2016届南京、盐城高三数学期末试卷要点

1、2016届高三模拟考试试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)2016.1参考公式：锥体的体积公式：V=1Sh,其中S为底面积，h为高.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .已知集合A=x|x21=。,B=1,2,5,则AAB=.2 .已知复数z="(i是虚数单位)，则忆尸.Ii3 .书架上有3本数学书，2本物理书.若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为.4 .运行如图所示的伪代码，其结果为.S1ForIFrom1To7Step2S-S+IEndForPrintS5 .某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方

2、法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为6 .在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为.x+y5<0,7 .已知实数x,y满足2xy+2>0,则目标函数z=xy的最小值为.b>0,8 .若一个正方体与底面边长为2点，侧棱长为版的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为.兀3lr9 .在4ABC中，设a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a=5,A=,cosB=g,则边c=.10 .设Sn是等比数列an的前n项和，an>0,若S6-2S3=5,则S

3、9S6的最小值为11 .如图，在ABC中，AB=AC=3,cos/BAC=3,DC=2BD,则aDbC的值为12 .在平面直角坐标系xOy中，过点P(-4,0)的直线l与圆C:(x1)2+y2=5相交于A、B两点.若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为.13 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=2x+mX,设g(x)=f'x>1若函数2f(x),x<1,y=g(x)t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是.-x3+x2,x<e,14 .设函数y="的图象上存在两点P、Q,使得POQ是以。为直角顶|alnx,x>e点的直角三角形(其中。为

4、坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)设函数f(x)=Asin(3叶(),>0,3>0,-2-<4<2,xR，勺部分图象如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式；兀兀，一，一一(2)当xC5,万时，求f(x)的取值氾围.16 .(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABCAiBG的侧面ACCiAi是正方形，点O是侧面ACCAi的中心,兀一，I，,、ZACB=,M是棱BC的中点.求证：(1)OM/平面ABB1A1；(2)平面ABC1,平面

5、AiBC.B17 .（本小题满分14分）如图所示，A,B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，直线AB的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A,B,P可看成三个点）：垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）.现估测得A,B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30t和50t,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？北川民生活区18 .(本小题满分16分)2从原点OP, OQ如图，在平面直角

6、坐标系xOy中，设点M(xo,yo)是椭圆C：*+丫2=1上一点,。向圆M:(xxo)2+(yyo)2=r2(r>0)作两条切线分别与椭圆C交于点P,Q,直线的斜率分别记为ki,k2.(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；若(2)右5.求证：kik2=1;4求OP9Q的最大值.19 .(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax的图象在x=0处的切线方程为v=x,其中e是自然对数的底数.e(1)求实数a的值；1(2)若对任意的xC(0,2),都有f(x)<k+2x_x2成立，求实数k的取值范围；(3)若函数g(x)=lnf(x)-b(bR)的两个零点为xnx2,试判断

7、g，,；，2j的正负，并说明理由.20 .(本小题满分16分)设数列an共有m(mCN,m>3)项，记该数列前i项ai,a2,，司中的最大项为A、,该数列后mi项ai+i,3i+2,，am中的最小项为Bi,u=AB*=i,2,3,，m-1).(1)若数列an的通项公式为an=2n,求数列ri的通项公式；(2)若数列an是单调数列，且满足ai=1,n=2,求数列an的通项公式；(3)试构造一个数列an,满足an=bn+Cn,其中bn是公差不为零的等差数列，Cn是等比数列，使得对于任意给定的正整数m(mCN,m>3),数列都是单调递增的，并说明理由.2016届高三模拟考试试卷（一）数学

8、附加题（满分40分，考试时间30分钟）21 .【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选彳4-1:几何证明选讲）如图，AB为圆。的直径，直线CD与圆。相切于点D,ACXCD,DEXAB,C、E为垂足，连结AD,BD.l2AC=4,DE=3,求BD的长.B.（选彳4-2:矩阵与变换）设矩阵M=10QeR）的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy中若曲线C在矩阵M211变换下得到的曲线的方程为x2+y2=1,求曲线C的方程.C.（选彳4-4:坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A的

9、极坐标为亚，十!,圆E的极坐标方程为P=4cos0+4sin0，试判断点A和圆E的位置关系.D.（选彳4-5:不等式选讲）已知正实数a,b,c,d满足a+b+c+d=1.求证：yj1+2a+.1+2b+q1+2c+1+2d<2.6.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB，AC,AB=2,AC=4,AA1=2,设BD=脸正R).(1)若41,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1D的大小为60°,求实数入的值.n,23.设集合M=1,2,3,，n(

10、nCN,n>3),记M的含有三个元素的子集个数为S同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.T3T4T5丁6g/士分别求S3，S4,S?S'的值;(2)猜想Tn关于n的表达式，并证明之.Sn2016届高三模拟考试试卷（一）（南京、盐城）数学参考答案及评分标准1. -1 2.手3. 4.17 5.17 6. 9 7.-3 8. 2 9. 7 10. 20 11. -21012. x±3y+4=013.15.解：（1）由图象知,又卜答一专=3,，3 32, 214. 0,1e+ 1A = 2, (2 分)3 >0,所以2 冗

11、 ，iT=2 兀=,得 3= 1.(4 分)3所以 f(x) =2sin(x+ (j)将点 372代入,口 冗兀得万+ 万+2k兀（kC Z）,rr，兀兀即 -6+ 2k % (k Z).又一万v兀所以。=6.（6分）所以 f(x) = 2sin 3 + / j(8 分)(2)当 xC兀 兀lrr_L兀厂了,万，时，x + e7t3,2兀3(10 分)所以sin |x+y 产手，1L即f(x)£43,2.(14分)16 .证明：（1）在AARC中，因为。是A1C的中点，M是BC的中点，所以OM/AB.（4分）又OM名平面ABB1A1,AbU平面ABB1A1,所以OM/平面ABB1A1

12、.6分）（2）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CCJ底面ABC,所以CCJBC.兀一一/.,一又/ACB=y,即BCXAC,而CC，ACJ平面ACC1A1,且CCnAC=C,所以BCL平面ACCA1.(8分)而AC1U平面ACC1A1,所以BCXAC1.又ACCiAi是正方形，所以AiCACi.而BC,AiC平面AiBC,且BCAAiC=C,所以ACJ平面ABC.（12分）又ACU平面ABC,所以平面ABCJ平面AiBC.（14分）一PA50517 .解：（解法1）由条件，得而=30=3.（2分）所以点P到直线AB的距离h=PAsin/PAB=5x、/1一隽设 PA=5x, PB=3x,

13、贝U cos/ PAB =(5x) 2+162 ( 3x2)2X 16X 5x(6分)-：(x234)2+225,(10分)所以当x244k244k24 （1+k2所以OP . OQ = 诉行 帝后万 百!+。2/1 + 4k2=34,即x=停时，h取得最大值15km,即选址应满足PA=5>/34km,PB=3j34km.(14分)分)(解法2)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.（2则A（-8,0）,B（8,0）.分)由条件,得合亲3.（4设P(x,y)(y>0),则3个(x+8)2+y2=57(x8)2+y2,化简，得(x-17)2+y2=152(

14、y>0),(10分)即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心，15为半径的位于x轴上方的半圆.则当x=17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15km.所以点P的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可.(14分)18 .(1)解：因为椭圆C右焦点的坐标为(m,0),所以圆心M的坐标为勺3,±2I,(2分)从而圆M的方程为自一卷)2+,j=：.(4分)Kxoy0|2V5（2）证明：因为圆M与直线OP:y=k1x相切，所以 + 4k2r-T'=-,Vk2+15即（45x0）k2+10x0y0k1+4-5y0=0,（6分）同理，有（45x0）k2+10x°

15、y0k2+45y0=0,所以k1，k2是方程（45x2）k2+10x0y0k+45y2=0的两根，（8分）分)从而k1k2=245yo2245xo5-45X20D解：设点B（x1,y1）,P2（x2,y2）,同理,2X2=4k21+4k22o5-4x十15X1八；.（10分）y=k1x,联立x:2彳广丫=1，解得x2=4k21+4k2'yL1+4kf（124（1+k2）224k十121 + 16k11 + 4k2（14 分）24+4k1i5+20k?"2W：1J4k2；2=25当且仅当k1=4时取等号所以OP9Q的最大值为5.(16分)I十4k1422a(1x)19 .解：(

16、1)由题意得f'(x)x7,因函数在x=0处的切线方程为y=x,e所以(劣a=1,得a=1.(4分)(2)由(1)知f(x)12对任意xC(0,2)都成立，ek+2x-x所以k+2x-x2>0,即k>x22x对任意xC(0,2)都成立，从而k>0.(6分)又不等式整理可得k<e-+x2-2x,令g(x)=e-+x2-2x,xx一axx1)公-、所以g(x)(x2+2(x-1)=(x-1)x+2厂0,得x=1,(8分)当xC(1,2)时，g'(x)>0,函数g(x)在(1,2)上单调递增，同理，函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以k<g(x

17、)min=g(1)=e-1.综上所述，实数k的取值范围是0,e1).(10分)(3)结论是g'ix1/i<0.(11分)证明：由题意知函数g(x)=lnx-x-b,所以gz(x>1-1=1x,xx易得函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以只需证明吗*>1即可.(12分)x1+b=lnx1，因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以+b相减得x2-x1=ln-.不妨令 xf=t>1,则 5tX1,则 tx1x1 = lnt，所以 x1 =1二1ntx2= TTInt,t- 1即证岩1nt>2,II、一_ t 1 一即证$ (中l

18、nt 2币>0.(14分)一 ,1因为(j)件),一(t1)(t+ 1) 2=t (t+1)2-2>0,所以。(t在(1 , +8 )上单调递增，所以 (j) (t)>4(1)=0.综上所述，函数g(x)总满足g(16 分)Bi = 2i + 1,20.解：(1)因为an=2n单调递增，所以Ai=2i所以ri=2i2i+1=2i,1WiWm1.(4分)(2)若an单调递减)则Ai=a1=1,Bi=am,所以ri=a1am>0,不满足i=25所以an单调递增.(6分)则Ai=a(,Bi=aj+1,所以ri=ai2+1=2,即ai+1ai=2)1wiwm1)所以an是公差为

19、2的等差数列，an=1+2(n-1)=2n-1,1wnWm1.(10分)”(12 分).1n(3)构造an=nq)其中bn=n?cn=一下证数列an满足题意.证明：因为an=n所以数列an单调递增,所以Ai=ai=i1,Bi=3+1=i+12/,(14分)所以U=2ai+i=1&j,iwiwm1.因为ri+Lr产_T-g)卜1-/1C)>0'所以数列ri单调递增，满足题意.(16分)(说明：等差数列bn的首项bi任意，公差d为正数，同时等比数列Cn的首项ci为负,公比qC(0,1),这样构造的数列an都满足题意.)2016届高三模拟考试试卷（一）（南京、盐城）数学附加题参

20、考答案及评分标准21.A.解：因为CD与圆O相切于D,所以/CDA=/DBA.(2分)因为AB为圆O的直径，所以/ADB=90°.又DELAB,所以EDAADBA,所以/EDA=/DBA,所以/EDA=/CDA.(4分)又/ACD=/AED=90°,AD=AD,所以ACDAED.所以AE=AC=4,所以AD=AE2+DE2=5.(6分)pDEAEDEAc15八又小=AD，所以BD=AE.八口=7.(10分)B.解：由题意，矩阵M的特征多项式f（入今（ka）（关1）,因矩阵M有一个特征值为2,f（2）=0,所以a=2.（4分）所以MH20=干，即尸2x，yJ_21_Ly_凶一

21、|y=2x+y,代入方程x2+y2=1,得（2x）2+（2x+y）2=1,即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.（10分）C.解：点A的直角坐标为（2,2）,（2分）圆E的直角坐标方程为（x2）2+（y2）2=8,（6分）则点A到圆心E的距离d=7（2-2）2+（-2-2）2=4>r=2寸2,所以点A在圆E外.（10分）D.证明：因为（，1+2a+-1+2b+-1+2c+他+2d）%4（1+2a+1+2b+1+2c+1+2d),(6分)又a+b+c+d=1,所以(41+2a+勺1+2b+1+2c+1+2d)2<24,即，1+2a+/+2b+、1；2c+1+2d<276.(

22、10分)22 .解：分别以AB,AC,AAi所在直线为x,V,z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C(0,4,2).(2分）(1)当上1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0),DB1=(1,2,2),AC1=(0,4,0),a1D=(1,2,-2).设平面A1C1D的法向量为n1=(x,y,z),4y=0,则所以取n1=(2,0,1).Ix-2z=0,DB1.n144|DB1|m| 3-5又cosDB1,“=r=Tj5,所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为14575.（6分）（2）因为BD=反，所以D所以alCi=（0,4,0）,AD=2,541，2j4y=0,设平面AiCiD的法向量ni=（x,y,z）,则12一十1x-2z=0,所以取n1=（计1,0,1）.1又平面AiBiCi的一个法向重为n2=（0,0,1）,由题息得|cos”,如|=万，所以j1=2=解得入=J31或入=J3-1（不合题意，舍去），q（入+1）2+12vn所以实数入的值为431.（10分）23 .解：（1）£=2，4=3，£=3，£=：（4分）S3S42S5S62Tnn+1（2）猜想Sn=-2-（5分）下用数学归纳法证明之.证明：当n=3时，由（1）知猜想成立；假设当n=