人教版初中数学全等三角形证明题

1、人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案）1 .已知：AB=4AC=2D是BC中点，A混整数，求AD解析：延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADCir等于三角形EBD即BE=AC=2ft三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整数,则AD=512 .已知：D是AB中点，/ACB=90,求证：CD-AB23 .已知：BC=DE/B=/E,/C=/D,F是CD中点，求证：/1=/2证明：连接BF和EF。因为BC=ED,CF=DF：BCFNEDF所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以B

2、F=EF/CBF=DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF。所以/EBFWBEF又因为/ABCWAED所以/ABE=AEB所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF/ABF力ABE它EBF力AEB它BE%AEF所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以/BAF之EAF(/1=/2)。4 .已知：/1=/2,CD=DEEF/AB,求证：EF=AC证明：过E点，作EG/AC,交AD延长线于G则/DEG=DCA/DGE=2又CD=DE/AD冬，GDE(AAS)EG=ACEF/AB/DFE=1/1=/2/DFE=DGE；EF=EG.EF=AC5 .已知：AD平分/BACAC

3、=AB+RD求证：/B=2/CA证明：在AC上截取AE=AB连接EDAD平分/BAG./EAD=BAD又=AE=ABAD=AD.，AE四/ABD(SAS)./AEDWB,DE=DB,AC=AB+BDAC=AE+CECE=DE/C=/EDC/AED=C+/EDC=2C；/B=2ZC6 .已知：AC平分/BADCELAB,/B+/D=18(J,求证：AE=AD+BE13.已知：AB/ED,/EAB之F=/C证明：在AE上取F,使EF=EB,连接CF因为CELAB所以/CE乐/CEF90°因为EB=EF,C曰CE,所以zCE军ACEF所以/B=/CFE因为/B+/D-180°,C

4、CF&/CF/180°所以/又/CFA因为AC平分/BAD所以/DAC=/FAC又因为AOAC所以MD呈AAFC(SAS所以AD-AF所以AE=AF+FE=ANBE12.如图，四边形ABCm，AB/DCBECE分别平分/ABC/BCD且点E在AD上。求证：BC=AB+DC证明：在BC上截取BF=BA连接EF./ABE=FBE,BE=BEW/AB陷AFBE(SAS),/EFBWA;AB平行于CD,则：/A+/D=180;XZEFBVEFC=180，则/EFC=D;又/FCE=DCE,CE=CE/FC陷ADCE(AAS),FC=CDff以,BC=BF+FC=AB+CD.证明：AB

5、/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB所以：/C=/F14 .已知：AB=CD/A=/D,求证：/B=/C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当AD<BC寸,ADE点是射线BA,CD的交点，当AD>BCM,E点是射线AB,DC的交点）。WJ:AED等腰三角形。所以：AE=DEMAB=CM以：'BE=CE（等量加等量，或等量减等量）所以：BEC是七等腰三角形所以：角B=tC.15 .P是/BAC¥分线AD上一点，AC>AB求证：PC-PB<AC-AB证明：作B关于AD的对称点B因为AD是角BA

6、C的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因为PC<PB+B'C,PGPB<B'C,而B'C=AC-AB'=AC-AB所以PC-PB<AC-AB所以，ABF是等腰三角形16 .已知/ABC=2C,/1=/2,BE!AE,求证：AC-AB=2BE证明：/BAC=180(/ABC廿C=18O4/CZ1=ZBAC/2=902/C/ABE=90/1=2/C延长BE交AC于F因为，/1=/2,BE!AEAB=AF,BF=2BEFBCNABC/ABE=/C-2ZC=ZCBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17 .已知，

7、E是AB中点，AF=BDBD=5AC=7求DC证明：作AG/BD交DE延长线于GAGEir等BDEAG=BD=AGZCDFAF=AG=5所以DC=CF=218 .（5分）如图，在ABC中，BD=DC/1=/2,求证：ADLBC证明：延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/DBC=DCBZ1=/2;ZDBC+1=Z角DCB+2;/ABCWACB;所以:AB=AC;三角形ABDir等于三角形ACD;/BAD=CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以：AD垂直BC19 .如图，OMP分/POQMALOPMBLOQA、B为垂足，AB交OMF点N.求证：/OAB/OBA证明：因为AOMfMOEfB为

8、直角三角形、共用OM且/MOA=MOB所以MA=M所以/MAB=MBA因为/OAM=OBM=90度所以/OAB=9O/MABZOBA=90-/MBA所以/OAB=OBA20 .如图，已知AD/BC/PAB的平分线与/CBA勺平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：AD-BOAB.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点， PA/BC-./PAB吆CBA=180,又,，AE,BE均为/PAB和/CBA的角平分线 /EAB吆EBA=90/AEB=90,EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE!BF,且AE为/FAB的角平分线 三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF三角形DEF与三角形B

9、EC中，/EBC=DFE且BE=EF/DEF=CEB，三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BC.AB=AF=AD+DF=AD+BC21 .如图，ABC中，AD是/CAB勺平分线，且ABAGCD求证：/0=2/B证明：在AB上找点E,使AE=ACAE=AC/EADWCADAD=AD.AADtEAADC。DE=CR/AED=CAB=AC+CD,DE=CD=AB-AC=AB-AE=BfiB=ZEDBC=ZB+ZEDB=ZB22 .如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DELAC于E,BF±AC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M(1)求证：MB=MDME=MF(2)当

10、E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由.分析：通过证明两个直角三角形全等，即RtADE(CRtABFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.解答：解：(1)连接BE,DF.DELAC于E,BHAC于F,./DECWBFA=90,DE/BF,在RtDEC和RtBFA中，-.AF=CEAB=CD-RtADECRtABF/A，DE=BF.四边形BEDF是平行四边形.，MB=MDME=MF(2)连接BE,DF.-.DELAC于E,BF±AC于F,./DECWBFA=90,DE/BF,在RtADE

11、C和RtBFA中，AF=CEAB=CDRtADE(CRtABF/A.DE=BF.四边形BEDF是平行四边形.MB=MDME=MF23.已知：如图，DC/AB且DCAEE为AB的中点，(1)求证：AEmEBC(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除EB/卜，请再写出两个与AED勺面积相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明)：证明：(1)DC/AE,且DC=AE所以四边形AECD平行四边形。于是知AD=EC且/EADWBEC由AE=BE所以AE¥EBC(2)AAE(CAACIDECD都面积相等。AD24.如图，ABC43,/BA090度，AB=ACBD是/ABC勺平分线，BD的延长线垂

12、直于过C点的直线于E,直线C&BA的延长线于F.求证：BD=2CE证明：延长BACE,两线相交于点F,BHCE，/BEF4BEC=90在BEF和BEC中/FBE4CBE,BE=BE,/BEF之BEC.BEFBEC(ASA).EF=EC，CF=2CE./ABD廿ADB=90,/ACF吆CDE=90又/ADB=CDE/ABD=ACF在ABD和ACF中/ABDWACF,AB=AC,/BAD=CAF=90.AB¥ACF(ASA).BD=CF，BD=2CE25、如图：DF=CEAD=BC/D=/C。求证：AEDBFC26、如图：AE、BC交于点MF点在AML1,BE/CF,BE=CF求

13、证：AM是ABC的中线。证明：vBE|ICF；/E=/CFM/EBM=FCM,BE=CF.BE阵ACFMBM=CMAM是ABC的中线.27、如图：在ABO,BA=BCD是AC的中点。求证：BD!AC证明：三角形AB的三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角aADB和角CDBf目等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、AB=ACDB=DCF是AD的延长线上的一点。求证：BF=CFF证明：在ABD与4ACD中AB=ACBD=DCAD=AD.AB¥ACD./ADBWADC./BDFhFDC在BDF与FDC中BD=DQBDFhFDCDF=DF=FB阴FC»BF

14、=FC29、如图：AB=CDAE=DFCE=FB求证：AF=DE证明：因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB三角形ABE三角形CDF3为角DCB粕ABFAB=DBF=CE三角形ABF=E角形CD所以AF=DE30.公园里有一条“Z"字形道路ABCD如图所示，其中AB/CD在AB,CDBC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点，试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上证明：:AB平行CD（已知）B=/C（两直线平行，内错角相等）:M在BC的中点（已知）.EM=FM中点定义）在BM和CMNBE=CF（已知）ZB=ZC（已证）EM=FM（已证）A

15、BM除等与CMF（SAS./EMB=FMC（全等三角形的对应角相等）./EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180（等式的性质）.E,MF在同一直线上31.已知：点A、F、E、Cft同一条直线上,AF=CE,BE/DF,BE=DF.求证：4AB图ACDF证明：vAF=CE.AF+EF=CE+EFAE=CF-BE/DF；/BEA=DFC32.已知：如图所示,=AF。又BE=DF./AB图，CDF(SASAB=AD,BODCE、F分别是DCBC的中点，求证：AE证明：连结BD,得到等月三角形ABD和等腰三角形BDC由等腰两底角相等得：角ABC狗ADC在结合A已知条件证得：AD陷AABF

16、得AE=AF33 .如图，在四边形ABCm，E是AC上的一点，Z1=Z2,/3=/4,求证：/5=/6.证明：因为角1二角2/3=/4所以角ADC角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS=三角形ADS等于三角形ABC所以BC等于DC角3等于角4,EC=EC三角形DEC&等于三角形BEC所以/5=/634 .已知AB/DEBC/EF,D,C在AF上，且A&CF求证：AABC2ADEF证明：因为D,C在AF上且AD=CFff以AC=DF又因为AB平行DEBC平行EF所以角A+ftEDF角BCA知F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等35 .已知：如图，AB=AC

17、BDACCEAB,垂足分别为D、E,BDCE相交于点F,求证：BE=CD所以/EBCWDCB所以/BECWCDB三角形EBCir等于三角形证明：因为AB=AC因为BDLACCELABBC=CB公共边）则有所以BE=CDDELAB于E,DF±AC于Fo36 、如图，在4ABC中，AD为/BAC的平分线,求证：DEDF解析：（AAS证AADEAADFADAB于A,BC=AE若AB=5,37 .已知：如图,ACBC于C,DEAC于E,求AD的长证明：角C视E=90度角B神EAD=9(®-角BACBC=AEABCADAEAD=AB=538 .如图：AB=ACMELAB,M吐AC,垂

18、足分别为E、F,ME=MF求证：MB=MC证明：VAB=AC.ABC是等腰三角形./B=/C又vME=MFBEMffiCEM1直角三角形BEMir等飞匕CEM.MB=MC39 .如图，给出五个等量关系：ADBCACBDCEDEDCDABCBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明.已知：求证:证明:已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD在四边形ADBG,连AB所以AAD吐等于BCA所以角D视C以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD,/D=/C,/A=/B,求证明：AD=BC因为/A+/B+/C+/D=360/D=/C,/A=/

19、B,所以2(/A+/D)=360°,/A+/D=180,所以ABACB90ACBCMNCADMNDBEMNE1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADC0CEB;DEADBE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.(1)证明：ZACB=90,aZACD+BCE=90,而ADLMNTD,BE!MNTE,./ADC=CEB=90,ZBCE+CBE=90,./ACD=CBE在RtADCF口RtACEB中，/ADC=CENACD=CBEAC=CBaRtAADC3RtACEB(AAS,.AD=CEDC=BEDE=DC+C

20、E=BE+AD(2)不成立，证明：在ADCffi4CEB中，/ADC=CEB=90/ACD=CBEAC=CB.AD冬ACEB(AAS,.AD=CEDC=BEDE=C-CD=AD-BE41 .如图所示，已知AE±AB,AF，AC,AE=ABAF=AC求证：(1)EC=Bf(2)EC±BF(1)证明；因为AE垂直AB所以角EAB弁EAC角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF弁CAB角BAF=90度所以角EAC狗BAF因为AE=ABAF=AO以三角形EACft三角形FAB全等所以EC=BFlECA=角F延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA殉F(已证)所以角G视CAF因

21、为角CAF=90度所以EC垂直BF42 .如图：BE1ACCF±AB,BM=ACCN=AB求证：(1)AM=AN(2)AMLAN证明：(1)BElACCF±AB，/ABM+BAC=90,/ACN+BAC=90./ABM=ACN,BM=ACCN=AB.MB阵NAC.AM=AN(2)vAB阵NAC./BAM=N/N+/BAN=90二/BAM+BAN=90即/MAN=90AMLAN43 .如图，已知/A=ZD,AB=DE,AF=CD,BC=E求证:BC/EF连接BF、CE证明：ABF全等于DEC(SAS,然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF

22、相等吗请说明理由44 .如图，已知AC/BD,EAEB分另平分/CABffi/DBACDS点E,贝UAB与AC+BD证明：在AB上取点N,使彳3AN=ACZCAEWEAN,AE为公共边，所以三角形CAEir等三角形EAN所以/ANEWACE又AC平行BD所以/ACE廿BDE=18Cm/ANE廿ENB=180所以/ENBWBDENBEWEBNBE为公共边,所以三角形EBNfe等三角形EBD所以BD=BNff以AB=AN+BN=AC+BD45 、如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BE/CF.证明：AD是中线BD=CDDF=DE/BDEWCDFBDECDF/BEDWCFD.BE|ICF46、已知：如图，AB=CDDELACBF±ACE,F是垂足，DEBF.求证：AB/