人教版高中数学必修1-2.2《对数的运算性质》教学课件

1、指数式与对数指数式与对数式的关系为：式的关系为： a ax x=N =N x=logx=loga aN N 从指数与对数的关系以从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？相应的对数运算性质吗？ 对数的运算性质：对数的运算性质：如果如果a a0,0,且且a1a1，M0,N0,M0,N0,那么那么 (1)log(1)loga a(M(MN) = logN) = loga aM + logM + loga aN N (3)log(3)loga aM Mn n = nlog = nloga aM M (2)log(2)loga a = log = log

2、a aM - logM - loga aN N M MN N证明：证明：(1)(1)设设M=aM=am m，N=aN=an n， 于是于是MN=aMN=am+n m+n 由对数的定义得到：由对数的定义得到： logloga aM M logloga aN N logloga a(M(MN)N)logloga a(M(MN)N)=m=m，=n =n = m+n = m+n = log= loga aM + logM + loga aN N 对数的运算性质：对数的运算性质：如果如果a a0,0,且且a1a1，M0,N0,M0,N0,那么那么 (1)log(1)loga a(M(MN) = logN

3、) = loga aM + logM + loga aN N (3)log(3)loga aM Mn n = nlog = nloga aM M (2)Log(2)Loga a = log = loga aM + logM + loga aN N M MN N证明：证明： 由对数的定义得到：由对数的定义得到： (2)(2)设设logloga aM=pM=p，logloga aN=qN=q，设设M=aM=ap p，N=aN=aq q, , 于是于是M MN Na ap pa aq q= = a= ap-q p-q logloga a M MN Nlogloga aM M log loga aN

4、N = =对数的运算性质：对数的运算性质：如果如果a a0,0,且且a1a1，M0,N0,M0,N0,那么那么 (1)log(1)loga a(M(MN) = logN) = loga aM + logM + loga aN N (3)log(3)loga aM Mn n = nlog = nloga aM M (2)Log(2)Loga a = log = loga aM + logM + loga aN N M MN N证明：证明： 由对数的定义得到：由对数的定义得到： (3)(3)设设M=aM=am m， 于是于是M Mn n = a = amn mn logloga aM Mn n =

5、 nlog= nloga aM M = mn = mn z z用用logloga ax x，logloga ay y，logloga az z表示下列各式表示下列各式: :(1)log(1)loga a xyxyz z3 3(2)log(2)loga ay yx x2 2解：解： (1)log(1)loga a xyxyz z= log= loga a(xy)-log(xy)-logax x= log= loga ax+logx+loga ay-logy-loga az z z z3 3(2)log(2)loga ay yx x2 2= = logloga a( )( )y yx x2 2lo

6、gloga az z3 3- -= = logloga ax x2 2 logloga a y ylogloga az z3 3- -+ +1 12 2= = 2log2loga ax xlogloga ay ylogloga az z1 13 3- -+ +求下列各式的值求下列各式的值: :解：解： = log= log2 24 47 7loglog22 25 5 (1)log(1)log2 2(4(47 72 25 5) ) (2)lg(2)lg100 100 5 5(1)log(1)log2 2(4(47 72 25 5) ) = 7log= 7log2 24 45log5log22 2

7、 = 7= 72 25 51 1 = 19 = 19 (2)lg(2)lg100 100 5 5= lg10= lg105 52 2= =2 25 5探究：探究：你能根据对数的定义推导出下面的换你能根据对数的定义推导出下面的换底底公式吗？公式吗？logloga ab blogloge ea a logloge eb b (a(a0,0,且且a1;ca1;c0,0,且且c1;bc1;b0)0)设设logloga ab=p, b=p, 因为因为logloga ab blogloge ea a logloge eb b plogploge ea alogloge eb blogelogea ap p

8、logloge eb b a ap pb b 又又a ap pb b成立成立, ,所以所以logloga ab blogloge ea a logloge eb b (a(a0,0,且且a1;ca1;c0,0,且且c1;bc1;b0)0)截至到截至到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿，如果亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在今后能将人口年平均增长率控制在1%1%，那么经，那么经过过x x年我国人口数为年我国人口数为y y亿的表达式为：亿的表达式为：y y1 13(13(11%)1%)x x1 13 31.011.01x x 求达到求达到1818亿的年份亿的年份, ,就

9、是求就是求x xloglog101 101 18181313哪一年的人口哪一年的人口数可达到数可达到1818亿？亿？ 利用换底公式求利用换底公式求 ；x xloglog10110118181313x xloglog10110118181313= =lglglg1.01 lg1.01 18181313lg18lg18lg13 lg13 lg1.01 lg1.01 = =1.25531.25531.11391.11390.0043 0.0043 32.8837 32.8837 3333年年大约经过大约经过3333年，即到年，即到20322032年底，我国人口年底，我国人口总数将达到总数将达到181

10、8亿。亿。 M MlgAlgAlgAlgA0 0其中，其中，A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A A0 0是是“标准地标准地震震”的振幅的振幅( (使用标准地震振幅是为了修正测震使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差仪距实际震中的距离造成的偏差) )。2020世纪世纪3030年代，里克特年代，里克特(C.F.Richter)(C.F.Richter)制定制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪纪录的地震曲线的振幅就越大，这就是我震仪

11、纪录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级们常说的里氏震级M M，其计算公式为：，其计算公式为：M MlgAlgAlgAlgA0 0 其中，其中，A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A A0 0是是“标准地标准地震震”的振幅。的振幅。假设在一次地震中，一个距离震中假设在一次地震中，一个距离震中100100千米千米的测震仪纪录的地震最大振幅是的测震仪纪录的地震最大振幅是2020，此时标准地，此时标准地震的振幅是震的振幅是0.0010.001，计算这次地震的震级，计算这次地震的震级( (精确到精确到0.1)0.1)解：解：M Mlg20-lg0.001 lg20-lg0.0

12、01 20 20 0.001 0.001 lglglg20000 lg20000 lg2lg2lg10lg104 4 4.34.3 因此，这是一次约为里氏因此，这是一次约为里氏4.34.3级的地震。级的地震。由由M MlgAlgAlgAlgA0 0可得：可得： 答：答：7.67.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的最大级地震的最大振幅的振幅的398398倍。倍。 5 5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震给人的震感已比较明显，计算7.67.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震最大振幅的多少级地震最大振幅的多少倍倍( (精确到精确到1)1)。解：解：M Mlg l

13、g A AA A0 0A AA A0 01010M MA AA A0 01010M M 所以，两次地震的最大振幅之比是：所以，两次地震的最大振幅之比是：A A0 010107.6 7.6 A A0 010105 5 10107.6-57.6-510102.6 2.6 398 398 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳放射性碳1414，碳，碳1414的衰变极有规律，其精确性可的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的以称为自然界的“标准时钟标准时钟”。动植物在生长过。动植物在生长过程中衰变的碳程中衰变的碳1414，可以通过与大气的相互作用得，可以通

14、过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳1414含含量保持不变。死亡后的动植物，停止了与外界环量保持不变。死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳境的相互作用，机体中原有的碳1414按确定的规律按确定的规律衰减，我们知道其衰减，我们知道其“半衰期半衰期”为为57305730年。年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳1414的残的残余量约占原始含量的余量约占原始含量的76.776.7，试推算马王堆古，试推算马王堆古墓的年代。墓的年代。解：设生物体死亡时，体内每克组织中的碳解：设生物体死亡时，体内

15、每克组织中的碳1414 的含量为的含量为1 1，1 1年后的残余量为年后的残余量为x x，由于死，由于死 亡机体中原有的碳亡机体中原有的碳1414按确定的规律衰减，按确定的规律衰减， 所以有下表中的关系：所以有下表中的关系：因此死亡因此死亡t t年后体内碳年后体内碳1414的含量的含量P Px xt t死亡年数死亡年数t t碳碳1414含量含量p p1 12 23 3t tx xx x2 2 x x3 3 x xt t 因为每过因为每过57305730年，死亡生物体的碳年，死亡生物体的碳1414的含的含量衰减为原来的一半量衰减为原来的一半所以所以1 12 2x x57305730，1 12 2

16、 t t5730 5730 = =于是于是x x1 12 25730 5730 这样生物死亡这样生物死亡t t年后体内碳年后体内碳1414的含量的含量P P 1 12 2 t t5730 5730 t tlog log 1 12 25730 5730 P P写成对数形式：写成对数形式： 湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳1414的残余量约的残余量约占原始含量的占原始含量的76.7%76.7%，即，即P=0.767P=0.7675730 5730 1 1P P，2 2那么那么t tlog log 由计算器可得：由计算器可得：t2193 t2193 所以，马王堆汉墓是近所以，马王

17、堆汉墓是近22002200年前的遗址。年前的遗址。求下列各式的值求下列各式的值: :25253 3(1)log(1)log3 3(27(279 92 2) ) (2)log(2)log5 5 (3)lg100(3)lg1002 2 5 52 2解：解： (1)log(1)log3 3(27(279 92 2) ) loglog3 32727loglog3 39 92 2 loglog3 33 33 3loglog3 33 34 4 3log3log3 33 34log4log3 33 3 7 7 25253 3(2)log(2)log5 5 5 52 2loglog5 55 52 2loglo

18、g5 525253 3 loglog5 55 52 2loglog5 55 56 6 2log2log3 35 56log6log3 35 5 -4 -4 (3)lg100(3)lg1002 2 4lg104lg104 4lg10lg104 4求下列各式的值求下列各式的值: :解：解：(1)log(1)log5 53 3loglog5 5 (2)log(2)log3 35 5loglog3 315 15 (3)2log(3)2log5 51010loglog5 50.250.25 1 13 3(4)log(4)log2 2(log(log2 216) 16) (1)log(1)log5 53

19、3loglog5 5 1 13 3loglog5 5 1 12 23 3loglog5 51 1 0 0 (2)log(2)log3 35 5loglog3 31515 loglog3 3 5 51515loglog3 33 3-1 -1 -1 -1 (3)2log(3)2log5 51010loglog5 50.250.25 loglog5 5(10(102 20.25) 0.25) loglog5 525 25 2 2 (4)log(4)log2 2(log(log2 216) 16) log(loglog(log2 24 42 2) ) loglog2 24 4 2 2 已知已知lg2l

20、g2a a，lg3lg3b b，求下列各式的值，求下列各式的值: :解：解：(1)lg6(1)lg6lg(2lg(23)3) lg2lg2lg3 lg3 a ab b (2)log(2)log3 34 4 lg4 lg4 lg3 lg3 lg2lg2lg3 lg3 (1)lg6 (1)lg6 (2)log(2)log3 34 4 (3)log(3)log2 212 12 (4)lg(4)lg 2 23 32lg2 2lg2 lg3 lg3 2a 2a b b a ab b (4)lg(4)lg 2 23 3(3)log(3)log2 212 12 lg3lg3lg4 lg4 lg2 lg2 lg3lg32lg2 2lg2 lg2 lg2 2 2b ba a如果我国的如果我国的GDPGDP年平均增长率保持为年平均增长率