直线一级倒立摆控制器设计(自动控制理论课程设计)

1、Harbin Institute of Technology课程设计说明书论文课程名称：自动控制理论课程设计 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院 系：电气工程及其自动化学院 班 级： 设 计 者： 学 号： 指导教师： 郭犇 哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学课程设计任务书 姓 名： 杨远航 院 系： 电气学院 专 业： 电气工程及其自动化 班 号：0806141班 任务起至日期： 2011 年 6月 14 日至 2011年 6月 25 日课程设计题目： 一阶倒立摆控制器设计 技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的一阶倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为：小车质量 0

2、.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；。设计要求：1推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行脉冲输入仿真，验证系统的稳定性。2设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：1稳定时间小于5秒；2稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。3设计最优控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：1摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒2的上升时间小于1秒3的超调量小于20度0.35弧度4稳态误差小于2%。 工作量

3、：1. 建立一阶倒立摆的线性化数学模型；2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；3. 倒立摆系统的最优控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。工作方案安排：第一周：理论准备，建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；第二周：倒立摆系统的PID控制器的设计、极点配置控制器设计、MATLAB仿真、实验。第三周：内容补充及撰写课程设计论文。 同组设计者及分工： 各项工作独立完成 指导教师签字_ 年 月 日 教研室主任意见： 教研室主任签字_ 年 月 日*注：此任务书由课程设计指导教师填写。1、理论模型建立和分析对于忽略空气阻力和各种摩擦之后，直线一级倒立摆系统抽象为小车和匀质杆组成

4、的系统。图1-1 倒立摆系统小车和摆杆的受力分析本系统参数定义如下：小车质量；摆杆质量。小车摩擦系数；摆杆转动轴心到杆质心的长度；摆杆惯量；加在小车上的力；小车位置；摆杆与垂直向上方向的夹角。摆杆与垂直向下方向的夹角方程为： 1-1因此主动控制力可近似线性化地表示为： 1-2即： 1-3代入前面式子： 1-4垂直方向上： 1-5即： 1-6力矩平衡方程： 1-7注意等式前面的负号，由于 1-81微分方程模型设，近似处理:设u=F，那么： 1-9对上式拉氏变换处理，设初始条件为0，那么：1-10输出为角度为，由第二式得到 1-11或者 1-12如果令，那么有 1-13把上式代入10式，那么有：

5、1-14整理： 1-15其中从而，有 1-16，可得状态方程、阶跃响应源程序：参考模型%实际系统参数 M=0.5; m=0.2; b=0.1; l=0.3; I=0.006; g=9.8; T=0.005; %求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置) q=(M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2;num=m*l/q 0; den=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q; gs=tf(num,den);numpo=(I+m*l2)/q 0 -m*g*l/q; denpo=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -

6、b*m*g*l/q 0; gspo=tf(numpo,denpo);%求状态空间sys(A,B,C,D) p=I*(M+m)+M*m*l2;A=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p m2*g*l2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0; B=0;(I+m*l2)/p;0;m*l/p; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0; sys=ss(A,B,C,D); %通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应 t=0:T:5; y1=step(gs,t); y2=step(gspo,t); figure(1); plot(t,y2,

7、'b',t,y1,'r'); axis(0 2.5 0 80); legend('Car Position','Pendulum Angle'); 、仿真结果：通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应图1-2 摆杆和小车位置的开环阶跃响应注：左边红色代表小车位置，右边蓝色代表摆杆角度响应。可以看出 ：小车位置和摆杆角度都是发散的。一级倒立摆系统稳定性分析：我们都知道控制系统的稳定性是其能否正常工作的首要条件，是分析其他特性的根底，也是系统一个最根本的性能要求。在控制领域中，判断系统是否稳定有许多方法比方劳斯判据，赫尔

8、维茨判据，最传统也最简单的方法就是判断系统的特征根是否都具有负实部，如是，系统稳定；不是，即特征根有在坐标轴右边的，那么系统不稳定。我们采用的方法就是： 判断特征根法。状态空间计算结果:A = 0 1.0000 0 0 0 -0.1818 2.6727 0 0 0 0 0 -0.4545 31.1818 0B = 0 0 C = 1 0 0 0 0 0 1 0D = 0 0极点结果： p = 0极点分布如下列图，因系统有一个极点在s平面的右半平面上，有一个极点在原点 ，所以系统不稳定。 图1-3 极点分布2、PID控制器设计与调节PID控制分析PID控制是按偏差e的比例P-Proportion

9、al、积分I-Integral和微分D-Derivative线形组合进行控制的控制方法。由于PID控制器具有简单的控制结构，在实际应用中又比拟易于整定，所以它在工业过程控制中有着很广泛的应用。又由于大多数PID控制器是现场调节的，所以利用不同类型的调节律可以的PID控制器进行精确而细致的现场调节。下面通过实验来说明PID控制在倒立摆系统中的应用。这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如下:图21 考虑摆角和输入信号的系统框图图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。考虑到输入，结构图可

10、以很容易的变换成：图22 考虑摆角但不考虑输入信号的系统框图该系统的输出为 (21)其中， 被控对象传递函数的分子项被控对象传递函数的分母项PID控制器传递函数的分子项PID控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是 (22)其中 PID控制器的传递函数为 (23)只需调节PID控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。前面讨论的输出量只考虑了摆杆角度，那么，在我们施加扰动的过程中，小车位置如何变化？考虑小车位置，得到改良的系统框图如下：图23同时考虑摆角和小车位置且考虑输入信号的系统框图其中，是摆杆传递函数，是小车传递函数。由于输入信号，所以可以把结构图转换成：图24 同时考虑摆角和小车位置但

11、不考虑输入信号的系统框图其中，反应环代表我们前面设计的摆杆的控制器。注:从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。小车位置输出为： (24)其中，分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。和代表PID控制器传递函数的分子和分母。下面我们来求，根据第一章的推导，有 (25)可以推出小车位置的传递函数为 (26)其中 可以看出， =，小车的算式可以简化成： (27)、摆杆角度讨论按题目要求，施加0.1N的脉冲信号，观察指标。脉冲信号仿真源程序为：%考虑摆杆角度M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3

12、;q = (M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; num1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;num = conv(num1,denPID);den = polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1 ); r,p,k = residue(num,den);s = p t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)axis(0 2 0 50)g

13、rida、仿真结果为：Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1;时图25 未调整PID参数系统响应图由图可知系统响应是不稳定的，不能满足要求，需要调整参数Kp，Kd和Ki，直到获得满意的控制结果。首先增加比例系数Kp，观察它对响应的影响，取Kp=110，Kd=1.系统响应如下：b、Kp = 110;Ki = 1; Kd = 1;时图26 参数Kp = 100;Ki = 1; Kd = 1时系统响应图系统稳定时间约为2秒，满足要求。由于此时稳态误差为0，所以不需要改变积分环节可以改变积分系数，观察系统响应会变坏；系统响应的超调量比拟大，为了减小超调，增加微分系数Kd，取Kd=25，观察响应曲线

14、：c、Kp = 110;Ki = 1; Kd = 25;时图27 参数Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20时系统响应图由图可知，系统稳定时间约为1秒，稳态误差为0，超调量为5，满足要求。不需要在调节，如果再加积分，那么结果会变坏d、Kp = 110;Ki = 20; Kd = 25;时，axis(0 5 3 6)图28参数Kp = 100;Ki = 20; Kd = 20时系统响应图 相对c图来讲，这次结果明显变坏。 但是作出调整：Kp = 45;Ki = 15; Kd = 10，那么结果为：2-9参数Kp = 45;Ki = 15; Kd = 10，时系统响应图这个结果也是令人满

15、意的。、小车位置变化讨论源文件：%仿真小车位置变化M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3;q =(M+m)*(I+m*l2) -(m*l)2; %simplifies inputnum1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;num2 = (I+m*l2)/q 0 -m*g*l/q;den2 = den1kd = 10kp = 45ki = 15numPID = kd kp ki;denPID = 1 0;numc = conv(num2,denPI

16、D);denc = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1);t=0:0.005:5;impulse(numc,denc,t) 图210参数Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20时系统响应图由图可知,小车只能像一个方向运行，小车的位置是不稳定的。2.3、PID方法总结优点：PID控制优点明显，应用广泛。PID能消除稳态误差；同时可以减少超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高；并且能加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。缺点：PID控制的过度期比拟长，上升过程中波动明显；当然，较好的PID控制效果是以被控对象的精确数学

17、模型为前提的，当被控对象的数学模型未知时，PID控制的调试将会有很大的难度。评价：本节中，从仿真结果图可以看出，PID控制实现了对倒立摆的摆角的成功控制，但是小车的位置仿真曲线却几乎是呈线形的，最终没有趋于稳定，也就是说，简单的PID控制不能同时控制摆角和小车的位置。用PID控制算法同时成功控制倒立摆系统的摆杆摆角和小车的位置也并非不可能，要同时控制摆角和小车位置，那么必须在上述根底上多加一组运动方程组，对小车进行控制，但是这样的话，计算将变的相当繁琐，不适合在实际中应用。3、状态空间极点配置控制器设计在上一节的PID控制算法结论中可以看到，PID算法只控制了摆杆的角度而没控制小车的位移。下面

18、我们用极点配置法同时对摆杆角度和小车位移进行控制。由第一章可知系统状态方程为： 3-1检验系统状态完全能控性：Qc =ans =4，显然可控。根据要求，设调整时间为2秒，选取期望的主导闭环极点：-2+2j，-2-2j, -12，-12源程序：A=0 1 0 0;0 -0.1818 2.6727 0;0 0 0 1;0 -0.4545 31.1818 0;B=0;1.8182;0;4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;t=0:0.005:10;JA=poly(A);a1=JA(2);a2=JA(3);a3=JA(4);a4=JA(5);M=B A*B A2*B A3*B;ra

19、nk(M)W=a3 a2 a1 1;a2 a1 1 0;a1 1 0 0;1 0 0 0;T=M*W;%极点配置J=-12 0 0 0;0 -2+2j 0 0;0 0 -2-2j 0;0 0 0 -12;JJ=poly(J)aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);aa4=JJ(5);K=aa4-a4 aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1*(inv(T)At=A-B*K;Bt=B;Ct=K;Dt=D;%线性定常时不变LTI转换成状态空间模型zT pT gainT=ss2zp(At,Bt,Ct,Dt);%求取系统稳态值dcg=dcgain(At,Bt,Ct,Dt);%求阶跃

20、响应U = 0.2*ones(size(t);figure(1)yc=lsim(At,Bt,Ct,Dt,U,t);yc1=yc/dcg;plot(t,yc1);xlabel('t(s)'),ylabel('z(m)');gridF=1 0 0 0;zT1 pT1 gainT1=ss2zp(At,Bt,F,Dt);figure(2)x1=lsim(At,Bt,F,Dt,U,t);x11=x1/dcg+pi;plot(t,x11); xlabel('t(s)'),ylabel('¦È(rad)');grid;仿真结

21、果：K =图31倒摆小车位置的响应曲线图32倒摆倾角的响应曲线总结由响应曲线可以看出：由以上分析可见，状态反应系统为稳定闭环系统，状态向量在初始扰动下的响应将渐渐的衰减至零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置. 上述分析设计基于小扰动假设，即当，均很小时，在被控对象线性化条件下进行的。考虑到施加控制后，通常可满足上述条件，故该设计是行之有效的。由实验结果可以看出：极点配置法成功实现了同时对倒立摆摆角和小车的位置的控制，但是在极点配置时，希望极点的选取，需要考虑、研究它们对系统品质的影响以及它们与零点分布状况的关系，还需要顾及抗干扰性能方面的要求；在对性能的影响方面，我们通常只考虑主极点的影响，

22、但非主导极点的影响有时不可忽略，这样我们很难较好地选择所有的极点。极点配置法，虽然利用现代状态空间的形式，但仍保存了古典控制的思想。状态反应系统的主要优点是极点的任意配置，无论开环极点和零点在什么位置，都可以任意配置期望的闭环极点。这为我们提供了控制系统的手段，假设系统的所有状态都可以被测量和反应的话，状态反应可以提供简单而适用的设计。4、实物调试试验 参数：Kp=45；Ki=15；Kd=10 试验结果如下： 图4.1 直线一级倒立摆PID 控制实验结果施加干扰结论：可以看出，系统可以较好的抵换外界干扰，在干扰停止作用后，系统能很快回到平衡位置。由第三章仿真计算：K =但仿真效果不明显，故改用同组计算值K = - -29.3878 95.2687 17.7959 结果如下：图4.2 直线一级倒立摆极点配置实时控制结果施加干扰结论：可以看出，系统稳定时间约为3秒，到达设计要求。5、心得体会课程设计是我们专业课程知识综合应用的实践训练，着是我们迈向社会，从事职业工作前一个必不少的过程千里之行始于足下，通过这次课程设计，我深深体会到这句千古名言的真正含义今天认真的进行课程设计，学会脚踏实地迈开这一步，就是为明天能稳健地在社会大潮