM，设 N 运动的时间是 t 秒，则 10-t=2t -5，解得：t =5，即动点 M、N 在运动的过程中，线段 MN 能经过矩形 ABCD 的两条对角线的交点，此时运动的时间是 5 秒题七： 1250详解：设 A

13、E=AH=CF=CG=x，四边形 EFGH 的面积是 S 由题意，BE=DG=60-x，BF=DH=40-x，则第 - 6 - 页SAHE =SCGF = 1 x2，SDGH =SBEF = 1 (60-x)(40-x)，2所以四边形 EFGH 的面积为：2S=60×40 -x2 -(60-x)(40-x)= -2x2 +(60+40)x= -2(x-25)2当 x=25 时，S 最大值=1250 题八： 见详解详解：(1)如图 1，过点 G 作 GMBC 于 M在正方形 EFGH 中，HEF=90°，EH=EF，AEH+BEF=90°，AEH+AHE=90

14、76;，AHE=BEF，又A=B=90°，AHEBEF，同理可证：MFGBEF，GM=BF=AE=2，FC=BC-BF=10，SGFC =10，(2)如图 2，过点 G 作 GMBC 于 M连接 HFADBC，AHF=MFH，EHFG，EHF=GFH，AHE=MFG又A=GMF=90°，EH=GF，AHEMFGGM=AE=2(0x 40)；11SGFC= FC GM=(12-a)×2=(12 -a)22(3) GFC 的面积不能等于 2，点 H 在 AD 上，菱形边长 EH 的最大值为 2 37 ，BF 的最大值为 2又因为函数 SGFC =12-a 的值随着 a

15、 的增大而减小，所以 SGFC 的最小值为 122 21 又122 21 2，GFC 的面积不能等于 221 ，题九： 见详解详解：(1)ABC 和ADE 都是等边三角形，AE=AD，AB=AC，EAD=BAC=60°又EAB=EAD-BAD，DAC=BAC-BAD，EAB=DAC，AEBADC(SAS)方法一：由得AEBADC，ABE=C=60° 又BAC=C=60°，ABE=BAC，EBGC 又EGBC，四边形 BCGE 是平行四边形方法二：证出AEGADB，得 EG=AB=BCEGBC，四边形 BCGE 是平行四边形(2) 都成立(3) 当 CD=CB (C

16、AD=30°或BAD=90°或ADC=30°) 时，四边形 BCGE 是菱形 理由：方法一：由得AEBADC，BE=CD，又CD=CB，BE=CB由得四边形 BCGE 是平行四边形，四边形 BCGE 是菱形 方法二：由得AEBADC，BE=CD第 - 7 - 页又四边形 BCGE 是菱形，BE=CB，CD=CB方法三：四边形 BCGE 是平行四边形，BECG，EGBC，FBE=BAC=60°，F=ABC=60°，F=FBE=60°，BEF 是等边三角形 又AB=BC，四边形 BCGE 是菱形，AB=BE=BF，AEFG，EAG=30&

17、#176;，EAD=60°，CAD=30° 题十： 见详解详解：(1)三角板(ABC)和三角板(A1B1C1)是两块完全相同的三角板，AC=A1C1，AB=A1B1，A=A1，在图中 A1B=AB1，A1BC1AB1C；(2)点 B1 落在 AB 边的中点理由：，由已知条件知 BC=B1C1，BCB1C1，四边形 BCB1C1 是平行四边形，要使四边形 BCB1C1 是菱形，则 BC=CB1，ABC=A1B1C1=60°，BCB1 为等边三角形，BB1=B1C=BC，1又A=30°，在直角三角形 ABC 中，BC= AB，21BB1= AB，点 B1 落在 AB 边的中点2题十一： 8详解：ADBC，A=120°，ABC=180°-120°=60° ，11BD 平分ABC，DBC=ABC=×60°=30