2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

1、2017年全国高中数学联合竞赛一试B卷一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分，共64分.1 .在等比数列an中，a222,a31，则a1a2011的值为.a7a20172 .设复数z满足z910z22i,则|z|的值为.3 .设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)x10.设数列an是等差数列，数列bn满足bn 2n向2 an, n 1,2,.是奇函数，f(x)2x是偶函数，则f(1)的值为.4 .在ABC中，若sinA2sinC,且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为.5 .在正四面体ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE3,EF4,且EF与平面BCD平行，则DEF的面积

2、为.6 .在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)|x,y1,0,1,在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.7 .设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2ay2a20的焦距为4,则a的值为.8 .若正整数a,b,c满足201710a100b1000c，则数组(a,b,c)的个数为.二、解答题本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9 .设不等式|2xa|52x|对所有x1,2成立,XX数a的取值范围.1证明：数列bn也是等差数歹U；2设数列an、bn的公差均是d0,并且存在正整数s,t,使得asbt是整数，求|ai|的最小值.

3、11.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:y24x,曲线C2：(x4)2y28,经过C1上一点P作一条倾斜角为45的直线l,与C2交于两个不同的点Q,R,求|PQ|PR|的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试B卷、本题满分40分设实数a,b,c满足abc0,令dmaxa,b,c,证明：(1a)(1b)(1c)1d2二、本题满分40分给定正整数m,证明：存在正整数k,使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集A1,A2,，Ak，每个子集A中均不存在4个数a,b,c,d可以相同，满足abcdm.三、本题满分50分如图，点D是锐角ABC的外接圆上弧BC的中点，直线DA与圆过点B,C的切线分别

4、相交于点P,Q,BQ与AC的交点为X,CP与AB的交点为Y,BQ与CP的交点为T,求证：AT平分线段XY.四、本题满分50分设4但,，a201,2,5,白电，,b201,2,，10,集合X(i,j)1ij20,(aiaj)(bibj)0,求X的元素个数的最大值一试试卷答案1.答案：89解：数列an的公比为aa2a1a2011a1a2011a76a2017q (a1a2011)2.答案:、，5解：设za bi,a,bR,由条件得(a 9)bi 10a ( 10b 22)i,比较两边实虚部可得10a，解得:b 10b 221,b 2,故 z 13.答案：74解：由条件知，f(1) 1(f( 1)(

5、1)2)1f(1) 1,f(1) 2 f(1) 2两式相加消去f (1),可知：2f(1)1一,即 f (1)24.答案：4解：由正弦定理知sin Asin C2,又 b2ac,于是a : b : c 2:42:1 ,从而由余弦定理得:22八b ccosA 2bc(2)2 12 222 .2 15 .答案：2庖解：由条件知，EF平行于BC,因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形，故AEAFEF4,ADABAEBE7.由余弦定理得，DE.AD2AE22AD?AE?cos60491628.37,同理有DF.37.作等腰DEF底边EF上的高DH,则EH1EF2,故DHJdE2EH2J33,2于

6、是SDEF1eF*DH2<33.2,56 .答案：14解：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C；84种,当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如下三种情况：1三点在一横线或一纵线上，有6种情况,2三点是边长为1,1,J2的等腰直角三角形的顶点，有4416种情况,3三点是边长为J2, J2, 2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个,直角顶点位于(1,0),(0,1)的各有一个,共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为 . . 、 , 3056 16 8 30,进而所求概率为30 84 14解：二次曲线方程可写成1,显然必须0,

7、故二次曲线为双曲线，其标准方程为2y('2X1,则 c(a)2(-)2(a)22a,注意到焦距2c 4,可知a a 4,又a 0,所1728.答案：574解：由条件知cP201710002,当c1时，有1020,对于每个这样的正整数b,由10ba201知，相应的a的个数为20210b,从而这样的正整数组的个数为20(202b10(1022)1110b)2572,201 ,2时，由20b2017,知，b20,进而200a100200,201，此时共有2组(a,b,c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574.9.解：设t2x,则t2,4,于是|ta|5t|对所有t2,4成立，

8、由于(2ta5)(5a)0,对给定实数a,设f(t)(2ta5)(5a),则f(t)是关于t的一次函数或常值函数，注意t2,4,因此f (2)f (t) 0等价于f(4)(1a)(5a)0口，解得3a5(3a)(5a)0所以实数a的取值范围是3a5.10.解：1设等差数列an的公差为d,则bn1bn(an2an3a21)(an1an2a：)an2(an3an1)(an1an)(an1an)an2*2d(an1an)'d(2an2an1、.-.2an)*d3d所以数列bn也是等差数列.2由已知条件及1的结果知：3d2 d ,因为d0,故d1,这样3bnan1an2a2(and)(an2d

9、)a23dan2d2an-9若正整数s,t满足asbtZ ,则 asbtasbtai(s1)dai (t1)d2 al记 l 2al2,则 l Z,且 18a13(319t 1) 1是一个非零的整数，故118aJ 1，从而1a11V又当a1工时，有a118b3综上所述，|a1|的最小值为11718181.1811.解：设P(t2,2t),则直线l的方程为yx2t2t2,代入曲线C2的方程得，(x2_22一4)(x2tt)8,化简可得：2x22(t22t4)x(t22t)280,由于1与C2交于两个不同的点，故关于x的方程的判别式为正，计算得，2_2_2_2_2_2_2_2_2一222222Q/

10、+222一(t2t4)2(t2t)8)(t2t)8(t2t)162(t2t)1642_2_2_2_2_(t2t)8(t2t)(t2t)(t2t8)t(t2)(t2)(t4),因此有t(2,0)U(2,4)，2122设Q,R的横坐标分力1J为x1,x2,由知，x1x2t2t4,x1x2一(t2t)8),2因此，结合1的倾斜角为45：可知，|PQ|1PR|2(x1t2)2(x2t2)2222t2(xx2)2t42_2_22_4(t2t)82t(t2t4)2t432_43_2_44t4t82t4t8t2tt44t28(t22)24,由可知，t22(2,2)U(2,14)，故(t22)20,4)U(4

11、,196),从而由得:|PQHPR|(t22)244,8)U(8,200)42tt2汪1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式|尸一|272,、2同样可以求得中t的范围.注2：更简便的计算|PQ |,|PR |的方式是利用圆哥定理,事实上,C2的圆心为M(4,0),半径为r2J2,故(2、. 2)2 t4 4t2_2222_2|PQ|PR|PM|r(t4)(2t)加试试卷答案'、证明：当d1时，不等式显然成立以下设0d1,不妨设a,b不异号，即ab0,那么有(1a)(1b)1abab1ab1c1d0因此(1a)(1b)(1c)|(1c)(1c)1c21c21d2证明：取k

12、ml,令Axxi(modm1),xN,i1,2，m1设a,b,c,dA,则abcdi?ii?i0(modm1),故m1abcd,而m1m,所以在A中不存在4个数a,b,c,d,满足abcdmAX证明：首先证明YX / BC,即证XCAYYB连接 BD,CD ,因为ACQ-?S S ABC SABCABPS ACQS ABP1 “1八八AC?CQsinACQAC?BCsinACB所以2?21 八八八1八AB?BCsinABCAB?BPsinABP2 21八八AC?AQsin CAQ21 八AB?APsin BAP 2由题设，BP, CQ是圆 的切线，所以 ACQABC , ACB ABP,又CA

13、Q DBCDCBBAPAB?AQ CQ 注意D是弧BC的中点，于是由知、AC ? AP BP因为CAQBAP,所以BAQCAP ,S ABQS ACP1-八-AB?AQsin2BAQ1 一AC?APsin CAP 2AB?AQ也AC?APBCQBCP11BC?CQsin BCQ21 一-BC?BPsin CBP 2CQd BP由，得S ABQS ACPS CBQS BCPS_CCBQS一一BBCPSABQAXSACPAYSCBQ,XCSBCPYBAXAYXCYB又故SACPSABQ设边BC的中点为M,因为AX?CM?BY1XCMBYA所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点,交点即为T,故由

14、YX/BC可彳导AT平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2，,a20g,b2，瓯)对k1,2,5,设ah,a?。中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当aiaj时，(i,j)X，因此至少有55Ct2个(i,j)不在X中，注意到tk20,则柯西不等式，我们有k1k152152511525120Ctk-?(tktk)-?(-(tk)tk)-?20?(-1)30k12k1k125k1k125从而X的元素个数不超过c203019030160另方面，取a4k3a4k2a4k1a4kkk1,2，5,b62i1,2，20,则对任意i,j1ij20，有(aiaj)(bbj)(aiaj)(6a

15、i)(6aj)(aiaj)20等号成立当且仅当aiaj,这恰好发生5C4230次，此时X的元素个数达到C2030160综上所述，X的元素个数的最大值为160.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷参考答案及评分标准说明，L评阅试卷时，请依据本部分标准.填空题只设目分和0分两档：其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次，2.如果学生的解答方法和本解答不同，只要思蹿合理、步骤正确t在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为个档次，第10,I1小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.一、填空题；本大题共8小题，每小题8分，共64分.I,在等比

16、数列肛）中，?=戊"、二北，则巴乜U的值为/+仃答案：土q解i数列也的公七为4三包三小.故/十%三'十程刈三二三心，az1v2%+%）曾q（订nJq92 .设复数满足249=101+22i，则上|的值为.答案；V5.解；设=二/+M,%bER,由条件得（口+9）士揖=10*仁106+22）比较西边实虚部可得p+9=10口.由=-105422解得a=l,b=2.故=l+2i,进而上|=忑3 .谀/(幻是定义在R上的函数.若JLG+1是奇函数，/也十2是偶函数,则f的值为1答案；-：4解；由条件知，1)+1=(f(-l)+(-0:)=-A-l)-l/(1)+2=/(-1)+两式相

17、加梢去八一D，可知U)+3=-4.在中，若sinK=2sMC，且三条边氏瓦E成等比根列.则cos的值为.售案,-也解二由正弦定理知,- c5111=2»乂y三口八于是atbtc=2:-ji：1，从sinC而由余弦定理得，"二L一£2bc2xV2xl土在正四面体4BS中，氏F分剧在棱版./C匕满足BE=3,£F=4,且EF与面BCD平行，则DEF的面积为.解：由条件知.FF平行于比;因为正四而体月取力的各个面是全等的正三角形，故AE=JF=EF=4.AD=AB=AE十BE=7.由余弦定理得，DE=Eco£h(T=J49+I628=西，同理有/=质

18、.作等度'DEF底边£'上的高。/九则£"=；£F=2.故DH=DE1-EIP=而.于是'“炉=gEQ=2而6.在平面直用坐标系xQi，中，点集*=“,山区！，=一1,。,1.在震中随机取出三个点，则这三个点眄两之间距离均不都过2的概率为，答案士.14解注意汗中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为数=84种.上泻取出的：点两两之间距周不超过2时，有如卜二种情况：门)三点在一横线或一级线上.有5种情况.(2)二点是边长为】0的等腔直粕三角形的顶点，有4xJ=16种情况.(3)三点是边长为的等腰直用三用形的顶点，其中.立角顶点

19、位于。)的TT4个直角项点位于(±1E),(0,±1)的各TT一个，共TT8种情况，琮上可知.选出三点两两之间距离不超过2的情况数为&-1h+R9).进而所求概率为丝=二.84147.设h为非零实数，在平面宜角坐标系t力中，二次曲线/十珥/十/二0的焦距为%则a的值为.答案：u叵，y-二1.显然必须一故二次曲线为双曲解t二次曲线方程可写成-四a线,其标准方程为一T=I.则(1，=(Va)1+()1=-a2at注意到焦距2c=4(可知，一o=4,乂订<0,所以口=-'8,若正整数出瓦0满足2017310口210Cg之1000则数组S，瓦a的个数为答案：5

20、74.解，叫wool当一二1时，行10三人020.对于毋个这样的正整数匕相应的鼻的个数为20-10人从而这样的正整数组的个数为£(2027%:但小11=52K)工当匚=2时,由20"w|部;知b=20.进而200W/|察j=201,a=200,201.此时共有2细值瓦C.综上.所述满足条件的正整数组的个数为572+2=574.二，解答题；本大题共3小题，满分58分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.*(本题满分16分)设不等式炉-"印-21对所有m成立.求实数"的取值范围.解；设,=2。则，£2,4,于是卜打.：5，对所仃f匚匚4|成立.由

21、Ff-tf|<|5-;|or-6f)2<(5-if<=>(2fa5)(5一a)<0.g分时给定实数“，fct/(O=(2r-5X5-a)T则/是关于f的次函数或常值两数,注意"24.因此/的90等价于J4)=<3-65-口)U0.解得3<口<5.所以实数门的取侑范围是3<口<5.16分1。 .本题满分20分)设数列是等差数列，数列也;满足匕=%+9开工一4汽=12一<1)证明：数列也也是岬差数列I设数列：卜九的公差均是d*o,并且存在正整数3.使得吗+A是整如求同的最小值，解：(1)设等差数列依/的公差是4,则4+瓦=

22、%十必7一11J一(4十四7f)=兄+式%厂%。-3+4-4)二口”+/2431+%),=<2%-?=*广，所以数列出:也是3差数列，5分(2)由已知条件及<1>的结果知M:一/因为J上缶故"一；这样耳=4.产一"：=K+")0+2d)一日：7=+2d=ti4110分9若正整数孔，满足一H则，(22%+8=3+%I一4-y*j个-Sdp/-22_=2叫+§曰2记，=2%+”；一2卜京则叱小旦1M=3冏7-，+1)+1是一个非零的整数.故卜1，从而我 ； * IX又当“15分综上所述.EI的最小值为11.本题满仆20分在平面直角坐标系的中

23、，曲线G：K=4h曲线心：Q-4十/=8.经过C1上一点尸作一条倾斜角为45c的直线3与G交于两个不同的点求|“斗户用的取值范题解：设小口2力,则立线/的方程为"代入曲线&的方程得，、-4r+.*+2，一厂)一=8t化饰可得2-2(产241m+(r-2f)TJ?=。.(D由于1与G交于两个不同的点，故关于案的方程的判别式为正.计算得，9=(产-2f44丁一式产2力3+即=(产-2厅一用产一2仆*僮-2(2疔一|64=(f2f)?+8(/2J)=(r-2/)(/12f助1。-2X<+2)(f-4).因此有fW(-2U2,%.I-I«ft!»«

24、«»«!lIIQ|1UjT设3K的横坐标分别为知由知.xy+/=f-2r+4,x1V=(r-21)'+X),因此，结合，的恸斜甭为45。可知.|P©HM亚/一产>近(/一/)2%再一2/1/十/)十2八=(<-2/)'+S-2r-4+4)+力4/+4/+N2/+4,一KJ+2?=_中：+8=(产2+4”15分由可知，广2W(T2)U(2J4).故2W&4)U(4.O,从而由得.20俨冏一，一2十4七4用口国200)420分注L利用a的圆心到的距离小于&的半径，列出不等式七学士|父工应，同样可以求得中，的范围一注

25、2：更一便的计算户0.|网的方式是利用圜鼎定理.事实上，一的圆心为加风0),半径为f=26,故尸0，|尸贵=|尸M(一产二(4+(2f42五二八-5二十芥.2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)参考答案及评分标准说明，L评阅试卷时,请严格按照本呼分标准的钾分档次给分一2.如果考生的解警方法和本解售不同，只矍思器合理、步St正确，在评卷时可篓考本评分标鑫适当划分档次评分,1Q分为一个档次，不得立如其他中间档次一一J本潇分40分)设隹教/忙满足o46+e=O,令/=ik|川用Jr|.证明工+Nl+bKl+O|.证明，当时.不等式显然成立.10分以下地。三4vl.不妨设%办不异号.即蜀。.那么有

26、(1+XI+61=140+b+aft>l+tf+fr=lc>lJ>0420分因此|(】a")(1蚁)但|(1理1+川=|_/=1H印_，一40分二、（本I8濡分刈分）给定正整数蒯,证明：存在正整数上使得可将正整数集N*分拆为A个互不相交的子集小出,每个子集4中均不存在4个数（可以相同）,满足口内一M=zw.证明：取取=m+l+（modm-bl）,xeN+|»j=lQ，厢+1.20分e4*则ab-cd=i=0mi>d曲+1）,故足+1|诚一£，而m+lfm,所以在4中不存在4个数,滴足abcd=m,，*.*.*.-.*-40分三，GW满分50分）如图，点D是就用4以的外接圆上弧8C的中点,直线£U与圆卬过点区。的切线分别相交于点巴。.“。与4C的交点为X，CP与出的交点为L以。与