2018年湖南省衡阳市古城中学高三数学文下学期期末试题含解析

1、2018年湖南省衡阳市古城中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)V-2,f(0)=3,则不等式f(x)>ex+2的解集是(A. ( 8,1)B. (1, +8) C. (0+8) D, ( OO,0)【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】问题转化为2 上T>0e e,根据函数的单调性求出不等式的解集即可.【解答】解：f (x)e e> ex+2转化为:g(x)在R上单调递减,式

2、。)整得toee,g(x)>0的解集为(-8,0),故选：D.2 .下列各组向量中，可以作为基底的是A钎啊B.切,C."3)”顿期)z1d£ 二 Q-3) 4=(厂 NB3 .若集合A=xCR|ax2+ax+1=0其中只有一个元素，则a=()A.4B.0C.0或4D.2A4 .如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E为DDi的中点，几何体ABCDECi的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）C.D.A【分析】根据侧视图和俯视图特征判定几何体，找出正投影，即可得解【详解】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中正投影为助强硕与砒q不在同一平面，

3、所以正视图为A选项的图形故选：A【点睛】此题考查三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE考虑不准确.5 .两曲线尸正，y=x2在xC0,1内围成的图形面积是（）1_2A.二B.:二C.1D.2A【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】首先用定积分表示围成的面积，然后计算定积分即可.【解答】解：两曲线步y=x2在xC0,1内围成的图形面积是故选A.6 .（5分）某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为（）主挽困主得跖南根阳A.8+4713B.20C.12eD,8+122|C【考点】：由三视图求面积、体积.【专题】：计算题.【分析】：由三视图可知：该几何

4、体是一个四棱锥，高为2,底面是一个矩形，边长分别为6,4.据此即可计算出该几何体的侧面积.6,解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，高为2,底面是一个矩形，边长分别为4.如图所示，设对角线AC与BD相较于点O,则PO=2分另取ABBC的中点E、F,OE=2OF=3在R"POE与R"POF中，由勾股定理得PE=6,PF=/13.:该几何体的侧面积S=2(2X6X£V2+X4X=1272+4713.故选C.【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.7 .设非零实数/满足",则下列不等式中一定成立的是（）1 1>一A.二'B.'&

5、#39;；：'；C.,一.d.1-11D8 .若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A.(2,4)B.(2,4)C.(4,2)D.(4,2)【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.2+41【分析】由题意可得z=i,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4-2i,从而求得z对应的点的坐标.【解答】解：复数z满足iz=2+4i,则有z=i=-1=4-2i,故在复平面内，z对应的点的坐标是（4,-2）,故选C.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的嘉运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.9 .函数皿（&+

6、如的图象如右图所示，为了得到目5）二一乂匚。£皈的图象，可以将,0）的图象A.向右平移12个单位长度B.向右平移5k1工个单位长度5工C.向左平移12个单位长度D.向左平移12个单位长度由圄像可求得月7,口=匕将选项代人检验即可“3?va/.=1值>oe>0）+110 .已知双曲线ah的顶点恰好是椭圆95的两个顶点，且焦距是6石，则此双曲线的渐近线方程是()v =±一震(A) 二参考答案：+巫(B)-(C)T"'(D)C略二、填空题：本大题共7小题,每小题4分，共28分rjrt-6I"40?*C11 .等比数列总中，3一,前三项和h，

7、则公比寸=()111H，A、1B、2c、1或2D、-1或之C略12 .在ABC+,已知/BA年90°,AB=6,若D点在斜边BC上，CD=2DR则婚"独的值为.24;13 .九章算术卷第五商功中，有假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺(如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为.41篦由已知得球心在几何体的外部，设球心天几何体下底面的距离为工，/“或*+四净解得.2N414,二-该球体的表面

8、积6二411r.14 .定积分盛、亡处的值为【考点】67:定积分.【分析】根据微积分基本定理计算.1=e 1.现'皿亍sin,smxcosx,ZJni15 .已知4依次成等比数列，则1在区间世"口内的解集jt5tt13jf177r16 .秋末冬初，流感盛行，信阳市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an,已知a1=1,a2=2,且an+2an=1+(1)n(nCN),则该医院30天入院治疗流感的人数共有25517 .在一次试验中，同时抛掷两枚骰子，若至少出现一次5点或6点，则称此次试验成功.重复做这样的试验3次，则恰有2次试验成功的概率为10。243三、解答题：本

9、大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18 .(本题满分12分)已知：在直角坐标系一工勺中，曲线C的参数方程为:为参数)，以原点o为极点，R轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线c的极坐标方程.2龙二1+E2兀代入 1+上得x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线_221十'得出0广口无2,两式相除，得C：x1vy1-2z->0)C,p=2cos9(p>0)19 .(本小题满分14分)(文)已知函数f(x)x=2对称.(1)求b的值;(2)若函数f(x)无极值，求c的取值范围；(3)若 f (x)在x = t处取得极小值，记此极小值为 g (t),求

10、g (t)的定义域和值域.(1) f' (x)=3x22bx+2c,函数f' (x)的图像关于直线x=2对称,6=2, 即 b= 6.(2)由(1)知,f(x)=x36x2+2cx,f'(x)=3x2-12x+2c=3(x2)2+2c12,当c>6时,f'(x)>0,此时函数f(x)无极值.(3)当cv6时，则f'(x)=0有两个互异实根xi,x2,不妨设xix2,则xiV2Vx2,当xvxi时,f'(x)>0,f(x)在区间(一8,xi)内为增加的；当xixvx2时,f'(x)V0,f(x)在区间(xi,x2)内为减少

11、的；当x>x2时,f'(x)>0,f(x)在区间(x2,十8)内为增加的.所以f(x)在x=xi处取极大值，在x=x2处取极小值.因此，当且仅当cv6时，函数f(x)在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2>2,于是g(t)的定义域为(2,+8),由f'(t)=3t2i2t+2c=0得2c=3t2+i2t.于是g(t)=f(t)=t3-6t2+(3t2+i2t)t=-2t3+6t2,tC(2,+8),当t>2时,g'(t)=-6t2+i2t=-6t(t2)<0,所以函数g(t)在区间(2,+8)内是减少的.故g(t)的值域为(一8,8).2

12、0 .已知BC的外接圆半径为i,角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量far加二(%48,冷二8醍4»满足最/履(i)求sinA+sinB的取值范围；(2)若3,且实数x满足底君=口一0,试确定x的取值范围.参考答案：解：(1)因为m/n=,即ab=4cosAcosB.因为ABC的外接圆半径为i,由正弦定理，得ab=4sinAsinB2分于是cosAcosBsinAsinB=0,即cos(A+B)=0.因为0<A+Bv冗所以A+B=.故4BC为直角三角形.sinA+sinB=sinA+co8=sin(A+),因为<A+<,所以<sin(A+)w故1<s

13、inA+sinB0.6分事一b_winsin乂-cosA(2)x=曲2*in*sin万NsmRcus月.y分、T-f.T设t=sinA-cosA(2),则2sinAcosA=It,9分t£+1>qt上"-1x=1d,因为x'=0一丁，故乂=1-在（°°2）上是单调递增函数.12分5-1-L-1产十一丁所以匚所以实数x的取值范围是（-8，3）州分21.（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位："g/n?）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均地度0-3535-7375-1511

14、5150150-150>250空气就1W期-缀二域三蟆四级五级六爨空气小第第良一:轻度闰集中度存联通度沟渠产直行公某市2012年3月8日一一4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如下条形图：（I）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（II）在上述30个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优的天数，求X的分布列和数学期望。解式I）由条形统计图瑞知空气康世类别为良的天数为环天，所友此次监函结果中空气质愈类别为包的概率为算啥.（4分）U）随机变址X的可能取值为0,1；，期/*=0）=落翡/六1）三里段=爵90琨口备1如rijLjq*wjj乙m/JO*.随机

15、变量#的分布列为：'E(X)-0'急+1裨翳+2x慧=翳，片.：m(12分)f+彳=1（a>占>0）22.如图，椭圆口b的长轴长为4,点A、B、C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O,且阳H网，皿=3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设P、Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A、C）,且满足ZPBC=ZfmB，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值.(1) 41;（2）详见解析.试题分析：（1）利用题中条件先得出 口的值，然后利用条件网Sy=3结合椭圆的对称性得到点g的坐标，然后将点4的坐标代入椭圆方程求出力的值，从而确定椭圆的方程；（2）又条件=射得到直线叱与出£?的斜率直线的关系（互为qy-相反数），然后设直线ap的方程为a,将此直线的方程与椭圆方程联立,求出点F的坐标，注意到直线4P与4。的斜率之间的关系得到点2的坐标，最后再用斜率公式证明直线理的斜率为定值.