利用导数研究函数的单调性的题型分析

1、利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求以下函数的单调区间.32(1) y = 2x - 3x(2)f(x) = 3x - 2ln x.解：(1)由题意得y'= 6x? 3.令 y'= 6x2 3>0，解得 xv 或 x>#，当 x ( 8,时，函数为增函数，当+ 8 )时，函数也为增函数.2令 y'= 6x 3v 0,解得-2 v xv#,当x ( #,三2)时，函数为减函数.故函数的递增区间为(8,和(¥, +8)，递减区间为(一, ¥).(2)函数的定义域为I, 2f(x) = 6x = 2 x(0

2、,+8 ),3x2 1令 f' (x) v 0，即X23x 1x3x2 1令 f'(X)>0，即2 > 0.且x>0,可解得x>¥；3v 0,由 x> 0 得，0v xv申,x3(彳,+8 )，减区间为(0, ¥).规律总结：i在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义 域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.2. 当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，或“和'字等隔开，不要用符号“U连接，如(1)题中的增区间.变式训练：求以下函数的单调区间：(1) 求函数f (x) = 2x3

3、9x2 + 12x 3的单调区间； 求函数y= x3 2x2 + x的单调区间.【解】(1)此函数的定义域为 R,2f ' (x) = 6x 18x+ 12= 6(x 1)( x 2).令 6(x 1)( x 2) v0，解得 1v xv 2,所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2).令 6(x 1)( x 2) >0，解得 x>2 或 xv 1,所以函数f(x)的单调递增区间是(2 , +8 ) , ( 8, 1).(2) 此函数的定义域为 R. 2y'= 3x 4x+ 1,2 1 令 3x 4x+ 1 >0，解得 x> 1 或 xv 3.31 因此

4、y= x3 2x2 + x的单调递增区间为(1 , +8 ), (8,-).3再令 3x2 4x+ 1v 0,解得 x v 1.3因此y= x3 2x当 x>1 时，0'(x) = 1 ->0, 0 (x)是增函数, x + x的单调递减区间为(3，1)-例：讨论函数f(x) = $( 1 vxv 1, W 0)的单调性.x 1【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)假设先讨论x (0,1)上的单调性，能否判断 f' (x)在(0,1)上的正负？ b的取值对其有影响吗？解：因f(x)的定义域为(一1,1)；函数f(x)是奇函数，只需讨论

5、函数在(0,1)上的单调性. f'(X)=b(x21)r22-(x 1)(x2 1)(x2 1)2b x b0)的定义域为x| x丰0， y '= 1 一2=-2-x x当 Ovxv 1 时，x + 1 >0, (x 1) >0, 当b> 0时，f' (x) v 0. 函数f (x)在(0,1)上是减函数； 当bv 0时，f' (x) >0，函数f(x)在(0,1)上是增函数； 又函数f (x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知： 当b> 0时，f(x)在(一1,1)上是减函数； 当bv 0时，f(x)在(一1,1)上是

6、增函数.规律方法：1 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f' (x) >0(f ' (x) v0)在给定区间上恒成立.一般步骤为：求导数f'(X)；判断f '(X) 的符号；给出单调性结论.2导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论. 变式训练：b求函数y = x+ x(b 0)的单调区间.b【解】函数y = x+ x( 当bv 0时，在函数定义域内y '> 0恒成立，所以函数的单调递增区间为(一汽 0)和(0，+m )； 当b> 0时，令y'> 0

7、,解得x> b或x v “b,所以函数的单调递增区间为(一汽 b)和(-,'b+g ) ； 令 y' v 0，解得-；'bvxv "b且 x丰0,所以函数的单调递减区间为(一；b, 0)和(0,i, b).题型二：利用函数单调性求参数11例：(2021 郑州模拟)函数f (x) = ax+ xln x,且图象在点(-，f()处的切线斜率为 1(e ee为自然对数的底数).(1)求实数a的值；(2)设g(x)丄凶 x，研究函数g(x)的单调性x 11解： f(x) = ax+ xln x, f '(x) = a+ 1 + In x,依题意 f

8、9;( ) = a= 1,所以 a= 1. eff (x) x xln x, , x 1 In x因为 g(x)= l，所以 g'(x) = x 1 2.x 1 x 一 ix一 i1设 0 (x) = x 1 In x,那么 0 '(X) = 1 一.x对？ X>1, 0(x)> 0 (1) = 0，即当 X>1 时，g'(x)>o ,故 g(x)在(1 ,+)上为增函数;1当 0<x<1 时，0'(x) = 1 - x<0, 0 (x)是减函数, z.对？ X (0,1) , 0 (x)> 0 (1) = 0,即

9、当 0<x<1 时，g'(x)>o,故 g(x)在(0,1)上为增函数.方法规律：1 导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求导数f'(x) ; (3)在函数f (x)的定义域内解不等式f '( x)>0和f '( x)<0 ; (4)根据 的结果确定函数f (x)的单调区间.2.导数法证明函数f (x)在(a, b)内的单调性的步骤：(1)求f '(x) ； (2)确认f'(x)在(a, b)内的符号；(3)作出结论：f '(x)>0时为增函数；f'(x)<

10、;0时为减函数.3导数法求参数的取值范围：函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f '(x) >0(或f '(x) <0), x (a, b)，转化为不等式恒成立求解.训练：2 11假设函数f X x ln x 1在其定义域内的一个子区间k 1,k 1内不是单调函2数，那么实数k的取值范围 .解:函数f (x)的定义域为(0,),f'(x)2x1(2x)12x2x(2x 1)(2x 1)2x,由f'(x)10 得 x，由 f '(x)0得01x ，要使函数在定义域内的一个子区间22k -，即k的取值范k1,k1内不是单调函数，那么有0 k1

11、1 -k 1，解得1223围是1,) 22.(2021湖北省八校高三第二次联考)函数f(x) = (x+ a)2-7bln x+ 1，其中a , b是常数且0.(1)假设b= 1时，f(x)在区间(1 ,+s )上单调递增，求a的取值范围；当b = 4a2时，讨论f(x)的单调性.【解】(1) / b = 1,. f(x)= (x+ a)2- 7ln x+ 1,. f' (x) = 2x+ 2a 7x/当 x>1 时，f(x)是增函数， f'x) = 2x + 2a 7>0 在 x>1 时恒成立.x即a> 7 x在x>1时恒成立.2x当 x>

12、1 时，y = x是减函数，.当 x>1 时，y =右x<5，. a>5 2x2x 225故a的取值范围是|,+ )./ b= 7a2,： f(x)= (x+ a)2 4a2ln x + 1, x (0,+ ).(x) =2/+ 2ax 4a2x2x a x+ 2ax)；当a>0时，f'刈>0，得x>a或x< 2a，故f(x)的减区间为(0, a)，增区间为(a,当a<0时，f'x)>0，得x> 2a或x<a，故f(x)的减区间为(0, 2a)，增区间为(一2a,+ ).a3. 设函数 f (x) = ax 一

13、2ln x.x(1) 假设f ' (2) = 0,求f(x)的单调区间；(2) 假设f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.a 2解：(1) T f(x)的定义域为(0 ,+8 ) , f' (2) = 0，且 f' (x) = a+- x，a4 a+； 1 = 0,. a= .3 分4 5一44222f(x) = 5+ 5? x=57(2x 5x+2)，1由 f' (x) > 0 结合 x> 0，得 0v x v或 x>2,1 1-f (x)的递增区间为(0 , 2】和2 , +8 )，递减区间为(2 2).6分f' (x)

14、> 0对x> 0恒成立，8分,.需x>0时ax 2x+ a?0恒成立10分(2)假设f(x)在定义域上是增函数，那么2a 2 ax 2x+ af' (x) = a+x2x2x化为a7对x>0恒成立,x + 12x 2T =w 1,x + 11'x + -x a> 1，即 a 1 ,当且仅当+ 8 ).12x = 1时取等号.3x24. 函数 f(x) = 了 2x+ ln x，其中a为常数.假设a= 1，求函数f(x)的单调区间； 假设函数f(x)在区间1,2上为单调函数，求2解：(1)假设 a= 1 时，f (x) = 3x 2x + In x,

15、2a的取值范围.定义域为(0 ,+8 ),1, c 4x + 3x +1(4x 1)(X 1) , c、f ' (x) = x 4x + 3 =( x>0).Xx2当 f '(x)>0, x (0,1)时，函数 f (x) = 3x 2x + In x 单调递增.当 f '(x)<0, x (1 , +8)时，函数 f (x) = 3x 2x2 + In x 单调递减.31 f '(x) = -4x + -,ax31f ' ( x) = 4x + 一?0 或axf '(x) = 3-4x+ 亠0,a x故函数f (x)的单调递增

16、区间为(0,1)，单调递减区间为(1 , +8 ).假设函数f (x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上,即色一4x+ 1?0或15 32即或，解得a<0或0<a节或a羽. 4x + XW0在1,2上恒成立.即a x a x所以h(2)或器 h(1),1令h( x) = 4x-，因为函数h(x)在1,2上单调递增,x题型三：利用导数解决不等式例：定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x), f(x 1)是偶函数且(x 1)f'(x)0.假设 x2,且 x22,那么f (xj与f (x2)的大小关系是A. f(xjf(X2)B.f (xi)f(X2)C. f (

17、xi) f(X2)D.不确定解析：由(x 1)f '(x)0可知，当x 1时,f '(x)0函数递减.当x 1时,f'(x)0函数递增.因为函数f (x 1)是偶函数，所以f(x 1) f (1 x) , f (x) f (2 x),即函数的对 称轴为x 1.所以假设1为 x2,那么f (xj f (x2).假设x1 1,那么必有x2 2,那么X22 为 1,此时由彳区)f(2xj,即 f(x2)f (2xjf(xj,综上 f(x)f(X2),选 C.变式训练：1.函数f(x)在定义域R内可导，假设f (1 x) f(1 x)，且当x (,1)时，1(x 1) f (x

18、)0，设 a f(0)，b f()，c f (3)，那么D2A. a b c B . b c aC.c baD .cab2.函数f (x)对定义域R内的任意x都有f(x) = f (4x),且当X2时其导函数f (x)满足xf (X) 2f (X),假设2 a 4那么A. f(2a)f(3) f (log2a)B. f(3)f (log2 a)f(2a)C. f(log2a) f(3)f(2a)D. f(log2a) f(2a)f(3)解：由f (x)= f (4 x),可知函数关于x 2对称.由xf (x) 2f (x),得(x 2)f (x)0,所以当x 2时，f(x) 0 ,函数递增，所

19、以当x 2时，函数递减.当2 a 4,1 log2 a 2, 222a 24,即 42a 16.所以f(log2a) f (4 log2a),所以 2 4log2a 3,即 24 log2a 32a,所以 f (4log2a)f (3)f(2a),即f (log 2 a) f(3)f(2a),选 C.3.函数 f(x)=x-cosx，那么 f (0.6),f (0),f(-0.5)的大小关系是A、f (0)<f (0.6)<f (-0.5) B、f (0)<f (-0.5)<f (0.6)C、f(o.6)vf (-o.5)vf (0) D、f(-o.5)vf (0)&l

20、t;f(0.6)解：因为函数2 “G为偶函数，所以f( 0.5)T (X)X COS Xf(0.5),f' (x)=2xsin xf'(x)=2x sinx 0，所以函数在0 x -递增，所以有f(0)<f (0.5)<f(0.6)，即 f (0)<f(0.5)<f(0.6)，选B.4. 2021 太原 三模函数f(x+ 1)是偶函数，且x>1时，f'(x)<0恒成立，又 f(4)= 0,那么(x + 3)f(x + 4)<0的解集为()A.( s, 2) U (4 ,+)B . ( 6, 3) U(0, 4)C.( s, 6)

21、 U (4 ,+s)D . ( 6, 3) U(0,+s)解：函数f(x + 1)是偶函数，其图象关于 y轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y= f (x)的图象，可得函数 y= f (x)的图象关于直线x = 1对称，x>1时，f'(x)<0恒成立， 说明函数在(1 , +s)上单调递减，根据对称性可得函数在(s, 1)上单调递增.根据f(4) =0可得当x>4时，f(x)<0，根据对称性可得当 x< 2时，f(x)<0，当2<x<1或1<x<4时,f(x)>0.不等式(x + 3)f(x + 4)<0

22、等价于x+ 3>0,f x + 4<0x+ 3<0,fX + 4>0.X+ 3>0,fx+ 4<0x> 3,x+ 4>4或 x + 4< 2,解得x>0;当X+3<0，时f x+ 4>0x< 3,2<x+ 4<1 或 1<x + 4<4,解得一6<x< 3.故不等式(x+ 3)f(x + 4)<0的解集为(一6,3) U (0,+s).5.设f (X)是定义在 R上的奇函数，当X 0时，f'(X)0 ,且f (丄)0 ,那么不等式2f (X)0的解集为解：因为函数f

23、(X)为奇函数。当X 0时，f '(X)0 ,函数单调递增，所以111 、 1f () f ( ) 0 ,由图象可知不等式f (x) 0的解为x 或0 x ,即不等式的222 211解集为(，)U(0,)。226.函数f(x) x1nx ax2 x a R。|丨假设函数f (x)在x 1处取得极值，求a的值;II丨假设函数f(x)的图象在直线y x图象的下方，求a的取值范围;解:函数宜文域见【为+ »j Tffjs) = Inv "2ax.vJUr取得扱值，A= UtA a =0. 几 /*(*>+ «>)时>ot茸袒建处戰得扳值. 二二

24、鼻分- * iruc < 0賣Mu、A0得。芒J 旗却在2")上为埔函数； -*(>) <0,«9s>av Mh)再"* +工)上为礙函敷 7分= Ar( C ) M 丄* >» * *.*i*“*“孑分7.函数 f(x) ax2 bx(a, b R)，函数 g(x) In x .当a 0时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有公共点，求实数b的最大值;当b 0时，试判断函数f (x)的图象与函数g(x)的图象的公共点的个数；函数f (x)的图象能否恒在函数 y bg(x)的图象的上方？假设能， 求出a,b的取值范围;假设不能，请说明理由.解： a 0 f(x) bx ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b取最大值，1分1设切点横坐标为x0, f (x) b, g (x)x1Xobx0