初三二次函数最后一题答案

1、二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题 例1 :如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c经过A- 2 , - 4，O0, 0,B 2, 0三点.1求抛物线y=ax 2+bx+c的解析式;2假设点M是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值.0/y=ax 2+bx+c中，得解析：1把A-2，- 4，O 0，0，B 2，0丨三点的坐标代入4a - 2b+c= - 4匸二0解这个方程组，得a= -4；，b=1，c=0所以解析式为y= -士x2+x .由 y= - -x2+x=-x - 12+厶，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB OM=BM

2、OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，那么此时OM+AM 最小过点A作AN丄x轴于点N，在 RtKBN 中，AB= 订=、： - J=4 二，因此OM+AM 最小值为 止.方法提炼：一条直线上一动点 M和直线同侧两个固定点A、B,求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A，将点B与A 连接起来交直线与点M , 那么A B就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B， 将点A与B连接起来交直线与点 M，那么AB 就是AM+BM 的最小值。应用的定理是： 两点之间线段最短。或者B3，0、C0，3三点.例2 :如图，抛物线经过点 A-

3、1，0、1求抛物线的解析式.2丨点M是线段BC上的点不与B，C重合，过M作MN /y轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长.3在2的条件下，连接NB、NC,是否存在m，使ABNC的面积最大？假设存在，求解析：11设抛物线的解析式为：y=a x+1x - 3，贝U：a 0+1 0 - 3=3，a= - 1 ;抛物线的解析式：y= -x+1x-3= -x2+2x+32设直线BC的解析式为：y=kx+b，那么有:fk=-l23，解得佔故直线BC的解析式：y= - x+3 .点 M 的横坐标为 m，贝U M m , - m+3、N m , - m2+2m+3; 故 MN= -

4、 m2+2m+3 - m+3= - m2+3m 0 v m v 3.3如图；T S/BNC =S MNC +S ZMNB =MN OD+DB=3mn xob ,2 2/Szbnc= 1 m2+3mX3= -、m J2+ 0 vm v3；H228当m= -W,ABNC的面积最大，最大值为 =.2S)LOD A 方法提炼：因为ABNC的面积不好直接求，将经NC的面积分解为 MNC和MNB的面积和 然后将ABNC的面积表示出来，得到一个关于 m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最 值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在 顶点处取得最小值 题型二：二次函数与

5、三角形的综合问题例3 :如图，：直线yx 3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax 2+bx+c经过A、B、C : 1，0三点.1求抛物线的解析式；2假设点D的坐标为-1，0，在直线y x 3上有一点P,使 ABO与 ADP相似， 求出点P的坐标；3在2的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点 丘，使 ADE的面积等于 四边形APCE的面积？如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在，请说明理由.解：1：由题意得，A3, 0，B0 , 3抛物线经过A、B、C三点，把人3,0，B 0,3，C 1,0三点分别代入y ax2 I bx I c 得方程组9a 3bc0a1c 3解得：b4a b c

6、0c3抛物线的解析式为y x24x 3 AB为等腰三角形，是AD腰三角形，由三I SE1线合一可得：DM=AM=2= P 2M，即点M与点C重合/.P2 1，23丨如图设点E (x,y)，那么Sade 2 AD |y| 2|y|当Pi(-1,4)时，S四边形 AP1CE=S ZACP1 +S ZACE=4 |y2 y 4 I y y 4点E在x轴下方 y = -4代入得：x 4x3 = 4,即卩 x 4x 7 0.(-4) 2-4 X7=-120此方程无解12 2 iyi当P2 1，2时，S四边形ap2ce=S三角形acp2+S三角形ace =2 1 y 2 y 2 I y y 2点E在x轴下

7、方=2代入得：x? 4x3=2即 x2 4x 5 0 ,(-4) 2-4 X5=-40此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点 E。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是 有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求 一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相 等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成 几个容易求解的图形 例4 :如图，点A在x轴上，0A=4，将线段0A绕点0顺时针旋转120。至OB的位置.1求点B的坐标；2丨求

8、经过点A. 0、B的抛物线的解析式；3在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由.解析：1如图，过B点作BC丄x轴,垂足为C,那么Z BCO=90 ,vZ AOB=120 BOC=60 ,又 0A=0B=4 , OCOB=： X 4=2 , BC=OB?sin60点B的坐标为-2 , - 2 :：;2抛物线过原点0和点A.可设抛物线解析式为y=ax 2+bx将 A4, 0，B- 2 . - 2迟代入,16al-4b=04a- 2b=-體解得此抛物线的解析式为y=-.2+二；3存在, 如图，抛物线的对称轴是x=

9、2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为2, y, 假设OB=OP , 那么 22+|y| 2=42,PDO=90 , sin Z解得y= 2当y=2亘时，在Rt PODK:丄 POD=60 :丄 POB=Z POD+Z AOB=60 +120即P、O、B三点在同一直线上，y=2 j不符合题意，舍去，点P的坐标为2 , - 2 S 假设 OB=PB，那么 42+|y+2=42,解得 y= - 2 :，故点P的坐标为2，-2. 假设 OP=BP，那么 22+|y| 2=42+|y+2 . :;|2， 解得 y= - 2 *；，故点P的坐标为2，- 2，综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐

10、标为2，- 2.；,方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例5 :综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= - x2+2x+3与x轴交于A . B两 点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.1求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；2丨点P是x轴上一个动点，过P作直线I / A交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运 动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点A. P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存 在，请直接写出符

11、合条件的点 Q的坐标；假设不存在，请说明理由.3丨请在直线AC上找一点M，使 BD的周长最小，求出M点的坐标.解析：1当 y=0 时，-x2+2x+3=0，解得 xi= - 1 , x2=3 .点A在点B的左侧，A . B的坐标分别为-1，0， 3，0丨.当 x=0 时，y=3 .C点的坐标为0，3C/%卜1Q了V且1 二 3直线AC的解析式为y=3x+3设直线AC的解析式为y=k ix+b i ki丸，/y= - x2+2x+3= -x- 12+4，顶点D的坐标为1，4丨.2丨抛物线上有三个这样的点 Q， 当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为2，3; 当点Q在点

12、Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q2坐标为1 +邑，-3； 当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得，点 Q3的坐标为1 -士i，- 3；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为:Qi2, 3，Q2 1+才 7， 3，Q3 1 V, 3.(3 )点B作BB AC于点F,使BF=BF，贝U B为朋关于直线AC的对称点.连接BD交直线AC与点M，那么点M为所求, 过点B作TE丄x轴于点E.v/1和Z2都是/3的余角,Rt KOC RtKFB,co_ca由 A 1 , 0，B 3 , 0，C 0 , 3 丨得 0A=1 ,0B=3 , 0C=3 ,AC= ,AB=

13、4 .BB=2BF=24由 Z1= Z2 可得 RtKOC RtBEB ,OE=BE - 0B=1353&5屮 E BE 123=B点的坐标为21 12,设直线B 的解析式为rk24b2=42112电计砖亏，直线BD的解析式为:y=k 2x+b 2 k2 却.y=x+ ,尸3灶3联立BD与AC的直线解析式可得：彳 448，M点的坐标为935,35方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想,般需要分三种情况来讨论 题型四：二次函数与圆的综合问题 例6 :如图，半径为2的OC与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B,点C的小值.得子9 3b c 0，解得:

14、解析：1如答图1,连接0B . BC=2 ,0C=1 0B= 413二 B 0,. 3将A 3, 0:, B : 0 , 73丨代入二次函数的表达式-2 3b3,3V3 2 23y xx332存在.交点即为得 Y A 2 3x33.32 ；解得x 1乎, P如答图3，作MH丄x轴于点H .Xm，Ym，1贝U Sa mab=S 梯形 mboh +S mha Sa oa= MH+OB21 1?OH+ HA?MH - OA?OB 2=-(Ym 3) Xm2211(3 Xm) ym3.322Xm233 ym23Xm3X2 m1(233冷m23 323 (Xm 2)29832 2 8当冷3时，S辭取得最

15、大值最大值为琴-题型五：二次函数中的证明问题1例8 :如图11，二次函数y (x 2)(ax b)的图像过点48A(-4，3，B(4 ,4).1求二次函数的解析式：2求证：ACB是直角三角形；3假设点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与 ABC相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由。1解：1将 A(-4，3，B(4，4)代人 y (x 2)(ax b)中，整理得:484a-b 724a b 3213-20a解得b1二次函数的解析式为：y亦(x 2)(13x-2。)，2由13 2x481 5x-8 60整理213x

16、6x-400 捲2, x22013整理得：13 2 15yxx -488 6C-2，0D(20，)从而有：AC2=4+9BC2=36+16AC2+ BC2=13+52=65AB2=64+1=65 AC2+ BC 2=AB 2 故ACB是直角三角形131 53设 p(x，一x2-x-)X0488 6PH=x2 lx-54886当APHD s/ACB时有:20HD= - xI3PHACAC= 13 BC= 2 13HDbc13 2 15x x- 即: 48 861320 -x132 13整理13 2x245I25x -043950 x-13(50 Pi (13X220I3此时,yi3513当ADH

17、P s/ACB时有:DHACPHbc20-x 即: 13= /1313 21x482 13整理I3x4817305x -87812213“122 284P2(-， 1313XiX22013此时,yi2841350 35综上所述，满足条件的点有两个即Pi帀帀题型六：自变量取值范围问题例10 :如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A. C. D均在坐标4轴上，且 AB=5，sinB= J.1求过A. C. D三点的抛物线的解析式;2记直线AB的解析式为yi=mx+n， 1中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当yi y2时，自变量x的取值范围;3设直线AB与I中抛物线的

18、另一个交点为E,P点为抛物线上A E两点之间的一个动点，当P点SCLAi0r A *在何处时，的面积最大？并求出面积的最大值.解析：11四边形ABCD是菱形,AB=AD=CD=BC=5 , sinB=sinD=;5Rt OC中，OC=CD?sinD=4 ,OD=3 ;OA=AD - OD=2，即:A-2 , 0、B-5, 4、C0, 4、D3, 0;设抛物线的解析式为：y=ax+2 x - 3，得: 2 x-3a=4 , a=-;3抛物线：y= - =x2+ x+4 .2 丨由 A- 2 , 0、B- 5, 4得直线 AB : yi=-卫x -g; 那么点 F迢，0，AF=OA+OF= 徑;由

19、1得：y2=-由图可知：当yivy2时，-2 vxv 5 .3: vSa AP=,AE?h ,当P到直线AB的距离最远时，Sa abc最大;假设设直线L / AB,那么直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点 P;设直线L： y= - +b ,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,求得：b=可得点P+,;.由2丨得：E5 ,等，那么直线 PE： y= -x+9 ;11 11:. PAE最大值：Sa pa=S pa+S ae=人 X_J +=二1_!.2 113 212综上所述，当P：；，】丨时， PAES积最大，为 八-；.2 2 12题型七：二次函数实际应用问题例11 :某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造本钱为18元，试销过程中发现，