连续介质力学复习题1

1、连续介质力学复习题(1) 1.10,1.19令D(x)=CxmxxM(x)=°(x)kD()d=0(x-)kCxmd二kC(=kC(=kC1.m1xm11m1x-m111-m2x)|0Um*2)(m1)(m2)所以：2_2m .x 二const(2) 2.13,考察一个被约束在圆形轨道上作匀速运动的质点。设v是任意时刻的速度，质点的加速度是多少，即力量dv/dt是多少？答案；在横坐标中速度矢量廿可以表示如下=设八分别表示以产为原点沿饯向、切1相而不，仙FY面的仆I，4*的单位矢匕以侧122.卜！M，"中【足仁的港门值,因此,微分后有由于”是常数，最后一项为零。为了计算注意。

2、是单位矢量,因此，它仅能改变方向(保注：而大小始终不变八所以rdO/df聿直于矢量京，即平行于心设如为质点对物道中心的ffi速度t显嬷5以v/a的速率忖动.因此T方/dT/GJdw由=一图P2.13厕形轨道上运行的粒子速度图2 M 螺旋轨道2.19,两个矢量u=(Ui,U2,u)和v=(mN2N3)的矢量积是矢量w=uxv其分量为证明上式可以简写为i=徐UjVk证明：反证法：有产；胀叫vk所以有1=；ljkUjVk.'2=；2jkUjVk.'3=；3jkUjVk1="111U1V1+112uiv2+，113uiv3+,123u2v3+-12iu2v1+132u3v2+

3、122u2v2+131u3v1+733U3v32=211u1V1+212U1v2+213U1V2+221U2V1+-222u2v2+-223u2v3+231u3v1+-232u3v2+-233u3v313=-311u1v1+312u1v2+313u1v3+321u2v1+322u2v2+323u2v3+331u3v1+332U3v2+333u3v3，产u2v373v2由止匕得出：2=U3v1-U1v33=u1v2-U2vl2-Uk ki) - Xi = ； 1-2v k，) i ft22.37将下列方程写出展开的形式G(Ui,kkG(&G啜1*F2Uk+*-1-2vxkxi-2,)+X

4、i=：F一t当i=1时。.2.2U1- 从G( + T二 x1Cx222G(二十Ex二 y同理i=2,3有：2U11 *+ 21 +x31-2v.2.2/ 二 Ui二 U2(+ +.2二 U3-x1 x1; x2 ：xi二 x3：xi-2)+xi=：tG(G(22二 v 2 v2 +2 +x二 y 2-2二 w : w+ fz2+1-2v.2.2.2.2/ U 二 v 二 w U(二 +)+X1=PJx : yx zx二 t-2、,v-2+ :z2 1-2v-2, 二 u2x + +*x:y；z 1-2v-2w v +y:x 2二 v.2二 w 、+)+X2 = P；z x. 22- +:x；

5、y.x£v；:t2)+X3 = ：zxj2wft2(3) 3.9,在无体力情况下，如下应力分布是否处于平衡状态:答：根据亚+Xi=0得到处于平衡状态。yx ' c即一L + y- + 一zx=0 ,fxyzz.巴+色y+2=0, y 二 x二 z:二二二:zfz.oooooooooP3.22。令内筒T ,作用在外筒3.22库埃特流动。两个同心圆筒间的空间中充满了流体，如图静止，外筒以每秒w弧度的角速度旋转。若测得内筒的扭矩为的扭矩是多少？为什么？速度场：vr=0;v1-v(r);vz=0不可压缩流体连续方程：22、2 2,、1 >'(rvr)1"z=0

6、r；:rrz不计体力，并按抽对称旋转进行计算，环向运动方程为:2dvg+1dvg与odr2-2( J2 - 1ri )r . r2。(, '1 - -2)r2 -rirrdrr2易证明，ve=r;vH=L均满足以上方程所以其一般解为Q=Ar +B(A, B为常数)设g r2为内外筒的半径；B .r1 = Ar1 ; r2 = Ar2r孙，切2为内外筒的半径B+2r12222,、八 _ ，2r2 '1r1 . D _ r2 r1 ( ' '1 1 '2 ) A =22; B =22r2- r1也-r12222,.-相.r2 r ( '1 - 

7、9;2) 1 v 7122 r22r2 fr2 -ri r壁面剪应力为.="(口二drr222-ri当叫=0,切2=0或眄=6，82=。时，单位长度扭矩为:4出屏为222-ri=常数所以内外筒扭矩相等。为T(4) 4.12用锤子打击一个无限大的弹性体，应该设置什么样的边界条件?解：5场条件：变形处处为零.可能于打需时，边界急件是：（a）在平表面上，但不在傩TFtT*=0（i=123）（b）半无限体在无限远处的条件，令片是物体变形引起的位移分量必是虚力则（“）-0*（%）aQ（£不1,九3）M在锤子下的震闻处,垂亶于表面的应力矢量与位移都必须一致.因此若用（T）和分别表示桌子

8、和锤子,则在共同界而上必有（金/，=a,严,&tyn=设法。垂直于界面界面可以用方程工n/Cr*力/来描述.则M1力，打-"标士KUk胆是,我们并不知道函数/a*了/）.它只有在将怪了和耒子一起求解辞个应力分布间嬉后才能严格地硒定.为了代替精确解，可以提出一个近似附题.例如，可以假设；当伸T打击桌面时，应力矢瓜巾TQ栗子的分量远大于切向分量.于是T若略去后一分量（这种情况秫为“有润滑”的推击3则镣子下的辿界条件可以写为%=0.1k0,五一FQ,y）&其中风心是狄拉克（DiraG单位脉冲函数，当，为由限时它等于零.但当£*（）时它趋于8,而H将（）从一启到丑对

9、f积分正好等于I-盘个正数.F5,川）未加.可£苟单偏设为FtX.*）:-COlK*提示：或许等于马桌面之同是不规则的接触局部破坏滑移等.如果要认真对待这些时能性，那就必须精确地给定它伯,然后研究它们的后果.(5)分别推导拉格朗日应变张量和欧拉应变张量，答：变形前物体中有三个相邻点p、p'、p"。变形后他们移到QQ、Q'点。考察连接点p(a1,a2,a3)和相邻点p'(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的无限小线元。初始构形中线元pp'长度ds。的平方ds02;da12da22da32;2.2.2.2ds=dX1dX2dX3;,ai,

10、dXi=daj,dai=dXjxjxj=ds02=da12da22da32=ijdaidaj=、jW-dX1dxmXXmds2=dX12dX22dX32=ijdXidXj=、jXxX-daldamaiam二ds2-dso2；:x：:x：,.X-：:xi、，,C一-daidaj-cjdajdaj=（、，：-、j）daidaj'aiaj'aiajORds2-dso2xjfa-aIdXidXj=（、j-、一：）dXidXjXXjeijEij/:x'x：(,一一-飞)aiajXiXj5.2血管是不可压缩的，即其体积不会变化。在通常情况下，血管可以看作一个圆柱壳。假设因某种原因人

11、的血压上升了，使该血管的内径由a增力口至a+da,而轴向长度不变。试计算因血压升高引起的血管内环向和径向应变的变化。解：设血管外径为b,血压上升后外径b=b+Ab则有：Mb2-a2)=冗(b+Ab)2-(a+Aa)222一b+2b*b-2a*a-：a=0,-2b+4b2+4(2a*.a+.a2)22b=:=-b+.b2+2a*.：a+.：a22err=b-a=-b-a+.b2+2a*.a+.a2血管为圆形截面根据对称性，七=0,=Jr(r)e=1(1.+不二)=072rrr-r1'aae：B=-+-=rra5.95,9在一次JMt研究中瑞利（LorH曲）研究了弹性力学线性化方程的如下彩

12、式解答a-Ac七xpuKj*-tr）JvBe-+'vxpI法fjt-a）j=y若用号面r（h发示地面了表示距总表的深度”表示地球内受点的位移.喇瑞利承走示波葭速度沿工方向的传播.11黄懦山指数展律庭焉开地面而妾发鼠设续产生了地理内部.地理左曲H由*即作用于地表处的应力矢量为零.在号察运动方程和边界集忤后,瑞科技且了密数A./hb和一并得目如解，u=A（*'i43-0.5773±*工*11*上（工一）r-八（-0.8"5（：7卬小+L46?93k科T如公m上（一r.i覆.9幅口表彼府用”称为陶利波速,若泊松出为14它巧I用切夜建的。IX倍.也解满足在1ml由及

13、朝尸丫”的芈无限大弹件体内族傅搞的茶栉.屋点Hg平两内运动.其鼓幅随高Fl11&愉的班离埴大而减小（如图F吗峭小小利痴足相生地醺时能从地侵记录曲战中驯的鼠主要的波之一.（4）试画必波形tb）忧西出白由表面？工口上几个1；同，伯处质点的遇动路径.试对位？不同的：v0佛处的几个疑点也画出其运动路径.（c）试证明血点的运动是逆行的.（d）试场定在任意给定可发生最人生以皆的地意.并给出选应变值.部分螂1Cd）因为尔%只有值变分%不于等.筠敷函数阜虫其中心M）黑删人窜一及乂号数的最大值发生在处.丐（1。时,谈平向hfi心.一金二一AH1-657普）&in虹Hjt乙、=吧=At|-6847

14、511,4679»5成筋、E3dyr一芈久一口.取75-0,5773X0,3*）3314（-0,8475+I.467弘"抬=02因此*最大主应变为t21=工。.4227八小，工（14打9也八上6J考察物体的流动，其速度分量口和罩由势函数力导出：u=-tfJx而分量w恒为零.试画出下列势函数所描述的速度场;(a)单=log(M，+y*=，k>"4jt/it(b)中=工事(c)fpAcosnO(。一airifi”提示：可以由1势函数奴工*以)导出速度分量的流场称为势流。在本题所给的例子中，有几种情况是中用极坐标而表示的.如果我们注意到，速度矢球皿小)就是标量函数

15、(b)(c)(d)(a) Ur =二 r2二 r ln a;u=°UrUr三二1;vxcC*=Anr.:r.:rncosni;u? vSBJ- = -Anrn sin ni c6sin 16.6花二维平密应变场中，位移由HCrXr.）描述，而沿z轴的明恒等尸零.工了"是一组笛卡儿直角坐标系.<a) .(b)(c)试用m&示应变分吊:Ej/a试推导对应变系，L，中的势调方程.卜列应变系是否协调？,kr y , ev. = k ryetrhd-y?）其中KS是常数.其余应变分量均为零。（C）的答案,若l=则协凋.(a)1 Juj eL2(M:ui-)xj-u=ex

16、x=-(b)2_ 也 _ ：:uT 2 -2y二x：y2：x2eyy：V.Gy1-U二V、一2二72.；7二二(-272一)x二x二y二x：y21x：y二x:y二"Gy_1/-0.一：x.:y2；:y2（c）将已知（c）中的式子代入（b）中得:-2kLxy由（b）中知若要协调则有&a.2一2一2一一yxxy即-2k=2k'即k'=-k则应变系是协调的(7)给出牛顿流体和非牛顿流体的本构方程D,：,., 各向同性时，jkl答：牛顿流体本构方程5=p&j+DjkiVki(粘性效应与变形率呈线性关系)='、力、"1,'¥)

17、-P;ij-,Vkk-j-2%平均正应力1/3。卜卜与体积膨胀率Vkk无关2,-ij=-pj.ij+2uVij-3Vkk；ij不可压-j=-pj+2UVj非牛顿流体本构方程7.14航天员上了月球，并带回一些岩石样本。我们很关心这些岩石的力学性能。试设计一个实验大纲，以使用这些少量的岩石得到尽可能多的信息。答：硬度：刻痕抗拉：a,制成标准试件受拉b,劈裂抗压：a,单轴抗压圆柱形试件半径4.8-5.2cm,H=(2-3)倍半径长方体试件：变长L=4.8-5.2cm,H=(2-2.5)L抗剪：单面剪切、双面剪切、冲击剪切弹性模量E,剪切模量G,被送比u:标准试件作应力应变曲线，观察曲线特征刚度试验机

18、F应力应变曲线(8)8.1区别均匀和各向同性两个词(a)如果你涉及高空探测火箭，你是否认为大气是均匀的或各向同性的？(b)如果问题涉及围绕火箭邻区域的流动，该火箭以不产生激波的速度飞行，能否把空气处理为均匀的或各向同性的？(c)如果在(b)问题中发生了激波，又该怎样考虑？答：均匀性是指某种物理特性在空间各点测量结果相同，可以看作平移对称性，各向同性是指力学性质和方向无关的，可以看作空间转动对称性例如流动的河水是均匀的，但不是各向同性的(a)不考虑紧邻区域流动，火箭速度不产生激波，则可处理为均匀，各相同性。(b)考虑紧邻区域流动，不产生激波速度飞行，可处理为均匀，各向异性。(c)考虑紧邻区域流动

19、，产生激波速度飞行，不均匀，各向异性。8.5,说出三种非各向同性的液体答：(纤维油漆、牛奶、血液、液晶)8.15,在有些组受拉、其余组分受压而整体处于平衡的复合材料中，残余应力是改进力学性质的很好途径。例如，预应力钢筋增强的混凝土，高强纤维增强的金属和塑料都是改进的结构材料。若希望实现复合材料的各向同性或横观各向同性（在远大于单根纤维直径的尺度上），纤维应按合乎需要的几何图形来铺设。试设计一种以高强度和各向同性为目的的复合材料。答：（1）模压板材复合材料，将浸有树脂的随机短纤维模压、由于短纤维的方向随机，因此是横观各向同性。（2）三叠层板（m=3、4、5.oo）o由复合材料力学知，满足mh2f

20、（sin2B,cos28,sin4e,cos48）dz=0的叠层板是准各向同性叠层板。h2固化制成复合材料。而二叠层板满足上m式。（9）9.8考虑具有麦克斯韦模型、有方程（9-6-1）描述的粘弹性材料。把一个正弦变化的力F=asincot加到物体上。其稳态扰度u是什么？tu = 0(awcoswt a sin wt)dtF=asint;aaau=sinwtcoswtwwaw ., a , awu =sin wt 一一 coswt =aw a()(a) sin( wt - ：)aJ22(aw) (a)A-u=sin(wt-)sin-waw2,工2I11其中A=(-)+(-),tan:=-(10)导出雷诺系数，说明雷诺系数的意义，解释为什么雷诺系数很大时，需要边界层理论；答：雷诺数表示惯性力与剪应力的比值惯性力量级：V2V剪应力量级：L惯性力'V 2剪应力 v/L-vL -二Rn大雷诺数表示惯性力效应占优势，小雷诺数表示剪切效应占优势'一'，噌+不/1,2,3)2,RNTm时，除非二阶导数VU1极大