等和线解决地平面向量专题

1、实用标准文案1、【2014宁波二模理17】已知点。是 ABC的外接圆圆心，且 AB=3 AC=4.若存在非车头 数 x、v,使得 AO =xAB + yAC ,且 x + 2y =1,贝U cos / BAC =.A文档解答：取 AC中点 D,则有 AO = xAB+yAC =xAB +2yAD ,而 x + 2y = 1 ,得点 B,O,D三点共线，已知点O是 ABC的外心，可得 BD _L AC ,故有 BC=AB=3 AC=4,求得2cos Z BAC = 一 .32、2014杭州二模文8理6】设O ABC的外心（三角形外接圆的圆心）.若- 11AO =AB +AC ,则 /BAC 的度

2、数为（）33A.30 B.45C.60D.901 2解答：取AC中点D,则有AO = AB + AD ,得点B,O,D三点共线，已知点 O是4ABC 33的外心，可得BD _L AC ,即有AO=BO=2DO故可求得/BAC =603、【2009浙江理样卷6】已知MOB,点P在直线AB上，且满足OP = 2tPA+tOB (t w R ),B.C.2D.32t2t-八 1解答：由已知OP = OA+tOB,点P在直线AB上，得 1 +t=1 ,解得t = 1或t= 1 2t1 2t2H 1U 1E, 同1 - 1当t = 1时，可得OA= -OP +OB,此时A为PB中点，Wr=-；当1=一时

3、，可得2 21PB 22T 1 T 1 TPAOP = -OA+OB,此时 P为 AB中点， 1=1.22PB24、12014浙江省六校联考理17】已知O为AABC的外心，AB=2a, AC= （a0）, aZBAC = 120，,若AO = xAB + yAC （ x , y为头数），则x + y的取小值为解答：如图，设 AO|BC=E, EO=m, AO = R ,则易知AO = RAeR -m（x1 AB +y1 AC 其中 x1 + y1 =1 , m wR R_2，R,故由已知可解：由尼二工Q+尸前可得:所以彳2+ 1得x + y =R,所求取值范围是 匕,）.R -m2a1 = 2

4、a2-2y, X = -2x+y # aa【2014浙江省六校联考17】已知。为工的外心，. 二 %,TC=日 aBAC = l2Qf若与工石+t/，为实数卜则 + n的最小值为 一注意外接圆 ABAO =；|AB| 2A6|bs/ao = ：|崩I回卜 2*J 2ACAO = |AC| 2|AO|cos9bao = ： |菽际题设等式拆 得：AB*AO = xAB2 4-yAB-AC , SPAB2 = AB2x - 2y题设等式乘品 得; AC 1 AO = xAB , AC + yAC2 T 即:配* = 2x+AC，*港府二匹|白|画菽+丽-_ |赢打远呼_ 1 / j 1 . X A

5、B = AC2-4 AB2AC?-4 - 3 I 1 J -L 践阖外心必=&XC=三= 若AO=aAB/3ACa.上以则flM陶最小值为多少？解答；将侬在直角坐标系中，且且点和原点一/和谙由方向重合，依据题意有；.原坐标为（。,0）0点坐标为（血0）0点坐标为（二,正工外心座标悬4中垂线和“冲垂线交点。 a a.正中垂线方程为手工=情垂线斜率右当,且经I 黄线的中点19得到外办坐标为与 0Ia J?)3ZBAC = 120 若AO=aAB/3AC(a.小札则浒廓最大值为多少？3, AB =2a,AC = -(a0taeR): AKiC = 120E；若aA0=OAB+pAC 尸古火工则解最小

6、值为多少？4, 域A45很重心，.45 = 2oT.4C = -(41 07 J；).ZBAC = 120 若 aAO=aABpAC(a.义卜贝!I/尸为多少75、【2013学年第一学期末宁波理17】已知。为AABC的外心,AB=4,AC =2,/BAC=120 =。若 AO = % AB + 九2 AC，则 十 % =解法 1:如图，设 AO n BC = E , EO = m , AO = R , AF _L BC 于 F 点，OG _L BC 于U R U R G点，则易知 AO =AE =(x1 AB + y1 AC，其中x1 + y1=1,由已知可求R-mR-m得 og =21 ,

7、AF = 2叵，故可求得 % + % =R 37R-mAF OGAFOG二1 一AF1362AO AB = AB2AC AB8 = 16-1-42$一一 F 一-2，得 S +43AO AC = 1AB AC 2AC2-1 4 25一12解得6 ,故8131 + 32 =.6解法 3：设 A(0,0), B(4,0), C(-1j3),外心O是AB中垂线x = 2和AC中垂线.、32.34.3y = x +的父点 O 2,333,得7012,迪I，AB3= (4,0), ac=(-1，后,2=42得:逑二延，十百，有误,重解 .3312【变式1、已知向量a,b的夹角为,且 | a|=4 , |

8、 b| =2, | a-c |=| b-c|=| c| ,若 c=xa+yb,贝 U x+y=13 .66、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17已知a, b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足c + a=入(c+b)(九R R),则|c|的最小值为 解答：如图，由已知 -c =-b +a，设：=OA，b =OB，_C =- -1 -1OC ,则点C在直线AB上，得C =有最小值二.27、【2012年稽阳联考15】A, B, P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若OP =mAP +(2m3)OB,(m w R),|PA|2解答:8、2013杭二中高三适应考理 17如图，在

9、直角梯形 ABCD中，AD _L AB , AB / DC , AD =DC =1 , AB =2 ,动点P在以点C为圆心，且与直线 BD相切的圆上或圆内移动，设AP=7uAD+NAB （九，NW R）,则儿+ N取值范围是解答：设 APABD = E , AE =m ,AP =n ,则 AP = AE =2(xAB + yAC ),其中 m m2.5 .,n . k .5k表示点P到BC边的距离,x + y =1,得九十 N = = 5 广=1 十k得所求取值范围是m 2.521,21.9、已知等差数列On的前n项和为Sn,若oA = a2 OB+a2009OC,且ABC三点共线（该直线不过

10、点 O）,则S2010等于（D）A . 2010 B . 2008. 1010 D . 100510、已知等差数列Qn ）的前n项和为Sn ,若OAB + a2013 OC, TTlc 三点共线（该直线不过点Q，则 S2014 等于（D）A. 2014B. 2012C. 1012D. 100711、如图，在扇形OAB中，/aob =60：C为弧AB上的一个动点.若OC =XOA+yOB，则解答：如图，在 OB上取一点D,使OB=3OD设OC。AD =E , OE = m , EC = n，则有77t m n m n j4/OC =OE =(x1OA +y1OD ),其中 +y1 =1 ,另有m

11、m 一 一 一 八 mn，ni, 一，一.OC =xOA+yOB =xOA+3yOD ,得 x+3y =1+ ，易知当点 C和点 a重合m m时口达最小值0,当点C和点B重合时口达最大值2,故x + 3yw 1,3】. mm考虑到C为菰上的一个动点，OCxayOB.显然耳卜40卜 f * y/ i 一 1 一 1-* *,两边平方：OC ! = r = xOA- yOB | =工+2盯（93- V ”，消产：y14、若等边AABC的边长为2 ,平面内一点M满足CM = CB十CA ,则MA MB = （ C） 2x j + x:-l = 0?显然A=4-30v得一一工十J3丁21X +223也

12、一百(xe0:lK尸=一j 0 ,2 2&-3亡所以内）在工匠pm上单调递减,f（o）=3, /（1）=1,得幻mi12、如图，四边形 OAB提边长为1的正方形，OD= 3,点P为ABC咕（含边界）的动点, j设OP =aoC +0OD（u, jw R）,则支+P的最大值等于4A.B.139C.D.139=OB =OA OB = 2,13、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点 A, B满足则点集 P |OP =KOA + NOB,九+ R三2,九，R w R标表示的区域的面积是 1653 .1215、若等边AABC的边长为2J3,平面内一点M满足CM = CB+CA,则MA MB =-2

13、_.6316、若M为 MBC内一点，且满足AM=3 AB+-AC ,则AABM与AABC的面积之比17、设。是 AABC 的外心，AO = xAB+yAC, ZB=4AB AC =418、已知。为ABC的外心，32x+25y=25,则 OA = 10 .|AB| = 16,| AC|=10 2,若 AO= xAB + yAC ,且19、已知A、B是单位圆上的两点,O为圆心，且NAOB =120, MN是圆O的一条直径,点C在圆内，且满足OC= ?、OA+（1九）0?（0九1）,则CM CN的取值范围是（C）. -1,1)D. -1,0)20、已知圆。的半径为 2,2 二A、B是圆上两点且NAO

14、B =，MN是一条直径，点 C在3圆内且满足OC =?QA+（1九）OB（0，1）,则CM CN的最小值为（C）A . 2B21 、已知 0( 0 , 0A(cos ,sin) , B(cosP,sin P) ,C(cos：sin ：),若kOA(2 k 0也 号C0 k 2PG AF2一.一.一1 -F21 -2当点P与点G重合时，有最小值 AF = （AB+AC ）=28C（护则尚一1、AABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA+4OB+5OC =0 ,则OC AB4 =解：3OA +OA 4OB =-5OC,两边平方得OA OB -0.元遍=一部-4OB OB-OA =故OC-5 FOB-2、在 MBC 中，AC=2, BC=6, O 是 AABC 内一点，且 OA + 3+兄C/O,则OC BA 2 BC=22由 OA 3OB解法 1：设 B(3,0 ), C(3,0 ), A(x,y ),则由 AC=2得(x 3)+y2=4,3 x V+4OC =0 得。|3_，|,8 8 T 21-x -y得 OC：121,- I， BA