电磁场与电磁波教材

1、电磁场与电磁波摘要 : 电磁场与电磁波课程与电气专业息息相关，是我们电气专业学生必须学习的， 这学期我们进行了电磁场与电磁波的学习。主要讲解了矢量分析，电磁场的基本定律，时变电磁场，简述了静态电磁场极其边值问题的解。第一章: 矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一。第二章以大学物理（电磁学）为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，第三章分别介绍了静电场、 恒定电场和恒定磁场的分析方法。第四章主要讨论时变电磁场的普遍规律。一、矢量分析电磁场是是分布在三维空间的矢量场，矢量分析是研究电磁场在空间的分 布和变化规律的基本教学工具之一。1 :标量和矢量(1)标量：一个只用大小描述

2、的物理量。矢量：一个既有大小又有方向 特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量一旦被赋予“物理 单位”，则成为一个具有物理意义的矢量，如：电场强度矢量E、磁场强度矢量H、作用力矢量F、速度矢量v等。(2)两个矢量A与B相加，其和是另一个矢量 d矢量D=A+BM按平行四 边形法则得到：从同一点画出矢量 A与B,构成一个平行四边形，其对角线 矢量即为矢量 Q两个矢量A与B的点积是一个标量，定义为矢量 A与B的 与它们之间较小的夹角的余弦之积。(3)两个矢量A与B的叉积是一个矢量，它垂直于包含矢量 A和B的平 面，大小定义为矢量A与B的与它们之间较小的夹角的正弦之积，方向为当 右手四个手指

3、从矢量A到B旋转时大拇指的方向。2:标量场的梯度(1)等值面：标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面，形象直观地描述了 物理量在空间的分布状态。对任意给定的常数C,方程"就”。就是等值方程。(2)梯度的概念：标量场u在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量 u变 ，一一，、， ，一，一，、，一 *ta化率取大的方向，大小等于其取大变化率，并记作 grad u,即grad u= ei| max11直角坐标系中梯度的表达式为 grad u=底(|1 +与：11 +电工U,标量场u的梯度可0 . A i L用哈密顿算符表示为grad u=( £ +员.一+ * ) . u = V

4、il(3)标量场的梯度具有以下特性：标量场u的梯度是一个矢量场，通常称 u 为标量场u所产生的梯度场；标量场u (M)中，再给定点沿任意方向l的方 向导数等于梯度在该方向上的投影；标量场 u (M)中每一点M处的梯度，垂 直于过该点的等值面，且指向u (M增加的方向。3:散度在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面 S,当S所限定的 体积4V一任意方式趋近于0时，则比值四的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作 div F 即 , divF = lin0由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量 F的 通量，所以div F描述了通量源的密度。若div F&g

5、t;0 ,则改点有发出矢量线的正 通量源，若div F<0 ,则改点有汇聚矢量线的负通量源。由散度的定义可知，div F与体积元 V的形状无关，只要在取极限过程中， 所有尺寸都趋于0即可。散度在直角坐标系中的表达式吗帆即 &Zj. P r 转成 jfx .divFSm如口七: J+矢量分析中的一个重要定理是 .二上式称为散度定理（或高斯定理）。表明矢量场F的散度 F在体积V上 的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合面S上的面积分，是矢量的散度的体 积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系， 是矢量分析中的一个重要的 恒等式。4:矢量场的环流与旋度矢量场F沿场中的一条闭合路径C

6、的曲线积分r=Fdl称为矢量场F沿闭合 C路径C的环流。其中dl是路径上的线元矢量，其大小为 dl 、方向沿路径C的 切线方向。矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记作rot F（或记作curl F）,它的方向 沿着使环流面密度取得最大值的面元法线方向，大小等于该环流面密度最大值，即RotF二n|,"J I Rmax矢量场F在点M处沿方向en的环流面密度rotn F等于rot F在该方向上的投影，即eyezl、r-.d dcyczFy Fz高斯定理MF dS =F dlsC5、无旋场与无散场（1）:无旋场如果一个矢量场 是由散度源所产生向 即( U)三0 (2):无散场如果一个矢量场

7、是由旋涡源所产生向 06、拉普拉斯运算F的旋度处处为00即F三0则称该矢量场为无旋场，它标量场的梯度有一个重要性质，就是它的旋度包等于0,F的散度处处为0,即 F三0则称该矢量场为无散场，它 矢量场的性质，旋度的散度恒等于 0,即 . (XA)=标量场u的梯度口是一个矢量场，如果再对口求散度，即 (Vu),称 为标量场u的拉普拉斯算符。7:亥姆霍兹定理在有限白区域V内，任一矢量场由它的散度，旋度和边界条件(即限定区域 V的闭合面S上的矢量场的分布)惟一地确定。二、电磁场的基本规律1、电荷守恒定律电荷是守恒的，它既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移 到另一个分，或者从一个物体转移到

8、另一个物体。电荷密度电荷体密度，体积源口内的电荷量为 q,则该体积内任一源点处的电荷体密度为D(r )=lim3V .。性二泉,电荷体密度的单位为c/m30 电荷面密度ps(r )=1而尔固奈二靠，电荷面密度的单位为C/m3电荷线密度“m即f/二/其单位为c/m 电流密度J的大小等于在该点与J垂直的单位面积的电流,即六防川怖二%?面电流Jf啊呜山一山n6体电流：空间任一点J的方向是该点上正电荷运动的方向,线电流即电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流定理可改写为，.,J+jdV=O，因闭合面s是任意取的，因此他所限定的体积电荷守恒定律电荷是守恒的，它既不能被创造，也不能被消灭

9、，只能从物体的一部分转移 到另一个分，或者从一个物体转移到另一个物体。也就是说，在一个外界没有电 荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面S内流出的电荷量应等于闭合面 S 所限定白体积v内的电荷减少量即 卜由二-，二-'(odV，此即电流连续性 方程的微分形式。设定闭合面S所限定体积V不随时间变化，则将全倒数写成偏应用散度V也是任意的，故可得=0 此式称为电流连续性方程的微分形式。 at在恒定电流场中有*J,dS=O,|=0，此式表明从任意闭合面穿出的包定电流为0,或恒定电流场是一个无散度的场。2、真空中静电场的基本规律电荷按体

10、密度、面密度、线密度连续分布时，场点r处的电场强度分别为;E(r尸一一静电场的散度与旋度高斯定理的微分形式：(r)=',坳表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有密度，静电荷是静电场的通量源。高斯定理的积分形式-=二L;V ,表明电场强度矢量穿过闭合曲面S的通量等于该闭合面所包围的总电荷与 三口之比。静电场的旋度 VxE=0,表明静电场是无旋场，对任意 s求积分，并用斯托克定理工PxE,#=色E，dl得 E,dJ = O,表明在静电场中，沿任意闭合路径C的积分包等于零。其物理含义是将单位正电荷沿静电场中的任一闭合路径移动 一周，电场力不做功。3、真空中恒定磁场的基本规律磁感应强

11、度 E(r)二坪鳖三?,称为毕奥一萨伐定律，磁感应强度的 B的单 4工嘎 |r-r |3位是T (特斯拉)，或阳/苏(若电保)恒定磁场的散度与旋度V<B(r) = O,表明磁感应强度b的散度恒为0,即磁场是一个无通量源的 矢量场。见r>d£ = h5B(r)dV =。,表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0,磁感应线(磁力线)是无头无尾的闭合线。VxB(r)= uj(r),表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。该式称为安培环路定理的微分形式。B(r)卅二【，表明静磁场的磁感应强度在闭合曲线上的环量等于闭合曲线交链的恒定电流的代数和与的乘积。称为安培环路

12、定理的积分形式。4、媒质的电磁特性电介质中的高斯定律电介质中高斯定律的微分形式>D(r=0),表明电介质内任一点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度，即d的通量源是自由电荷，电位移从正的自由电荷出发而终止于负的自由电荷。电介质中高斯定律的积分形式兵D,加二q,表明电位移矢量穿过任一闭合面的通量等于该闭合面内自由电荷的代数和。电位移矢量D的单位是 W。电介质的本构关系D(r)= ecE(r)+xE £ 0Efr)= (1+%)E=J(r)= e E(r式中的E二 W称为电介质的介电常数，单位为F/m。安培环路定理安培环路定理的微分形式 Vx H(r)=|,表明磁介质内某点的

13、磁场强度 h的 旋度等于该点的传导电流密度。安培环路定理的积分形式 H(r)dl = £j(r)>dS = I,表明磁场强度沿磁介质 内任意闭合路径的环量，等于与该闭合路径交链的传导电流。磁介质的本构关系B=(l+Xm)u0H=urii0H= uH ,式中 U 二称为磁介质的磁导率。媒质的传导特性对于线性和各向同性的导电媒质，媒质内任意一点白电流密度矢量 J和电场 强度E成正比，表示为J= jE ,这就是欧姆定律的微分形式。的单位为S/m。 5、静止回路位于时变磁场中时，法拉第电磁感应定律的微分形式为一*dS静止回路位于时变磁场中时，法拉第电磁感应定律的积分形式为，：t6、麦克

14、斯韦方程组麦克斯韦方程积分形式麦克斯韦第一方程见H. dL=jds+(今由其含义是磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲线之和。* AR麦克斯韦第二方程在E,dl=-1. d s,其含义是电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意一曲面的磁通量变化率的负值。麦克斯韦第三方程 £ B,dS=0,其含义是穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量包等于0麦克斯韦第四方程£DdS=0W ,其含义是穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和 麦克斯韦方程微分形式何二 时变电场不仅由传导电流产生，也有位移电流产生。位移电流

15、代t表电位移的变化率。Vx E二，时变电场产生时变磁场jt卜B = 0,磁通永远是连续的，磁场是无散度的。，空间任意一点若存在正电荷体密度，则该点发出电位移线；若存在负电荷体密度，则电荷汇聚于该点三、静电场分析静电场的微分方程若o=0,则满足拉普拉斯方程F虬r)二-迎 即静电位满足标量泊松方程。V3*(r) = O0 二二我,又由 en) (D1-D2)=js, D=gE = T%.可导出! 二-0S若分界面上不存在自由电荷，即0 s=0 ,6i2:iinJin#41则上式变为1 A 4 «导体表面上，电位的边界条件为dn四、时变电磁场1、无源区域中磁场强度矢量满足的波动方程为2、时谐电磁场的复数表示u(rJt) = um(r)cosot+(r)3、表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理郝XH）必战中出dV+麻,州五、总结在电磁场理论中，要研究某些物理量（如电位电、场强度磁、场强度等）在 空间的分布与变化规律。为此引入了场的概念。如果每一时刻，一个物理量在空 问中的每一点都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个 场。如果物理量是标量，称该场为标量场。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量， 不能反映场域内的每一点的通量 特性，矢量场的散度则可以研究矢量场一个点